数学与音乐的对话Word文件下载.docx
《数学与音乐的对话Word文件下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学与音乐的对话Word文件下载.docx（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
（一）由古希腊毕达哥拉斯时代来看
自古以来，西方的数学和音乐就是「一体」的，所以数学与音乐之间的关系不只是用「密切」来加以形容，它们是「不分家的」。
古希腊一位天才横溢的数学家毕达哥拉斯（Pythagoras，540B.C，约中国孔子的年代），就曾经将数学作了以下的分类（见图一，王怀权，民70）：
■图一毕达哥拉斯对于数学的分类
以现行的数学课程标准来看（教育部，民82），学生要学习的数学内容有「数与计算」、「量与实测」、「图形与空间」、「统计图表」、「数量关系」、「术语与符号」，其中我们很难找到音乐的影子。
而古希腊时代是将天文、几何、音乐与算术「统整」在数学之中的，这也是后来西方中世纪时代所谓「四艺」的教育内容。
毕达哥拉斯多才多艺，在宗教、天文、数学和音乐方面都很有研究，还被称为「乐器之父」。
以下有一段关于他的故事：
有一天毕氏经过一家打铁店，被其中打铁的声音所吸引住了，因为铁锤打铁的声音不但有「节奏」，且相当「悦耳」；
他感到惊奇，于是走到里面去探究竟。
他发现里面有四个人，分别拿了四个重量不同的铁锤，这四个铁锤重量的比恰好是12：
9：
8：
6。
当两个铁锤的重量比分别是12：
6、12：
9和12：
8时，一起敲打所发出来的声音听起来相当和谐。
他回去之后，进一步利用当时专为审度音律之用的乐器单弦琴（monochord）做了个实验，结果有两项重要发现：
（1）两个声音能够听起来和谐悦耳，跟两弦的长呈简单整数比有关；
（2）两音弦长的比是4：
3、3：
2、2：
1时是和谐的，它们的「音程」分别是四度、五度和八度。
所以，对于毕氏而言，「音乐就是整数比」（蔡聪明，民83）。
虽然，当时毕氏还无法利用频率来实验，仅能根据弦长来验证音与音之间的比，不过，利用「五度音循环法」，由1出发，除了F音必须降低五度求得之外，其余连续升高五度（即连续乘以3/2）五次，再把超过八度的音降低八度（除以2），或低于八度音的升高八度（乘以2），就可以得到「毕氏音阶」，如表一（蔡聪明，民83）。
■表一毕氏音阶
不过，在毕氏音阶里面却发现E、A、B三个音的比，并没有呈简单的整数比，因此后来有位天文学家C.Ptolemy就利用和弦的升降，将这些音修改为5/4、5/3、15/8，因而得到「纯律音阶」，如表二（详见蔡聪明，民83）。
■表二纯律音阶
但是，随着音乐的发展，虽说世界一流的小提琴家与歌唱家都按纯律来演奏或演唱，但毕氏音阶和纯律音阶在移调和转调上，以及在不同的乐器一起演奏的和谐度上，均无法符合音乐家或作曲家的需求，于是德国风琴师Werckmeister在1691年，从发表的一篇文章「将键盘乐器调成平均律的数学」当中，引出了「十二平均律」，它使得乐曲转调容易，但是声音不纯（例如中央C应该是264Hz变成了261.6Hz），且和弦并不那幺完美（蔡聪明，民83），十二平均律就是将C到C′之间等分割成十二个半音，所以，如果知道了C这个音的频率，就可以透过连续乘上一个常数12√2而得到12个半音。
自从1939年国际间订定标准音A的频率为440Hz之后，其它音的频率也大致底定（见表三）。
■表三音阶和频率
单位:
Hz
音高
中央C
D
E
F
G
A
B
高音C
纯律
264
297
