高教社杯全国大学生数学建模赛C题地面搜索.docx
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高教社杯全国大学生数学建模赛C题地面搜索
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：
C
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
所属学校（请填写完整的全名）：
重庆信息技术职业学院
参赛队员（打印并签名）：
1.郭相岭
2.王涛
3.游媛媛
指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：
肖文
日期：
2008年9月21日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2008高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
评
阅
人
评
分
备
注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
地面搜索数学模型
摘要
本文对地震灾区搜救人员搜索地面的问题进行细致的分析，由于地面搜索类似于扫雷和运输择路问题，找出最佳搜索路径，使得应该搜索的区域包括每一个角落都要进行，而且保证耗时最短。
本文应用了图论中的最短路径思想与拼接方法，抓住距离区域中心最远的两个搜索队员，分析他的路径和耗时，反复地调整比较搜索方案，改进数学模型，找到了在满足搜索整个矩形区域条件下，使总的搜索耗时最少的计算方法，得到了最短耗时并且计算出了20人搜索时最短时间为48.9445h。
对于问题1，本文将7200米的搜索任务平均分配给20人每人搜索360米，首先就从域中心行进到自己的搜索位置，再向左一行一行地搜索，最后从左边回到集结点，根据最佳方案的最大时间48.9445与最小时间47.9546小时之差为0.9899小时，得知增加1人能在48小时内完成任务；对于问题二，我们运用化整为零和平均思想，采取模型对比，评估计算结果落差大小的方法，找到模型的缺点，以致建立更好的模型。
紧抓两个特殊条件：
1、各组完成各自搜索任务所用时间相等或相差很小；2、各组在矩形区域内行走的区域面积之比等于他们组员人数之比。
从矩形区域的右侧把矩形区域分成50等分，即分成50个11200m
114m的等面积矩形区域，每个人只负责在自己的区域内搜索。
该模型具有简单易懂，而又容易操作的特点。
【关键词】：
路径最短最短耗时MATLAB软件图论
一、问题重述
在5.12汶川大地震中，为确定需要救助的人员的准确位置。
救灾指挥部紧急派出多支小分队，到各个指定区域执行搜索任务，在这种紧急情况下需要解决的重要问题之一是：
制定搜索队伍的行进路线，对预定区域进行快速的全面搜索。
下面是一个简化的搜索问题。
有一个平地矩形目标区域，大小为11200米×7200米，需要进行全境搜索，出发点在区域中心；搜索完成后需要进行集结，集结点（结束点）在左侧短边中点；每个人搜索时的可探测半径为20米，搜索时平均行进速度为0.6米/秒；不需搜索而只是行进时,平均速度为1.2米/秒。
每个人带有GPS定位仪、步话机，步话机通讯半径为1000米。
搜索队伍若干人为一组,有一个组长，组长还拥有卫星电话。
每个人搜索到目标，需要用步话机及时向组长报告，组长用卫星电话向指挥部报告搜索的最新结果。
假定有一支20人一组的搜索队伍,拥有1台卫星电话。
设计一种耗时最短的搜索方式，并求出搜索完整个区域的时间，要知道在48小时内能否完成搜索任务，如果不能完成，算出需要增加增加的人数。
为了加快速度，搜索队伍有50人，拥有3台卫星电话，分成3组进行搜索。
每组可独立将搜索情况报告给指挥部门，设计一种耗时最短的搜索方式，并求出搜索完整个区域的耗时。
二、问题分析
针对问题一，即使按行或按列每间隔40米一一搜索，也需耗时为46.667小时，这个时间没有包括行进所需耗时，来回行进2*3600所需最短耗时为2.59h，仅此来看，48小时是无法完成搜索任务的，为了在48小时内完成任务，必须加派队员，加派人员的数量就与所建立的数学模型有关。
