学年高中物理第三章万有引力定律第3节万有引力定律的应用教学案教科版必修2.docx

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学年高中物理第三章万有引力定律第3节万有引力定律的应用教学案教科版必修2

第3节万有引力定律的应用

1.根据万有引力理论预言了哈雷彗星再次出现的时间，推算出未知天体的轨道。

2．利用地球表面物体的重力等于地球对物体的万有引力，即mg＝，可以计算出地球的质量。

3．利用万有引力提供向心力，可以计算中心天体的质量。

利用M＝πR3ρ，可以计算中心天体的平均密度。

一、预言彗星回归

1．哈雷根据万有引力理论，对1682年出现的哈雷彗星的轨道运动进行了计算，指出了不同年份出现的情况，并预言了再次出现的时间。

2．1743年，克雷洛计算了遥远的木星和土星对哈雷彗星运动规律的影响，指出了运动经过近日点的时间。

3．总之，由万有引力理论可以预知哈雷彗星每次临近地球的时间，并且经过验证都是正确的。

二、预言未知星体

1．英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文爱好者勒维耶，根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出天王星轨道外面“新”行星的轨道。

1846年9月23日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的位置发现了这颗行星——海王星。

2．1930年，汤姆博夫根据海王星自身运动不规则性的记载发现了冥王星。

三、计算天体质量

1．测量地球的质量

若不考虑地球的自转，地面上质量为m的物体所受的重力等于地球对物体的万有引力。

即有mg＝G，所以地球质量为M＝。

2．计算太阳的质量

（1）基本思路：

行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力是它们间的万有引力提供的。

测量出环绕周期T和环绕半径r。

（2）公式：

G＝mr，由此可得太阳质量mS＝。

1．自主思考——判一判

（1）利用万有引力理论，可以预言哈雷彗星再次出现的时间。

（√）

（2）天王星、海王星、冥王星都是先理论预言其存在，后观测发现的行星。

（×）

（3）天王星是人们经过长期的太空观测而发现的。

（√）

（4）牛顿发现了万有引力定律，同时测出了地球的质量。

（×）

（5）只要测量出行星的公转周期及它和太阳间距离，就能计算出太阳的质量。

（√）

2．合作探究——议一议

（1）如果知道自己的重力，你能求出地球的质量吗？

如果能，还需要知道哪些物理量？

提示：

能。

若用G′表示重力，设自身质量为m，则重力加速度g＝＝，故M＝，所以还需知道地球半径R、引力常量G就可算出地球质量M。

（2）若已知月球绕地球转动的周期T和半径r，由此可以求出地球的质量吗？

能否求出月球的质量呢？

图331

提示：

能求出地球的质量。

利用G＝m2r求出的质量M＝为中心天体的质量。

做圆周运动的月球的质量m在等式中已消掉，所以根据月球的周期T、公转半径r，无法计算月球的质量。

天体质量和密度的计算

1．天体质量的计算

（1）“自力更生法”：

若已知天体（如地球）的半径R和表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于天体对物体的引力，得mg＝G，解得天体质量为M＝，因g、R是天体自身的参量，故称“自力更生法”。

（2）“借助外援法”：

借助绕中心天体做圆周运动的行星或卫星，计算中心天体的质量，常见的情况：

G＝m⇒M＝

G＝mω2r⇒M＝

G＝m2r⇒M＝

2．天体密度的计算

若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝。

将M＝代入上式得：

ρ＝。

特别地，当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则ρ＝。

[典例]　我国探月的“嫦娥”工程已启动，在不久的将来，我国宇航员就会登上月球。

假设探月宇航员站在月球表面一斜坡上的M点，并沿水平方向以初速度v0抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡上另一点N，斜面的倾角为θ，如图332所示。

将月球视为密度均匀、半径为R的球体，引力常量为G，则月球的密度为（　　）

图332

A.　　　　　　　B.

C.D.

