届高三理科数学五年高考三年模拟分类汇编解析版第4章 基本初等函数Ⅱ三角函数.docx
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届高三理科数学五年高考三年模拟分类汇编解析版第4章基本初等函数Ⅱ三角函数
第四章 基本初等函数Ⅱ(三角函数)
命题探究
解答过程
(1)由题设得acsinB=,即csinB=.
由正弦定理得sinCsinB=.故sinBsinC=.
(2)由题设及
(1)得cosBcosC-sinBsinC=-,即cos(B+C)=-.
所以B+C=,故A=.由题设得bcsinA=,即bc=8.
由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=.
故△ABC的周长为3+
目录:
§4.1 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式
§4.2 三角函数的图象与性质
§4.3 三角函数的最值与综合应用
§4.4 三角恒等变换
§4.5 解三角形
§4.1 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式
考纲解读
考点
内容解读
要求
高考示例
常考题型
预测热度
三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式
①了解任意角的概念和弧度制的概念;
②能进行弧度与角度的互化;
③理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义;
④理解同角三角函数的基本关系式:
sin2x+cos2x=1,=tanx;
⑤能利用单位圆中的三角函数线推导出±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式
理解
2017北京,12;
2016课标全国Ⅲ,5;
2015广东,16;
2014四川,13;
2014大纲全国,3
选择题
填空题
★★★
分析解读 1.了解任意角、弧度制的概念,能正确进行弧度与角度的互化.2.会判断三角函数值的符号;理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.3.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式,会用三角函数线解决相关问题.4.理解同角三角函数的基本关系式:
sin2x+cos2x=1,=tanx,全面系统地掌握知识的来龙去脉,熟悉各知识点之间的联系.
5.本节内容在高考中一般融入三角函数求值、化简中,不能单独考查.
五年高考
考点 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式
1.(2016课标全国Ⅲ,5,5分)若tanα=,则cos2α+2sin2α=( )
A.B.C.1D.
答案 A
2.(2014大纲全国,3,5分)设a=sin33°,b=cos55°,c=tan35°,则( )
A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b
答案 C
3.(2017北京,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sinα=,则cos(α-β)= .
答案 -
4.(2015广东,16,12分)在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sinx,cosx),x∈.
(1)若m⊥n,求tanx的值;
(2)若m与n的夹角为,求x的值.
解析
(1)因为m⊥n,所以m·n=sinx-cosx=0.
即sinx=cosx,又x∈,所以tanx==1.
(2)易求得|m|=1,|n|==1.
因为m与n的夹角为,
所以cos==.
则sinx-cosx=sin=.
又因为x∈,所以x-∈.
所以x-=,解得x=.
教师用书专用(5)
5.(2014四川,13,5分)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67°,30°,此时气球的高是46m,则河流的宽度BC约等于 m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:
sin67°≈0.92,cos67°≈0.39,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,≈1.73)
答案 60
三年模拟
A组 2016—2018年模拟·基础题组
考点 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式
1.(2018吉林长春一模,6)若角α的顶点为坐标原点,始边在x轴的非负半轴上,终边在直线y=-x上,则角α的取值集合是 ( )
A.B.
C.D.
答案 D
2.(2018江西阶段性检测,4)已知P在角β的终边上,且sinβ=,则a的值为( )
A.1B.3C.D.
答案 A
3.(2017河北石家庄二中模拟,3)已知点M在角θ终边的延长线上,且|OM|=2,则点M的坐标为( )
A.(2cosθ,2sinθ)B.(-2cosθ,2sinθ)
C.(-2cosθ,-2sinθ)D.(2cosθ,-2sinθ)
答案 C
4.(2017福建四地六校联考,6)已知α为锐角,且2tan(π-α)-3cos+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)-1=0,则sinα的值是 ( )
A.B.C.D.
答案 C
5.(2017湖北襄阳四校联考,4)若角α的终边在第一象限,则+的取值集合为( )
A.{-2,2}B.{0,2}
C.{2}D.{0,-2,2}
答案 A
6.(2016河南天一大联考阶段测试
(二),7)已知角α的终边经过P(sin15°,-cos15°),则sin2α的值为( )
A.0B.C.-D.+
答案 D
7.(人教A必4,一,1-3A,3,变式)等于 ( )
A.sin2-cos2B.cos2-sin2
C.±(sin2-cos2)D.sin2+cos2
答案 A
8.(2018浙江名校协作体考试,13)已知sin·cos=,且0<α<,则sinα= ,cosα= .