330
352
396
440
495
528
十二平均律
261.6
293.7
329.6
349.3
392.1
493.9
523.2
依据作者的经验，目前现代的钢琴调音仍可以分为两种：
一种是利用调音器来调的，调音师「一个音一个音的敲」，然后与调音器所设定的频率对照是否正确，所以是按照十二平均律来调音的。
另一种是比较「高明」的老师传利用他敏锐的「耳朵」来调音的，他是「一个和弦一个和弦的弹」由和弦发出的声音的和谐度来判断音是否准确，所以纯律至今仍然有人使用。
（二）由形上学来看
由于数学具逻辑推理的性质，它能够创造出优美的演绎模式，虽然我们不能用听觉感知它的节奏，可是我们可以随着理性的推理思考，用大脑去体会它的韵律，所以说「数学是推理的音乐」（欧阳绛，民85）。
以下我们举两个例子进一步说明数学与音乐的共通性——美。
■图二视谱练习
《例一》图二这首乐曲虽然只是写给人们视谱练唱用的，但是从它的音符的形式来看，除了最后一小节之外，其余都是「四个八分音符和两个四分音符」有「规律」反复的音群所构成，且都是使用所谓「模进」的方式来编写，所以，我们只要唱前面两个小节Do,Re,Mi,Fa,Do,Fa，就可以「预测」接下来就是Re,Mi,Fa,Sol,Re,Sol（前两行），后两行音群下行的方式也是一样的模式。
这四行谱前两行和后两行则几乎是「对称」的关系，「规律」和「对称」都是一种美的形式，在数学的领域中，无论代数、几何或统计都经常可以看见。
《例二》数学王子高斯在小学时代曾经解过这样的题目：
1＋2＋3＋…＋100＝？
当全班同学都在埋头苦算的时候，高斯却轻而易举的把答案交出来了，全班师生们同感讶异。
他的算法是按照头尾相加和是101的模式，连续不断的配对（其实这就类似于音乐中的『模进』），到最后50＋51，一共可以得到五十对的101，所以将101乘以50就可以得到答案5050了（见图三）。
从这个例子，我们也可以看到在运算的过程当中，数字构成的关系那幺的和谐而有规律，这种由一定数量关系所构成的和谐就是一种数学美（徐炎章、吴开朗、唐煌、周金才，民87，p.35），而这种巧妙的解法本身也是一种美。
■图三高斯的解题模式
音乐是透过作曲家的思维模式，运用符号把它记录下来，当它被传达到听众的耳朵时，是那幺的和谐、有秩序、有规律，所以容易给人产生一种美感，进而心灵获得启发和陶冶。
数学本身不仅是艺术，也是一种思维的艺术（欧阳绛，民85），对于人们心灵的美化也具有同样的效果。
古希腊毕氏学派就认为：
数学和音乐都可以净化人的灵魂。
十九世纪数学家J.J.Sylvester（1814-1897）指出，置身于数学领域中，不断地探索和追寻，就能把人类的思维活动升华到纯净而和谐的境界。
当代数理逻辑家王浩也说，数学具有纯净的美（drybeauty）。
Sylvester（1814-1897）又指出：
「音乐不就是感觉中的数学，而数学不就是推理中的音乐吗？
两者的灵魂是完全一致的。
」这段话更道出了数学与音乐另一种形而上的关系。
因此，如果说：
「音乐家可以感觉到数学，而数学家可以想象到音乐。
」是可以让人理解的。
虽说音乐是梦幻，而数学是现实，但当人类智能升华到完美的境界时，音乐和数学就互相渗透而融为一体了（欧阳绛，民85）。
四、将数学应用于音乐之中
数学家莱布尼兹（Leibniz,1646-1716）说：
「音乐是一种隐藏的算术练习，透过潜意识的心灵跟数目字在打交道」（引自蔡聪明，民83）。
而实际上，「乐理」的确是一种可以用数学的方法来计算的具体知识（黄嘉彦、张如梅，民89）。