针对第二个问题，我们首先确定分三组，然后根据三个组从出发点到达集结点所用时间相等或相差很小和各小组所行走的区域面积之比等于他们各组人数之比两个条件列方程，求出各组人数，然后代进方程求得完成搜索任务所用的最少时间。
对于结果我们给予初步的估计，结果落差很大，由此判断可能是模型的问题，建立第二个模型，带入数据验证，结果比前一个模型更优，且稳定性和扩展性更好。
三、符号说明与模型假设。
1.符号说明：
N:
参加搜救的人数。
R=20m：
搜索人员的可视范围半径。
D=2R=40m：
搜索人员的可视范围直径。
：
从出发点到开始搜索起点的最大距离。
：
从出发点到开始搜索起点的最小距离。
A=112000m：
矩形区域的长度。
B=7200m：
矩形区域的宽度。
Vs=0.6m/s：
搜救人员搜索时速度0.6m/s。
Vz=1.2m/s：
搜救人员行走时速度1.2m/s。
T：
搜救人员走完整个矩形区域所用时间。
Sm：
搜救人员以0.6m/s速度走的路程。
Sz：
搜救人员以1.2m/s速度走的路程。
S：
搜救人员所走的全部路程。
：
第i个人j时刻所在直角坐标系的位置，i=1，2，3……20。
：
完成搜索任务的平均时间。
2.基本假设：
1、天气条件理想，可视半径保持20m。
2、地域条件良好，不会影响搜救人员的行进速度。
3、在搜索过程当中，通讯设备不会出现故障。
4、队员的身体状况良好，在搜索过程中不会出现意外。
5、队员之间通话的时间忽略不计。
6、卫星电话由组长保管，且组长处在队伍的中间位置。
7、搜索队员在搜索过程中遇到伤员停留的时间忽略
8、队员在搜索过程中，只在自己负责的区域内搜索，不会超出范围。
四、模型建立与求解
问题1：
模型一
根据问题１的要求，如图一：
图 一
我们根据假设每个搜寻队员之间可以相互通讯，如有情况可通过传递的方式告诉组长。
设20人平均站在竖中心线上，每个人分得宽度为：
7200m/20人=360m/人，由此我们可以这样思考，在上图中，最上面一个队员和最下面一个队员能够完成的前提下，其他队员均可完成搜寻工作，因此我们只要分析一个最上面的队员在图一中表示部分为虚线上方的区域，经过放大后如图二：
图 二
此图中深蓝色矩形区域为：
P1他所要完成的部分,因为队员目测范围为20m，那么四周各20m后即以人为中心半径为20m的圆，完成步骤如下：
一：
他从区域中心到B点的距离为S1，可以得S1=B/2－360+20=3260（m），用时T1＝S1/Vz；
二：
P1沿红色区域向前行进，先按 Vz行走40m，由P1到C点，时间为：
40/Vz，然后P1再按照Vs的速度行进到F点，时间为：
（A/2—40）/Vs最后由F点到D点，如图三：
图 三
由点D、E、F三点组成的直角三角形中，SdfSdf/Vz，则T2=40/Vz+（A/2-40）/Vs+Sdf/Vz;
三：
P1再由D点以Vs向上行走，距离为：
B/20-40=320m，时间：
320/Vs,考虑长度A中共包含A/40个以20m为半径的目测圆区域，根据图二中的走法，不难看出奇数向上，偶数则相反，再结合步骤二中，P1沿红色区域向前行进，行走40m，可以得到来回行走320m的次数为：
A/40/2-40/40=139，则T3=139*320/Vs;
四：
在上图中到达了140的圆处，向下行走，直到边界，距离为：
B/20=360m,时间：
360/Vs，根据图二，可知可以得到来回走360m的次数为：
A/40/2+40/40=141,
则T4=141*360/Vs；
五：
P1在上边界与下边界之间的走法是按照Vz的速度进行的，根据图二，可以清楚的看到：
P1沿上线走过之后，下线不会在走，P1沿下线走过之后，上线不会在走，共以Vz行进的距离为：
11200-Sde＝11180（m），所用时间T3=11180/Vz;
六：
此时P1要沿着左边界以Vz的速度向集结点去，所用距离为：
7200/2-360=3240（m），时间T6=3240/Vz;
总时间：
T=（T1+T2+T3+T4+T5+T6）/3600=50.7751小时
其他人按照同样的方法和做法一定可以在50.7751小时内完成，因为，此时P1所行走的路径是所有队员中走的最长距离者之一，但是题目中还有一个要求：
