最优化 马昌凤 第二章作业.docx

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最优化马昌凤第二章作业

最优化方法及其Matlab程序设计

习题作业暨实验报告

学院：

数学与信息科学学院

班级：

12级信计一班

姓名：

李明

学号：

1201214049

第二章线搜索技术

1、上机问题与求解过程

1、用0.618法求解

初始区间

，区间精度为

.

解：

当初始时不限制近似迭代函数值得大小，编写程序运行结果为：

极小点（s）

迭代次数

搜索区间误差

函数值误差

0.5016

9

0.0426

0.0006

从结果可以看出迭代次数为

次，极小点为

，极小点的函数值为

。

根据人工手算，极小值点应该为

，所以在设计程序的时候添加函数值误差范围，并取范围为

。

编写的设计函数程序并调试改正如下：

function[s,fs,k,G,FX,E]=gold（f,a,b,H,F）

%输入：

%f:

目标函数，a：

搜索区间左侧端点；b:

搜索区间右侧端点；

%H：

搜索区间允许范围；F：

搜索区间函数值允许范围；

%输出：

%s:

近似极小值点：

fa：

近似极小点数值；k:

迭代次数：

%FX：

近似迭代函数值；E=[h,fh]，h为近似区间误差，fh为函数值误差

t=（sqrt（5）-1）/2;h=b-a;

p=a+（1-t）*h;q=a+t*h;

fa=feval（f,a）;fb=feval（f,b）;

fp=feval（f,p）;fq=feval（f,q）;

k=1;G（k,:

）=[a,p,q,b];

%初始时错误语句：

G（1,:

）=[a,p,q,b];

%初始调试的时候没有注意到后面需要开辟k行空间

FX（k,:

）=[fa,fp,fq,fb];

while（abs（fa-fb）>F）（（b-a）>H）

if（fp

b=q;fb=fq;q=p;fq=fp;h=b-a;p=a+（1-t）*h;fp=feval（f,p）;

%初始时错误语句：

b=q;fb=fq;h=b-a;q=a+t*h;fq=feval（f,q）;

%初始调试的时候对0.618方法没有充分理解所以出现错误

else

a=p;fa=fp;p=q;fp=fq;h=b-a;q=a+t*h;fq=feval（f,q）;

%初始时错误语句：

a=p;fa=fp;h=b-a;p=a+（1-t）*h;fp=feval（f,p）;

%初始调试的时候对0.618方法没有充分理解所以出现错误

end

k=k+1;G（k,:

）=[a,p,q,b];

%初始时错误语句：

G（1,:

）=[a,p,q,b];

%初始调试的时候没有注意到前面已经开辟k行空间

FX（k,:

）=[fa,fp,fq,fb];

end

if（fp

s=p;fs=fp;

else

s=q;fs=fq;

end

h=b-a;fh=abs（fb-fa）;

%选取试探点最小的数值为近似点，并且计算出以上为搜索区间的的最后误差以及函数值误差

E=[h,fh];