答案 ;
B组 2016—2018年模拟·提升题组
(满分:
35分 时间:
30分钟)
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.(2018河南天一大联考,2)在平面直角坐标系xOy中,角α的终边经过点P(3,4),则sin=( )
A.-B.-C.D.
答案 B
2.(2018四川南充一诊,5)设f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),其中a,b,α,β都是非零实数,若f(2017)=-1,那么f(2018)=( )
A.1B.2C.0D.-1
答案 A
3.(2017河南八市联考,6)已知函数y=loga(x-1)+3(a>0且a≠1)的图象恒过定点P,若角α的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P,则sin2α-sin2α的值为( )
A.B.-C.D.-
答案 D
4.(2017浙江温州模拟,4)若+=,则sinαcosα=( )
A.-B.
C.-或1D.或-1
答案 A
5.(2017河北邯郸联考,8)已知α为锐角,若sin2α+cos2α=-,则tanα=( )
A.3B.2C.D.
答案 A
6.(2016福建四地六校第一次联考,2)设a=sin145°,b=cos52°,c=tan47°,则a,b,c的大小关系是( )
A.a
答案 A
二、填空题(共5分)
7.(2018广东惠阳高级中学月考,15)已知α∈,4sinα+3cosα=0,则sin2α+3cos2α的值为 .
答案
C组 2016—2018年模拟·方法题组
方法1 利用三角函数定义解题的方法
1.(2017广东省际名校模拟,8)已知角α终边上一点的坐标为P,则角α是( )
A.B.C.-D.-
答案 D
2.(2016河南中原名校第三次联考,4)已知角α的终边经过点A(-,a),若点A在抛物线y=-x2的准线上,则sinα=( )
A.-B.C.-D.
答案 D
方法2 同角三角函数基本关系式的应用技巧
3.(2017湖北四地七校联考,3)已知α为第四象限角,sinα+cosα=,则tan的值为( )
A.-B.C.-D.
答案 C
4.(2016浙江杭州五校联盟高三一诊,6)已知倾斜角为θ的直线与直线x-3y+1=0垂直,则=( )
A.B.-
C.D.-
答案 C
方法3 利用诱导公式化简求值的思路和要求
5.(2018山东临沂临沭第一中学学情调研,3)已知cos=-,则cos+sin=( )
A.-B.-1C.0D.
答案 C
6.(2017江西上饶一模,3)已知sin=,则cos的值等于( )
A.B.C.-D.-
答案 A
§4.2 三角函数的图象与性质
考纲解读
考点
内容解读
要求
高考示例
常考题型
预测热度
1.三角函数的图
象及其变换
①能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象,了解三角函数的周期性;
②了解函数y=Asin(ωx+φ)的物理意义;能画出y=Asin(ωx+φ)的图象,了解参数A,ω,φ对函数图象变化的影响
掌握
2017课标全国Ⅰ,9;
2016北京,7;
2016课标全国Ⅲ,14;
2015湖南,9
选择题
填空题
解答题
★★★
2.三角函数的性
质及其应用
理解正弦函数、余弦函数的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴交点等).理解正切函数的单调性
理解
2017课标全国Ⅲ,6;
2016课标全国Ⅱ,7;
2015课标Ⅰ,8
选择题
填空题
解答题
★★★
分析解读 三角函数的图象和性质一直是高考中的热点,往往结合三角公式进行化简和变形来研究函数的单调性、奇偶性、对称性及最值问题,且常以解答题的形式考查,其考查内容及形式仍是近几年高考对该部分内容考查的重点.分值为10~12分,属于中低档题.
五年高考
考点一 三角函数的图象及其变换
1.(2017课标全国Ⅰ,9,5分)已知曲线C1:
y=cosx,C2:
y=sin,则下面结论正确的是( )
A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2
B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2
C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2
D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2
答案 D
2.(2016北京,7,5分)将函数y=sin图象上的点P向左平移s(s>0)个单位长度得到点P'.若P'位于函数y=sin2x的图象上,则( )
A.t=,s的最小值为B.t=,s的最小值为
C.t=,s的最小值为D.t=,s的最小值为
答案 A
3.(2015湖南,9,5分)将函数f(x)=sin2x的图象向右平移φ个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)-g(x2)|=2的x1,x2,有|x1-x2|min=,则φ=( )
A.B.C.D.