步话机通讯半径为1000米，即要求Pi（i=1,2,3,4….....20）任意两个队员中至少有一组Sp<1000m，此时要考虑当P1到达B点的时候，P2、P3….....P20的坐标，我们可以设区域中心为（0,0），P1（0,3260）、P2（200,2900）、P3（380,2540）、P4（560,2180）、P5（740,1820）、P6（920,1460）、P7（1100,1100）、P8（1280,740）、P9（1460,380）、P10（1640,20）、P11（0,-3260）、P12（200,-2900）、P13（380,-2540）、P14（560,-2180）、P15（740,-1820）、P16（920,-1460）、P17（1100,-1100）、P18（1280,-740）、P19（1460,-380）、P20（1640,-20）按以上计算可由Mathematica4.0软件得图四：
图 四
由图四可以计算相邻两点之间的距离约为403m<1000m,满足题目所要求的条件。
综上所术：
方案一的最短用时为50.7751小时，理论上说，无论组长站在哪个位置不影响最后结果，但是考虑实际情况应该把组长放在靠近中间的位置！
模型二：
由于模型一中存在着大量面积的浪费，如图二中上线外面留有一半视线范围，下线部分有与P2有相交的地方，造成有的区域重复搜索，使得搜索时间加长，基于这种原因我们做了模型二。
我们根据假设每个搜寻队员之间可以相互通讯，如有情况可通过传递的方式告诉组长。
设20个人分别向区域的右边走去并依次分开如图五：
图 五
从图中可以看出沿1号线走的队员，在所有队员平均分区域宽度的前提下，他所走的路程最长，此刻只要他满足题目中的要求：
步话机通讯半径为1000米，即要求Pi（i=1,2,3,4….....20）任意两个队员中至少有一组Sp<1000m，此时P1所用的时间将是最短用时，先将1号线由P1队员来完成，把他所走的区域进行放大，得到图六：
图 六
此图中，深蓝色的区域为一号队员分到的区域宽为B/20=360（m）,长度为A，P1由中心到O点，然后沿红色路径走下去，计算步骤：
一：
P1由区域中心到O点的距离为：
可由勾股定理得，斜边的平方为S1^2=（A/2）^2+（B/2-20）^2，他以Vz的速度向前行走，用时间T1=S1/Vz；
二：
P1由O点向O1点以Vs的速度向前搜索，所经路程S2=A-20，时间为：
T2=S2/Vs;
三：
P1此时有点O1到A,A到B，B到O2，即O1―A－B－O2，把O1―A－B－O2放大如图七所示：
图 七
不难计算出以下数据：
由勾股定理及半径关系解得：
S（a-o1）=20*sqrt
（2）-20， S（a1-a4）=20*sqrt
（2），S（a1-a4）＝S（a-a5）；
由等比性质得：
S（a-a2）=S（a2-o1）=20-10*sqrt
（2）；
由图形平移之间的关系可知：
S（a1-a7）=2*S（a1-a4）+S（a4-a6）＝3*20m；
S（a4-a6）=S（a5-a8）=3*20-2*S（a1-a4）；
此时用两种考虑方法：
P1由点O1向A搜索，可以使得最左上角的这个区域盲区消失，A点向A5按Vz行走，A5到B按Vs搜索，最后B到O2以Vz前进，用时：
T
=S（a-o1）/Vs+S（a-a5）/Vz+S（a5-b）/Vs+S（b-O2）/Vz=69.5262秒
P1由点O1向A搜索，可以使得最左上角的这个区域盲区消失，A点向A5按Vz行走，A5到A8按Vs搜索，A8到B按Vz前进，最后B到O2以Vs搜索，共用时：
T
=S（a-o1）/Vs+S（a-a5）/Vz+S（a5-a8）/Vs+S（a8-b）/Vz+S（b-O2）/Vs=59.7631秒；
由T
>T
得T3=T
；
四：
P1由O2以Vs的速度向前搜索，路程为：
S4=A-20*2，用时间：
T4=S4/Vs；
五：
P1走完之后到达左边界后，到达集结点的距离为S5=B/20-360+20，用时间：
T5=S5/Vz;
再根据图六可以观察到有多个区域的行进方式一样，总时间T为：
T=T1+T2*2+8*T3+7*T4+T5=48.9445小时。
其他队员按照同样的方法和做法一定可以在48.9445小时内完成，因为，此时P1所行走的路径是所有队员中走的最长距离者之一，但是题目中还有一个要求：