在音乐的领域当中，运用数学来处理相关的问题的例子非常多，例如：
毕达哥拉斯发现弦长的简单整数比（算术的比例论），进而推算出毕氏音阶、傅里叶（B.J.B.JosephFourier,1786-1830）针对周期性的声音进行研究，发现任何声音都可以用简单的正弦函数（asinbx）各项的和来表示。
以下将举几个的例子说明数学在音乐中被运用的情形：
在音乐当中，我们把记录声音的符号称为「音符」；
把记录暂停的符号称为「休止符」。
下表是音符与休止符的种类和名称。
■图四音符与休止符的种类和名称
有了音符和休止符之后，任何的旋律便可以用它们来记载。
而任何一段简单的旋律的构成，不外乎是音高、音的长度和演奏的速度。
我们可以透过音高、音的长度和演奏的速度来了解其中的数学。
（一）音高
声音振动的频率快表示声音高，反之，则声音低。
当声音用符号来记录之后（就是音符），将它「挂在」五线谱上就可以从它的位置看到它的「音高」。
■图四简谱示例
光从音符在五线谱上的高低位置，看不出来与数学有何关联。
但在五线谱底下，我们可以看到一群数字1,2,3,4,…（见图四），这就是所谓的「简谱」，是不是就和数学扯上关系了呢？
有许多学习音乐的人并不太习惯看五线谱上面的音符，而比较偏好看这群数字所构成的「简谱」，目前常用「简谱」来记录乐谱的有国乐、爵士乐等。
（二）音的长度
声音的长短也可以用音符记录起来。
由上表一所记载的各种不同的音符就可以清楚地"
看出"
声音的长短。
例如：
我们先订出拍号（见图五）：
■图五定出拍号
再来看表四，若以四分音符定为1拍的话，二分音符就是它的「两倍」，是2拍，全音符是它的「四倍」，是4拍；
而八分音符则是它的「一半」，是1/2拍，十六分音分的音长是它的「四分之一」，是1/4拍，三十二分音符则是1/8拍，其中是不是就有简单的「倍数」和「分数」的概念了呢？
而休止符除了没有音高之外，其暂停时间的长短和演奏的速度和音符是一致的。
表五将归纳出音符、休止符表示长短的关系：
■表五音符、休止符表示长短的关系
由表五我们也不难看出，一个全音符「等于」一个四分音符「加」一个四分音符之间的数量关系。
音符或休止符之间的长短关系常常是运用数学来计算的。
（三）演奏速度
乐曲演奏时所要表达的意境，除了和「调性」有关之外，也和演奏的「速度」有密切的关连。
演奏国歌，必须是庄严而隆重的气氛，「中板」是较适合的，「快板」就不成「体统」了；
而欢乐歌，使用「缓板」就欢乐不起来了。
其中，所谓的「快板」、「中板」、「缓板」都是音乐里表示速度的术语。
德国有位发明家，名叫梅智（J.N.Maelzel）。
他曾经为贝多芬制作助听器，也是梅智拍节机「Maelzelmetronome简写成M.M.」的发明者。
这种机器其实也是利用简单的钟摆原理设计的，不过摆动一次即算一拍。
梅智拍节机的发明嘉惠了许多初学音乐的人，在控制乐曲进行的速度方面帮助极大，而在乐谱里面，我们也常常看见这样的记录形式（见图六）：
■图六演奏速度示例
图六中，
（1）表示在一分钟里面，必须唱奏60个四分音符，就是60拍；
（2）表示在一分钟里面，必须唱奏120个二分音符，即120拍；
（3）表示在一分钟里面，必须唱奏60到66个附点四分音符；
（4）表示在一分钟里面，必须唱奏『大约』100个四分音符。
这些符号的记录形式都是在告知，妳/你必须按照什幺样子的速度前进，不得太慢或「超速」，否则，就有可能把「送葬进行曲」变成「军队进行曲」而闹笑话了。
在乐曲当中，有了这些「速度」概念以后，不必实际演奏，我们就可以轻易「计算」出一首乐从头到尾演奏一遍所需的时间。
■图七小小世界（片段）