[思路点拨]　利用平抛运动的规律可确定月球表面的重力加速度g，然后利用“自力更生法”求出月球的质量，从而得到月球的密度。

[解析]　根据平抛运动规律有MN·sinθ＝，MN·cosθ＝v0t，两式相比得月球表面的重力加速度g＝，月球对物体的万有引力等于物体的重力，有＝mg，月球的密度ρ＝，解得ρ＝，C正确。

[答案]　C

（1）计算天体质量和密度的公式，既可以计算地球质量，也可以计算太阳等其他星体的质量，需明确计算的是中心天体的质量。

（2）要注意理解并区分公式中的R、r，R指中心天体的半径，r指行星或卫星的轨道半径，只有在近“地”轨道运行时才有r＝R。

1.“嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨道。

观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间t通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ（弧度），如图333所示。

已知引力常量为G，由此可推导出月球的质量为（　　）

图333

A.B.

C.D.

解析：

选A　根据弧长及对应的圆心角，可得“嫦娥三号”的轨道半径r＝，根据转过的角度和时间，可得ω＝，由于月球对“嫦娥三号”的万有引力提供“嫦娥三号”做圆周运动的向心力，可得G＝mω2r，由以上三式可得M＝，A正确。

2．假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星。

若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知引力常量为G。

（1）则该天体的密度是多少？

（2）若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得在该处做圆周运动的周期为T2，则该天体的密度又是多少？

解析：

（1）由万有引力提供卫星的向心力有G＝m2R，

根据数学知识可知天体的体积为V＝πR3

故该天体的密度为ρ＝＝＝。

（2）卫星距天体表面距离为h时，忽略自转有

G＝m（R＋h），

M＝，

ρ＝＝＝。

答案：

（1）　

（2）

天体运动的分析与计算

1．基本思路：

一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供。

2．常用关系

（1）G＝ma＝m＝mω2r＝mr。

（2）忽略自转时，mg＝G（物体在天体表面时受到的万有引力等于物体重力），整理可得：

gR2＝GM，该公式通常被称为“黄金代换式”。

3．四个重要结论

设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动。

（1）由G＝m得v＝，r越大，v越小。

（2）由G＝mω2r得ω＝，r越大，ω越小。

（3）由G＝m2r得T＝2π，r越大，T越大。

（4）由G＝ma向得a向＝，r越大，a向越小。

[典例]　据报道，天文学家近日发现了一颗距地球40光年的“超级地球”，名为“55Cancrie”。

该行星绕母星（中心天体）运行的周期约为地球绕太阳运行周期的，母星的体积约为太阳的60倍。

假设母星与太阳密度相同，“55Cancrie”与地球均做匀速圆周运动，则“55Cancrie”与地球的（　　）

A．轨道半径之比约为

B．轨道半径之比约为

C．向心加速度之比约为

D．向心加速度之比约为

[思路点拨]　

（1）“超级地球”绕母星的运动规则与地球绕太阳的运动规则相同。

（2）绕行天体的向心加速度由中心天体对它的万有引力产生。

[解析]　由公式G＝m2r，可得通式r＝，设“55Cancrie”的轨道半径为r1，地球轨道半径为r2，则＝＝，从而判断A错，B对；再由G＝ma得通式a＝G，则＝·＝＝，所以C、D皆错。

[答案]　B

（1）分析该类问题的关键是抓住“万有引力提供向心力”这一主线。

（2）定量计算时，除抓住以上主线外，有时要借助于“黄金代换式”才能顺利解决问题。

1.研究火星是人类探索向火星移民的一个重要步骤。

设火星和地球均绕太阳做匀速圆周运动，火星轨道在地球轨道外侧，如图334所示，与地球相比较，则下列说法中正确的是（　　）

图334

A．火星运行速度较大

B．火星运行角速度较大

C．火星运行周期较大

D．火星运行的向心加速度较大

解析：

选C　根据万有引力提供向心力G＝m＝mω2r＝mr＝ma，得v＝，ω＝，T＝2π，a＝，由此可知，轨道半径越大，周期越大，但速度、角速度、加速度越小，因火星的轨道半径比地球的轨道半径大，故火星的周期大，但火星的速度、角速度、加速度都较小，故C正确，A、B、D错误。