答案 D
4.(2016课标全国Ⅲ,14,5分)函数y=sinx-cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移 个单位长度得到.
答案
5.(2017山东,16,12分)设函数f(x)=sin+sin,其中0<ω<3.已知f=0.
(1)求ω;
(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在上的最小值.
解析 本题考查了y=Asin(ωx+φ)的图象和性质.
(1)因为f(x)=sin+sin,
所以f(x)=sinωx-cosωx-cosωx
=sinωx-cosωx=
=sin.
由题设知f=0,所以-=kπ,k∈Z.
故ω=6k+2,k∈Z,又0<ω<3,所以ω=2.
(2)由
(1)得f(x)=sin,
所以g(x)=sin=sin.
因为x∈,所以x-∈,
当x-=-,即x=-时,g(x)取得最小值-.
教师用书专用(6—15)
6.(2016四川,3,5分)为了得到函数y=sin的图象,只需把函数y=sin2x的图象上所有的点( )
A.向左平行移动个单位长度
B.向右平行移动个单位长度
C.向左平行移动个单位长度
D.向右平行移动个单位长度
答案 D
7.(2015四川,4,5分)下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )
A.y=cosB.y=sin
C.y=sin2x+cos2xD.y=sinx+cosx
答案 A
8.(2015山东,3,5分)要得到函数y=sin的图象,只需将函数y=sin4x的图象( )
A.向左平移个单位B.向右平移个单位
C.向左平移个单位D.向右平移个单位
答案 B
9.(2014浙江,4,5分)为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象,可以将函数y=cos3x的图象( )
A.向右平移个单位B.向左平移个单位
C.向右平移个单位D.向左平移个单位
答案 C
10.(2014辽宁,9,5分)将函数y=3sin的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数( )
A.在区间上单调递减
B.在区间上单调递增
C.在区间上单调递减
D.在区间上单调递增
答案 B
11.(2013湖北,4,5分)将函数y=cosx+sinx(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是( )
A.B.C.D.
答案 B
12.(2013山东,5,5分)将函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能取值为( )
A.B.C.0D.-
答案 B
13.(2013四川,5,5分)函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是( )
A.2,-B.2,-C.4,-D.4,
答案 A
14.(2016江苏,9,5分)定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是 .
答案 7
15.(2015湖北,17,11分)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:
ωx+φ
0
π
2π
x
Asin(ωx+φ)
0
5
-5
0
(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;
(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为,求θ的最小值.
解析
(1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=-.
数据补全如下表:
ωx+φ
0
π
2π
x
π
Asin(ωx+φ)
0
5
0
-5
0
且函数表达式为f(x)=5sin.
(2)由
(1)知f(x)=5sin,
得g(x)=5sin.
因为y=sinx的对称中心为(kπ,0),k∈Z.
令2x+2θ-=kπ,
解得x=+-θ,k∈Z.
由于函数y=g(x)的图象关于点成中心对称,
令+-θ=,解得θ=-,k∈Z.
由θ>0可知,当k=1时,θ取得最小值.
考点二 三角函数的性质及其应用
1.(2017课标全国Ⅲ,6,5分)设函数f(x)=cos,则下列结论错误的是( )
A.f(x)的一个周期为-2π
B.y=f(x)的图象关于直线x=对称
C.f(x+π)的一个零点为x=
D.f(x)在单调递减
答案 D
2.(2016课标全国Ⅱ,7,5分)若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为( )
A.x=-(k∈Z)B.x=+(k∈Z)
C.x=-(k∈Z)D.x=+(k∈Z)
答案 B
3.(2016浙江,5,5分)设函数f(x)=sin2x+bsinx+c,则f(x)的最小正周期( )
A.与b有关,且与c有关B.与b有关,但与c无关
C.与b无关,且与c无关D.与b无关,但与c有关
答案 B
4.(2015课标Ⅰ,8,5分)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为( )
A.,k∈ZB.,k∈Z
C.,k∈ZD.,k∈Z
答案 D
5.(2014北京,14,5分)设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>0,ω>0).若f(x)在区间上具有单调性,且f=f=-f,则f(x)的最小正周期为 .
答案 π
6.(2017浙江,18,14分)已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2·sinxcosx(x∈R).