图七这首「小小世界」的乐曲（片段），它的速度是每分钟演奏132拍，全曲总共是4×
16＝64拍，所以，64÷
132≒0.480.48×
60≒29（秒），演奏完毕大约是半分钟。
所以我们如果利用这种方式，把许多乐曲的演奏时间事先都算出来，就可以应用于安排音乐表演节目或用于录音时，曲目的编排等。
音乐是时间的艺术，「时间」不就是数学当中，学生必须学习的重要概念之一吗？
其实音乐中的速度，也就是音乐里的「节奏」，对音乐学习者而言是很重要的，音乐「节奏感」很好的人，他/她在音乐的表现上必然不差，而同样的，他/她的「速度感」也会不错，速度在数学里是一种「量感」，也是重要的数学概念，所以，我们也相信音乐「节奏感」很好的人，对于学习数学有关速度这部分的概念，应该是有所助益的。
五、音乐与数学理解能力
1993年美国威斯康辛大学心理学教授罗丝雀，对其校内的大学生进行一项实验发现，听莫扎特的钢琴协奏曲可以提高大学生的智商，同时增强其「几何」与「空间」的思考能力；
英国也有科学家曾经利用白老鼠作实验，首先，将白老鼠分成两组，并且训练其走迷宫，刚开始这两组白老鼠平均花了三分钟可以走完，之后，其中一组整天听着巴哈、莫扎特、贝多芬的音乐，另一组则听重金属的音乐，过了半个月后，再让牠们走一次迷宫，结果听古典音乐那一组半分钟就走完了，而听重金属的那一组花了十分钟还没走完（施沛琳，民89）。
由这两个实验研究可以证明，听音乐对于人们的数理能力（或记忆能力）是有影响的。
以下介绍几位音乐家所作的音乐，是有助于人们数理能力的，如：
1.巴哈：
他的音乐可以说是把音符「排列组合」的各种关系发挥的淋漓尽致，其复音的手法等于是一种水平的双向思考，其赋格的手法，相当于演绎法的开展，透过他的作品的熏陶，可以提高人的记忆力。
2.莫扎特的交响协奏曲、韦瓦弟的小提琴协奏曲，有助于「抽象逻辑能力」的发展。
3.史麦塔纳的「莫尔道河」、柴可夫斯基的「迪米黎的法兰西斯卡幻想曲」皆可以训练大脑对符号的解读能力。
六、如何统整数学与音乐于教学活动之中
要将数学和音乐作统整或联结，比较容易的作法是，以音乐有关的情境为背景，让学生一边探索与音乐有关的问题，一边运用数学的经验来解决问题。
如此，学生不仅仅学到了「乐理」，同时也学习到了我们希望学生学到的「数学概念」。
底下将举出两个适合于小学六年级程度的例子，教师可以在数学课当中运动，也可以和音乐老师沟通，利用上音乐课的时间，让学生从事这样的解题活动。
《例一》（引自SMP11-16,1986）：
当我们要演奏吉他的时候，我们必须要调音，也就是调整吉他上面弦的「松紧」度，使它发出来的声音符合标准音高；
吉他演奏者利用他的手指头控制弦振动的长度，使声音产生变化，以演奏乐曲（见图八）。
■图八
■图九
如果弦振动的长度减半（÷
2），其频率会加倍（×
2），产生的声音会「高八度」，例如：
一条弦振动的频率是每秒440次，产生的声音是标准音A，若弦的长度减半，其频率则会变成每秒880次，产生的音是高八度的A。
所以，声音的频率与振动的弦长度呈「反比例」的关系。
1.范例：
有一条弦经过调音之后，它的长度是70公分，振动频率是110Hz。
如果要让它发出频率为185Hz的声音，长度必须调整为多少？
（1）首先，计算频率由110Hz增加到185Hz的倍数：
185÷
110≒1.68（倍）
（2）我们已经知道长度和频率呈「反比例」的关系。
所以，频率增加1.68倍，长度则减少1.68倍。
70÷
1.68≒41.6（公分）（见图九）
（3）图十的键盘表是A这个音的振动频率。
■图十Ａ音的振动频率
2.问题练习：