在命令窗口内输入如下命令：

[s,fs,k,G,FX,E]=gold（inline（'s^2-s-1'）,-1,1,0.05,1e-10）

回车之后得到如下数据结果：

极小点

极小点数值

迭代次数

搜索区间误差

函数值误差

0.500

-1.2500

24

附：

在窗口中输出的结果如下

>>[s,fs,k,G,FX,E]=gold（inline（'s^2-s-1'）,-1,1,0.05,1e-10）

s=

0.5000

fs=

-1.2500

k=

24

G=

-1.0000-0.23610.23611.0000

-0.23610.23610.52791.0000

0.23610.52790.70821.0000

0.23610.41640.52790.7082

0.41640.52790.59670.7082

0.41640.48530.52790.5967

0.41640.45900.48530.5279

0.45900.48530.50160.5279

0.48530.50160.51160.5279

0.48530.49530.50160.5116

0.49530.50160.50540.5116

0.49530.49920.50160.5054

0.49530.49770.49920.5016

0.49770.49920.50010.5016

0.49920.50010.50060.5016

0.49920.49970.50010.5006

0.49970.50010.50030.5006

0.49970.50000.50010.5003

0.49970.49990.50000.5001

0.49990.50000.50000.5001

0.50000.50000.50000.5001

0.50000.50000.50000.5000

0.50000.50000.50000.5000

0.50000.50000.50000.5000

FX=

1.0000-0.7082-1.1803-1.0000

-0.7082-1.1803-1.2492-1.0000

-1.1803-1.2492-1.2067-1.0000

-1.1803-1.2430-1.2492-1.2067

-1.2430-1.2492-1.2406-1.2067

-1.2430-1.2498-1.2492-1.2406

-1.2430-1.2483-1.2498-1.2492

-1.2483-1.2498-1.2500-1.2492

-1.2498-1.2500-1.2499-1.2492

-1.2498-1.2500-1.2500-1.2499

-1.2500-1.2500-1.2500-1.2499

-1.2500-1.2500-1.2500-1.2500

-1.2500-1.2500-1.2500-1.2500

-1.2500-1.2500-1.2500-1.2500

-1.2500-1.2500-1.2500-1.2500

-1.2500-1.2500-1.2500-1.2500

-1.2500-1.2500-1.2500-1.2500

-1.2500-1.2500-1.2500-1.2500

-1.2500-1.2500-1.2500-1.2500

-1.2500-1.2500-1.2500-1.2500

-1.2500-1.2500-1.2500-1.2500

-1.2500-1.2500-1.2500-1.2500

E=

1.0e-04

*0.31210.0000

2、用0.618法求解

的近似最优解，初始搜索区间为

，区间精度为

.

解：

当初始时不限制近似迭代函数值得大小，编写程序运行结果为：

极小点（s）

迭代次数

搜索区间误差

函数值误差

0.8115

8

0.1003

0.0040

从结果可以看出迭代次数为

次，极小点为

，极小点的函数值为

。

由第一题目可以发现当增加函数值限制时，最小近似值的误差会减小，所以在设计程序的时候添加函数值误差范围，并取范围为

。

具体源程序与上一题相同，在此处不做详细列出。

在命令窗口内输入如下命令：

>>[s,fs,k,G,FX,E]=gold（inline（'s^3-2*s+1'）,0,3,0.15,1e-10）

回车之后得到如下数据结果：

极小点

极小点数值

迭代次数

搜索区间误差

函数值误差

0.8165

-0.0887

26

附：

在窗口中输出的结果如下

>>[s,fs,k,G,FX,E]=gold（inline（'s^3-2*s+1'）,0,3,0.15,1e-10）

s=

0.8165

fs=

-0.0887

k=

26

G=

01.14591.85413.0000

00.70821.14591.8541

00.43770.70821.1459

0.43770.70820.87541.1459

0.70820.87540.97871.1459

0.70820.81150.87540.9787

0.70820.77210.81150.8754

0.77210.81150.83590.8754

0.77210.79650.81150.8359

0.79650.81150.82080.8359

0.81150.82080.82660.8359

0.81150.81730.82080.8266

0.81150.81510.81730.8208

0.81510.81730.81860.8208

0.81510.81640.81730.8186

0.81510.81590.81640.8173

0.81590.81640.81680.8173

0.81590.81620.81640.8168

0.81620.81640.81660.8168

0.81640.81640.81650.8166

0.81640.81650.81650.8166

0.81640.81650.81650.8165

0.81650.81650.81650.8165

0.81650.81650.81650.8165

0.81650.81650.81650.8165

FX=

1.00000.21293.665622.0000

1.0000-0.06120.21293.6656

1.00000.2085-0.06120.2129

0.2085-0.0612-0.08000.2129

-0.0612-0.0800-0.01990.2129

-0.0612-0.0886-0.0800-0.0199

-0.0612-0.0839-0.0886-0.0800

-0.0839-0.0886-0.0877-0.0800

-0.0839-0.0877-0.0886-0.0877

-0.0877-0.0886-0.0886-0.0877

-0.0886-0.0886-0.0884-0.0877

-0.0886-0.0887-0.0886-0.0884

-0.0886-0.0887-0.0887-0.0886

-0.0887-0.0887-0.0887-0.0886

-0.0887-0.0887-0.0887-0.0887

-0.0887-0.0887-0.0887-0.0887

-0.0887-0.0887-0.0887-0.0887

-0.0887-0.0887-0.0887-0.0887

-0.0887-0.0887-0.0887-0.0887

-0.0887-0.0887-0.0887-0.0887

E=

1.0e-04*

0.17880.0000

3、用抛物线法求

的近似极小点，给定初始点

，初始步长

解：

运用书上的算法框架，进行自我编写程序，并输出近似极小点值与近似极小点函数值，程序调制修改后如下：

function[s,fs,k,G,E]=paowu1（f,s0,h0,H,F）

%输入：

%f:

目标函数；s0：

初始迭代点；h0:

初始选择步长；

%H：

搜索区间容许误差值；F：

函数值容许误差值；

%输出：

%s:

近似极小数值点；fs:

近似极小点函数值；k:

迭代次数；

%G：

k行4列矩阵；E[hb,fc,m]分别为最终步长、搜索函数值误差、搜索区间误差

s1=s0+h0;s2=s0+2*h0;h=h0;

fs0=feval（f,s0）;fs1=feval（f,s1）;fs2=feval（f,s2）;

k=1;G（k,:

）=[s0,s1,s2];

if（（fs1

fprintf（'itiserror,pleasechangeanotheranableh0'）;

else

fprintf（'itisOK，pleasegoon'）;

end

%调试错误分析：

调试时候将书中的数据进行带入，改变函数输入步长，发现不同步长的

%结果不一样，并且误差较大。

后来发现在一开始的时候，步长较短不能保证

%三个插值函数点中间低两边高，所以在进行测验时，特此编写此判断控制语句。

%如果正确，则可运用此结果；反之，则改变原来输入数值。

if（abs（s2-s0）

sb=s1;fsb=fs1;hb=h0;

k=1;G（k,:

）=[s0,s1,s2];

else

%调试错误分析：

在进行第二次调试的时候，发现没有考虑当初始的时候，搜索区间初始值

%小于给定搜索区间数值，即：

2倍的步长小于给定区间允许误差，所以在此

%处特此加入判断语句，进行改正。

while（abs（fs0-fs2）>F）|（abs（s0-s2）>H）

sb=s0+（（（3*fs0-4*fs1+fs2）*h）/（2*（fs0-2*fs1+fs2）））;

hb=（（4*fs1-3*fs0-fs2）*h）/（2*（2*fs1-fs0-fs2））;

fsb=feval（f,sb）;

%调试错误分析：

在初始的时候，sb，hb（分别代表下一步搜索点和搜索步长）的公式记错，

%出现结果计算不出现象，特此在调试的时候进行改正。

if（fs1<=fsb）

if（s1

s2=sb;fs2=fsb;

else

s0=sb;fs0=fsb;

end

else

if（s1>sb）,

s2=s1;s1=sb;fs2=fs1;fs1=fsb;

else

s0=s1;s1=sb;fs0=fs1;fs1=fsb;

end

end

k=k+1;G（k,:

）=[s0,s1,s2];

end

end

s=s1;fs=fs1;

fc=fs2-fs0;

c=abs（s2-s0）;

E=[hb,c,fc];

%调试错误分析：

在初始调试的时候，令其输出的是sb，fsb但结果算出的不正确。

我对算法

%没能够完全理解，其实再算出的中间的时候，数值已经赋值给s1,所以应该

%输出s1值，并且增加了输出最后一步步长的数值功能。

在此处我选取，抛物线方法搜索区间允许误差为0.005，函数值允许误差为0.001，并在窗口内输入如下语句：

>>[s,fs,k,G,E]=paowu1（inline（'s^2-6*s+2'）,1,0.1,0.005,0.01）

回车之后得到如下数据结果：

极小点

极小点数值

迭代次数

搜索区间误差

函数值误差

3.0000

-7.0000

3

0.0027

0.0097

附：

在窗口中输出的结果如下

>>[s,fs,k,G,E]=paowu1（inline（'s^2-6*s+2'）,1,0.1,0.005,0.01）

itisOK，pleasegoon

s=

3.0000

fs=

-7.0000

k=

3

G=

1.00001.10001.2000

1.10003.00001.2000

1.20273.00001.2000

E=

0.10270.00270.0097

4、用抛物线法求

的近似最优解，初始搜索区间为

，初始插值点

，终止条件为

.

解：

首先对函数作出图像，观察其最小值点在给定区间的大致位置，如下所示，在命令窗口中输入命令：

>>f='s^3-2*s+1';

fplot（f,[02]）

holdon;

title（f）

从函数图像可以看出，最小值点大致在0.8左右，所以根据给出的初始点为1，所以步长取负数假设为-0.15，由于区间为[0,3]，所以在程序中加入，判断控制语句，当插入的点有小于0时，程序停止。

在上一题的基础上编写的修正程序为：

function[s,fs,k,G,E]=paowu1（f,s0,h0,H,F）

%输入：

%f:

目标函数；s0：

初始迭代点；h0:

初始选择步长；

%H：

搜索区间容许误差值；F：

函数值容许误差值；

%输出：

%s:

近似极小数值点；fs:

近似极小点函数值；k:

迭代次数；

%G：

k行4列矩阵；E[hb,fc,m]分别为最终步长、搜索函数值误差、搜索区间误差

s1=s0+h0;s2=s0+2*h0;h=h0;

fs0=feval（f,s0）;fs1=feval（f,s1）;fs2=feval（f,s2）;

k=1;G（k,:

）=[s0,s1,s2];

if（（fs1>fs0）||（fs1>fs2））,

fprintf（'itiserror,pleasechangeanotheranableh0'）;

else

fprintf（'itisOK，pleasegoon'）;

end

%调试错误分析：

调试时候将书中的数据进行带入，改变函数输入步长，发现不同步长的

%结果不一样，并且误差较大。

后来发现在一开始的时候，步长较短不能保证

%三个插值函数点中间低两边高，所以在进行测验时，特此编写此判断控制语句。

%如果正确，则可运用此结果；反之，则改变原来输入数值。

if（abs（s2-s0）

sb=s1;fsb=fs1;hb=h0;

k=1;G（k,:

）=[s0,s1,s2];

else

%调试错误分析：

在进行第二次调试的时候，发现没有考虑当初始的时候，搜索区间初始值

%小于给定搜索区间数值，即：

2倍的步长小于给定区间允许误差，所以在此

%处特此加入判断语句，进行改正。

while（abs（fs0-fs2）>F）||（abs（s0-s2）>H）

if（（（s0）<0）&（s1）<0&（（s2）<0））,

break

else

continue

end

sb=s0+（（（3*fs0-4*fs1+fs2）*h）/（2*（fs0-2*fs1+fs2）））;

hb=（（4*fs1-3*fs0-fs2）*h）/（2*（2*fs1-fs0-fs2））;

fsb=feval（f,sb）;

%调试错误分析：

在初始的时候，sb，hb（分别代表下一步搜索点和搜索步长）的公式记错，

%出现结果计算不出现象，特此在调试的时候进行改正。

if（fs1<=fsb）

if（s1

s2=sb;fs2=fsb;

else

s0=sb;fs0=fsb;

end

else

if（s1>sb）,

s2=s1;s1=sb;fs2=fs1;fs1=fsb;

else

s0=s1;s1=sb;fs0=fs1;fs1=fsb;

end

end

k=k+1;G（k,:

）=[s0,s1,s2];

end

end

s=s1;fs=fs1;

fc=fs2-fs0;

c=abs（s2-s0）;

E=[hb,c,fc];

在窗口中输入命令语句：

>>[s,fs,k,G,E]=paowu1（inline（'s^3-2*s+1'）,1,-0.15,0.01,0.01）

得到的结果为：

最小值近似点为0.8127，函数值为：

-0.0886，迭代6次，允许误差均在控制范围之内。

附：

命令窗口语句如下

>>[s,fs,k,G,E]=paowu1（inline（'s^3-2*s+1'）,1,-0.15,0.01,0.01）

itisOK，pleasegoon

s=

0.8127

fs=

-0.0886

k=

6

G=

1.00000.85000.7000

1.00000.81270.8500

0.77950.81270.8500

0.62310.81270.8500

0.40290.81270.8500

0.17910.81270.8500

E=

-0.22500.00010.0000

5、分别用书中所给的0.618法和抛物线法matlab程序计算下列问题的近似最优解：

解：

（1）

由函数图像可知极小近似点大约在0.5左右，所以应用第一题程序，选取区间为[-1,1],计算出结果如下：

近似极小值点：

0,3517；近似点函数值：

0.8272；迭代次数：

23；误差为1.0e-04*0.5050。

其中在命令窗口输入指令如下：

>>[s,fs,k,G,FX,E]=gold（inline（'exp（-s）+s^2'）,-1,1,0.15,1e-10）

s=

0.3517

fs=

0.8272

k=

23

G=

-1.0000-0.23610.23611.0000

-0.23610.23610.52791.0000

-0.23610.05570.23610.5279

0.05570.23610.34750.5279

0.23610.34750.41640.5279

0.23610.30500.34750.4164

0.30500.34750.37380.4164

0.30500.33130.34750.3738

0.33130.34750.35760.3738

0.34750.35140.35370.3576

0.34750.34990.35140.3537

0.34990.35140.35230.3537

0.34990.35080.35140.3523

0.35080.35140.35170.3523

0.35140.35170.35190.3523

0.35140.35160.35170.3519

0.35160.35170.35180.3519

0.35160.35170.35170.3518

0.35170.35170.35170.3518

0.35170.35170.35180.3518

0.35170.35170.35170.3518

FX=

3.71831.32200.84551.3679

1.32200.84550.86851.3679

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