(1)求f的值;
(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.
解析 本题主要考查三角函数的性质及其变换等基础知识,同时考查运算求解能力.
(1)由sin=,cos=-,
f=--2××,
得f=2.
(2)由cos2x=cos2x-sin2x与sin2x=2sinxcosx得
f(x)=-cos2x-sin2x=-2sin.
所以f(x)的最小正周期是π.
由正弦函数的性质得+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,
解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
所以,f(x)的单调递增区间是(k∈Z).
教师用书专用(7—16)
7.(2016山东,7,5分)函数f(x)=(sinx+cosx)(cosx-sinx)的最小正周期是( )
A.B.πC.D.2π
答案 B
8.(2014陕西,2,5分)函数f(x)=cos的最小正周期是( )
A.B.πC.2πD.4π
答案 B
9.(2013北京,3,5分)“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
答案 A
10.(2013浙江,4,5分)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈R),则“f(x)是奇函数”是“φ=”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
答案 B
11.(2015浙江,11,6分)函数f(x)=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是 ,单调递减区间是 .
答案 π;(k∈Z)
12.(2014上海,1,4分)函数y=1-2cos2(2x)的最小正周期是 .
答案
13.(2016天津,15,13分)已知函数f(x)=4tanxsincos-.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期;
(2)讨论f(x)在区间上的单调性.
解析
(1)f(x)的定义域为.
f(x)=4tanxcosxcos-
=4sinxcos-
=4sinx-
=2sinxcosx+2sin2x-
=sin2x+(1-cos2x)-
=sin2x-cos2x=2sin.
所以,f(x)的最小正周期T==π.
(2)令z=2x-,易知函数y=2sinz的单调递增区间是,k∈Z.
由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
设A=,B=,易知A∩B=.
所以,当x∈时,f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.
14.(2015重庆,18,12分)已知函数f(x)=sinsinx-cos2x.
(1)求f(x)的最小正周期和最大值;
(2)讨论f(x)在上的单调性.
解析
(1)f(x)=sinsinx-cos2x
=cosxsinx-(1+cos2x)
=sin2x-cos2x-=sin-,
因此f(x)的最小正周期为π,最大值为.
(2)当x∈时,0≤2x-≤π,从而当0≤2x-≤,即≤x≤时,f(x)单调递增,
当≤2x-≤π,即≤x≤时,f(x)单调递减.
综上可知,f(x)在上单调递增;在上单调递减.
15.(2015山东,16,12分)设f(x)=sinxcosx-cos2.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f=0,a=1,求△ABC面积的最大值.
解析
(1)由题意知f(x)=-
=-=sin2x-.
由-+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,可得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z;
由+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,可得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z);
单调递减区间是(k∈Z).
(2)由f=sinA-=0,得sinA=,
由题意知A为锐角,所以cosA=.
由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,
可得1+bc=b2+c2≥2bc,即bc≤2+,且当b=c时等号成立.
因此bcsinA≤.
所以△ABC面积的最大值为.
16.(2013安徽,16,12分)已知函数f(x)=4cosωx·sin(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)讨论f(x)在区间上的单调性.
解析
(1)f(x)=4cosωx·sin
=2sinωx·cosωx+2cos2ωx
=(sin2ωx+cos2ωx)+
=2sin+.
因为f(x)的最小正周期为π,且ω>0,
从而有=π,故ω=1.
(2)由
(1)知,f(x)=2sin+.
若0≤x≤,则≤2x+≤.
当≤2x+≤,即0≤x≤时,f(x)单调递增;
当≤2x+≤,即≤x≤时,f(x)单调递减.
综上可知,f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.
三年模拟
A组 2016—2018年模拟·基础题组
考点一 三角函数的图象及其变换
1.(2018四川德阳三校联考,5)将函数f(x)=sin2x图象上的点保持纵坐标不变,将横坐标缩短为原来的,再将图象向右平移个单位长度后得到g(x)的图象,则g(x)的解析式为( )
A.g(x)=sinB.g(x)=sin
C.g(x)=sinD.g(x)=sin
答案 C
2.(2017河南百校联考,6)已知将函数f(x)=tan(2<ω<10)的图象向右平移个单位后与f(x)的图象重合,则ω=( )
A.9B.6
C.4D.8
答案 B
3.(2016福建福州一中1月模拟,6)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)
A>0,ω>0,|φ|<