在钢琴上，低两个八度的A音，这条弦振动的频率是每秒110次（110Hz），假设这条弦长是70公分，如果要使这条弦产生如表六的音，长度各是多少？
■表六问题练习
低音A
低音B
低音C
低音D
低音E
低音F
低音G
频率
110
124
131
147
165
175
196
长度
70
3.在吉他上面可以看到许多的小格子，可以用来帮助演奏者按出正确的音高，而这些格子也是利用类似上面的方法计算之后画上去的（见图十一）。
■图十一吉他（局部）
《例二》一年一度的音乐比赛就要到了。
今年子轩想要参加直笛独奏的比赛，他看到报名表上面必须填写出指定曲和自选曲演奏的时间，正在伤脑筋，因为指定曲「赏月舞」的乐谱（徐松荣，民88）才刚拿到（见图十二），一时找不到录音带或CD可以听范奏，又不熟悉曲子，也不太会吹，怎么办呢？
我们来帮他想想好吗？
■图十二赏月舞（片段）
1.首先，查查看「赏月舞」吹奏的「速度」是多少？
2.拍号２４是什么意思？
3.依据拍号，这首乐曲共唱几小节？
几拍？
4.根据以上的资料，算算看这首曲子演奏完大约需要几分几秒？
由以上这两个例子来看，当我们在做教学或教材的设计时，教师有必要同时了解音乐中的「乐理」以及数学当中我们要学生学习的「数学概念」。
因此，无论是对一般「级任老师」或是「音乐老师」单方面而言，有可能会产生困难，所以，教不同科目之间的老师，利用「协同教学」是有其必要的。
七、结论
从以上的论述，我们可以清楚的看到，数学与音乐「很自然地」联结为一体，而这一体刚好有两个面，一个是代表「理性」的数学，另一则是「感性」音乐。
在本文，作者已企图将理性与感性的结合作了批注，九年一贯课程中，十大基本能力的内涵其中「统整能力」即主张理性与感性应该互相调和。
而我们也看到了在数学之中，虽然听不见声音，但是它的规律、它的和谐与它的美，与音乐是相通的；
而在音乐里头，从音符的长短到曲式的铺陈，数学的影子更是无处不在。
学习数学和音乐，除了能获得有关的知识之外，也是促进思想清晰、明确、简炼的最好途径（欧阳绛，民85）。
此外，「培养欣赏数学的能力」也是九年一贯课程数学领域里所期待的教育目标之一（教育部，民88）。
因此，从本文「开启数学与音乐的对话」当中，我们期盼藉由阐释数学与音乐的关系，所带给读者的启示，不仅仅是数学与音乐在教学当中，可以作「统整」跟「连结」而已，更希望的是大家在日常生活中，欣赏音乐之余，也能以同样的心情和态度，来欣赏数学的美与数学的价值。
※参考资料
1.王怀权编着（民70）。
数学发展史。
台北：
协进图书。
2.施沛琳（民89）。
IQ进步，记忆加分。
载于联合报89.8.26，第42版。
3.教育部（民82）。
国民小学课程标准。
教育部编印。
4.教育部（民88）。
国民教育九年一贯课程纲要（草案）：
数学学习领域。
教育部。
5.徐炎章、吴开朗、唐煌、周金才（民87）。
数学美学思想史。
晓园。
6.徐松荣编曲（民88）。
赏月舞。
载于林铠陈编选：
笛声传乡情。
新竹市立直笛合奏团。
7.张祖贵译（民84）。
M.Kline着，西方文化中的数学。
九章。
8.黄嘉彦、张如梅（民89）。
科学与音乐的对话。
科学月刊，第三十一卷第六期，页518-527。
9.蔡聪明（民83）。
音乐与数学：
从弦内之音到弦外之音。
数学传播，第十八卷第一期，页78-96。
10.欧阳绛（民85）。
数学的艺术（页V，272-273）。
台北市：
11.SMP11-16yellowserise.BkY3.（1986）.CambridgeUniversityPress.
升级会员 