吉林省高三数学第二次调研试题理科有答案.docx

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吉林省高三数学第二次调研试题理科有答案

吉林省2017-2018高三数学第二次调研试题（理科有答案）

吉林市普通中学2017—2018学年度高中毕业班第二次调研测试

理科数学

本试卷共22小题，共150分，共6页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回。

注意事项：

1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条

形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案

的标号；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、

笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案

无效。

4.作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮

纸刀。

一、选择题：

本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。

1.已知全集，则图中阴影部分表示的集合是

A.B.

C.D.

2.设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数的值为

A.B.C.D.

3.已知表示两个不同平面，直线是内一条直线，则“∥”是“∥”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知是公差为的等差数列，前项和为，若，则的值是

A.B.C.D.

5.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位

所著，该作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由

筹算到珠算的彻底转变，该作中有题为“李白沽酒”“

李白街上走，提壶去买酒。

遇店加一倍，见花喝一斗,三

遇店和花，喝光壶中酒。

借问此壶中，原有多少酒？

”，

右图为该问题的程序框图，若输出的值为0，则开始输

入的值为

A.B.

C.D.

6.已知向量和的夹角为，且，则等于

A．B．C．D．

7.有如下四个命题：

若，则

其中假命题的是

A.B.

C.D.

8.已知双曲线的一条渐近线为，则该双曲线的离心率

等于

A.B.C.D.

9.已知函数对任意都满足，则

函数的最大值为

A．5B．3C．D．

10．如图所示，在边长为1的正方形组成的网格中，

画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的

体积是

A.B.

C.D.

11.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，给出下列命题：

①当时，；

②函数的单调递减区间是；

③对，都有.

其中正确的命题是

A.①②B.②③C.①③D.②

12.已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，而且

（为坐标原点），若与的面积分别为和，则最小值是

A.B.C.D.

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．

13.已知实数满足条件,则的最大值是

14.某公司招聘员工，有甲、乙、丙三人应聘并进行面试，结果只有一人被录用，当三人

被问到谁被录用时，

甲说：

丙没有被录用；乙说：

我被录用；丙说：

甲说的是真话.

事实证明，三人中只有一人说的是假话，那么被录用的人是

15.已知数列中，前项和为，且，则的最大值为

16.三棱锥中，底面是边长为的等边三角形，面，,则三棱锥外接球的表面积是.

三、解答题：

本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

在中，角所对边分别是，满足

（1）求角；

（2）若，求面积的最大值.

18．（12分）

已知各项均为正数的等比数列，前项和为，.

（1）求的通项公式；

（2）设，的前项和为，证明：

.

19．（12分）

某高中一年级600名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成组：

[20,30），[30,40），┄，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：

（1）从总体的600名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；

（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50）内的人数；

（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．

20．（12分）

四棱锥中，底面为菱形，,为等边三角形

（1）求证：

;

（2）若，求二面角

的余弦值.

21．（12分）

设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为，短轴长为，已知是抛物线的焦点.

（1）求椭圆的方程和抛物线的方程;

（2）若抛物线的准线上两点关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点，若的面积为，求直线的方程.

22．（12分）

已知函数

（1）求曲线在点处的切线方程;

（2）令，讨论的单调性并判断有无极值，若有，求出极值.

吉林市普通中学2017—2018学年度高中毕业班第二次调研测试

理科数学参考答案与评分标准

一、选择题

123456789101112

CAADCDBCCABB

二、填空题

13.7;14.甲;15.2;16.

三、解答题

17．

解

（1）由已知得:

--------------------------------2分

--------------------------------------4分

因为,所以,------------------------------------------5分

（2）由余弦定理得：

，------------------------------------------7分

当时取等号---------------------------------------------------8分

所以面积的最大值为---------------------------------------------------------10分

18．

解

（1）设公比为，由题意---------------------------------------------------------------1分

，----------------------------------------------------------------3分

由

（2）得：

将

（1）代入得：

------------------------------------------5分

代入

（1）得：

，所以-------------------------------------------------------------6分

（2）--------------------------------9分

------------------------------------------------------12分

19．

解：

（1）（0.02+0.04）×10=0.6，1-0.6=0.4

样本分数小于70的频率为0.4,所以总体中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4---------------------------------------------4分

（2）根据题意，样本中分数不小于50的频率为，

分数在区间内的人数为.-----------------6分

所以总体中分数在区间内的人数估计为.--------------8分

（3）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为，

所以样本中分数不小于70的男生人数为.-------------------------10分

所以样本中的男生人数为，女生人数为，男生和女生人数的比例为.

所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为.----------12分

20．

（1）证明：

取AD中点E，连结PE,BE--------------------------------------------------1分

ABCD为菱形，，为等边三角形

-------------------------------------------------------------------------------3分

为等边三角形，

----------------4分

（2）为等边三角形，边长为2

-------------------------------------------------------------6分

如图，以EA,EB,EP为x,y,z轴建立空间直角坐标系

--------------------------------7分

设平面PCD的法向量为

取，则------------------------9分

设平面PCB的法向量为

取，则---------------------------------------------10分

设二面角的平面角为

二面角的余弦值等于0-------------------------------------------------------------12分

21．

解

（1）-------------------1分

，所以椭圆方程为----------------------------------------------3分

所以抛物线方程为---------------------------------------------5分

（2）设直线AP方程为，与直线的方程联立

可得点，

联立AP跟椭圆方程消去x，整理得，

解得，可得，-----------------------------------------7分

由，直线BQ方程，

令y=0，解得，即--------------------------------------------9分

所以有，--------------------------------10分

整理得,解得---------------------------11分

所以，直线AP的方程为：

-----------12分

22．

解：

（1）------------2分

则切线方程为y=1------------------------4分

（2）g（x）=ex（cosx﹣sinx+2x﹣2）﹣a（x2+2cosx）

g′（x）=ex（cosx﹣sinx+2x﹣2）+ex（﹣sinx﹣cosx+2）﹣a（2x﹣2sinx）

=2（x﹣sinx）（ex﹣a）=2（x﹣sinx）（ex﹣elna）．------------------------------------6分

令u（x）=x﹣sinx，则u′（x）=1﹣cosx≥0，∴函数u（x）在R上单调递增．

∵u（0）=0，∴x＞0时，u（x）＞0；x＜0时，u（x）＜0．--------------------------------7分

当a≤0时，ex﹣a＞0，

∴x＞0时，g′（x）＞0，函数g（x）在（0，+∞）单调递增；

x＜0时，g′（x）＜0，函数g（x）在（﹣∞，0）单调递减．

∴x=0时，函数g（x）取得极小值，

无极大值------------------------------------------------------------------------------8分

当a＞0时，令g′（x）=2（x﹣sinx）（ex﹣elna）=0．解得x1=lna，x2=0．

①0＜a＜1时，

x∈（﹣∞，lna）时，ex﹣elna＜0，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；

x∈（lna，0）时，ex﹣elna＞0，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；

x∈（0，+∞）时，ex﹣elna＞0，g′（x）＞0，函数g（