2．已知地球半径R＝6.4×106m，地面附近重力加速度g＝9.8m/s2，计算在距离地面高为h＝2.0×106m的圆形轨道上的卫星做匀速圆周运动的线速度v和周期T。

解析：

根据万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，即

G＝m。

知v＝。

①

由地球表面附近的物体受到的万有引力近似等于重力，

即G＝m′g，得GM＝gR2。

②

由①②两式可得

v＝＝6.4×106×m/s

＝6.9×103m/s。

运动周期T＝

＝s

＝7.6×103s。

答案：

6.9×103m/s　7.6×103s

宇宙双星问题

1．宇宙双星：

相距较近仅在彼此的引力作用下围绕它们的连线上的某一固定点（圆心）做匀速圆周运动的两颗恒星。

2．双星特点

（1）两颗恒星的向心力大小相等，都是由相互作用的万有引力提供。

（2）两颗恒星的角速度、周期相同。

[典例]　宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至于因万有引力的作用吸引到一起。

设二者的质量分别为m1和m2，二者相距L。

求：

（1）双星的轨道半径之比；

（2）双星的线速度之比；

（3）双星的运动周期。

[思路点拨]　处理双星问题的依据仍是万有引力充当向心力，但需充分利用双星模型的特点，并将其作为附加条件才能分析和求解相关问题。

[解析]　如图所示，两者轨迹圆的圆心为O，半径分别为R1和R2。

由万有引力提供向心力，有G＝m1R1①

G＝m2R2②

（1）由①②两式相除，得＝。

（2）因为v＝，所以＝＝。

③

（3）将①式消去“m1”，②式消去“m2”后相加得

＝（R1＋R2）④

又由几何关系知R1＋R2＝L⑤

所以由④⑤两式可得T＝2π。

[答案]　

（1）　

（2）　（3）2π

双星模型的两个重要结论

（1）双星模型中，星体运动的轨道半径和质量成反比，即r1∶r2＝m2∶m1，双星系统的转动中心离质量较大的星体近。

（2）双星系统的转动周期与双星的距离L、双星的总质量（m1＋m2）有关，即T＝2π。

1.现代观测表明，由于引力作用，恒星有“聚集”的特点，众多的恒星组成了不同层次的恒星系统，最简单的恒星系统是两颗互相绕转的双星，事实上，冥王星也是和另一星体构成双星，如图335所示，这两颗行星m1、m2各以一定速率绕它们连线上某一中心O匀速转动，这样才不至于因万有引力作用而吸引在一起，现测出双星间的距离始终为L，且它们做匀速圆周运动的半径r1与r2之比为3∶2，则（　　）

图335

A．它们的角速度大小之比为2∶3

B．它们的线速度大小之比为3∶2

C．它们的质量之比为3∶2

D．它们的周期之比为2∶3

解析：

选B　双星的角速度和周期都相同，故A、D均错；由G＝m1ω2r1，G＝m2ω2r2，解得m1∶m2＝r2∶r1＝2∶3，C错误。

由v＝ωr知，v1∶v2＝r1∶r2＝3∶2，B正确。

2．两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。

现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的质量之和。

解析：

设两星质量分别为M1、M2，都绕连线上O点做周期为T的圆周运动，星球1和星球2到O点的距离分别为l1、l2。

由万有引力定律和牛顿第二定律及几何条件可得：

对M1：

G＝M12l1，

所以M2＝；

对M2：

G＝M22l2，

所以M1＝；

而R＝l1＋l2，

所以，两星的质量之和：

M＝M1＋M2＝＋＝。

答案：

1．下列说法正确的是（　　）

A．海王星是人们直接应用万有引力定律计算