步话机通讯半径为1000米，即要求Pi（i=1,2,3,4........20）任意两个队员中至少有一组Sp<1000m，此时要考虑当P1到达O点的时候，P1、P2、P3........P20的坐标，我们可以设区域中心为（0,0），P1（5600,3580）、P2（5506.6,3220）、P3（5420.8,2860）、P4（5343.1,2500）、P5（5274.2,2140）、P6（5214.8,1780）、P7（5165.4,1420）、P8（5026.4,1060）、P9（5098.5,700）、P10（5081.9,340）、P11（5600,-3580）、P12（5506.6,-3220）、P13（5420.8,-2860）、P14（5343.1,2500）、P15（5274.2,-2140）、P16（5214.8,-1780）、P17（5165.4,-1420）、P18（5026.4,-1060）、P19（5098.5,-700）、P20（5081.9,-340）按以上计算可由Mathematica4.0软件得图八：
图八
有Mathematica4.0软件得到的图形不是（0,0）为坐标原点，而是以（5100,0）为坐标原点，通过图形很容易的看到彼此之间的距离小于1000m。
综上所述：
由模型二的得到最短用时为：
48.9445小时，理论上说，无论组长站在哪个位置不影响最后结果，但是考虑实际情况应该把组长放在靠近中间的位置！
问题一中要求48小时没到完成搜索任务的情况下，需增加队员人数以满足在48小时以内完成任务。
根据模型二也可以计算出最近一个人所用的时间Ta=T1+T2*2+8*T3+7*T4+T5，此时T1=S1/Vz，S1^2=（A/2）^2+（360-20）^2，T5=20/1.2,其与的时间不变，得到Ta=47.9546小时，由模型二的结果知T=48.9445小时，T-Ta=0.9899约为1小时，再结合题目与图形，可以基本判定为1个人，我们不妨设要满足条件必须增加1名队员，此时，队员数目已经达到21人，按照此时的情况进行计算搜寻完需要多长时间。
根据现在的情况，合理安排如何行走是至关重要，粗略如图九：
图 九
图中新队员由O点向B点进入区域A行进搜索时间为1小时，这样可以通过模型二中的模型进行计算，假设有x个40m，搜索时间为1小时，按照模型二中的方法，可以计算得到13
图九中的区域A，在图十中有红线路径完成搜索，根据模型二中的模型计算方法，可得时间为：
T1＝45.5887小时。
图十中的以A-520=10680m的长度区域，仍然按照模型二中的走法，可得到最远的那个P1所用时间为：
T2=46.7874小时。
由于T1<48小时，T2<48小时，这样从图中可以很明显的看到，有时候新增队员有可能超出1000m范围，因此，我们继续改变我们的图形的走法，如图十：
图十
让新增加一人在中间，然后平均两边，这样以来就可以满足题目要求，此时让把组长安排到靠近中间的位置即可，此时时间T均小于48小时，满足题目要求。
综上所述：
新增加1人即可满足题目要求。
问题二：
对于问题二，为了加快搜索速度，人员增加到50人，卫星电话增加到3台，分成3组进行搜索。
对于要求耗时最短的搜索方式，我们将两个模型进行对比，从中找到符合要求的方案。
模型一：
要让搜索方式达到最优，人员的分组、各组搜索路径的选择是至关重要的。
首先对人员进行分组：
设：
甲组人数为G1，乙人数为G2，丙人数为G3.
把整个矩形区域分成3个小区域，然后再把各区域分成大小相等的小方格。
如果各组人员走完各自的整个区域，且用时相等或相差很小，即方案最优。
如下图所示：
各区域的方格个数（或面积）之比等于各区域组员个数之比，即
整个区域可分成180行280列（7200/40=180，11200/40=280）
有MATLAB6.5软件计算得：
人数取整,即：
用MATLAB6.5软件计算得，各组完成各自的时间如下图所示：
t1=24.7618
t2=9.5844
t3=17.6193
我们试着把改变各组人数：
结果如下：
t1=24.7618
t2=19.8570
t3=27.8028
对模型一的结果不能满足，重新找到了新的方案。
模型二：
我们采用集合的思想，把三组人看成一个由搜救人员组成的集合，集合中元素的个数为50。
根据同步推进法，可以把矩形分成以过集结点和出发点的直线为中线的上下相等的两部分，中线两侧人员运动轨迹以中线为对称轴对称。
把长为B的边分成50等分，边长为A的比边分为A/40=280个纵型区域，每人负责11200m
114m（B/50=144m）的区域，他们的行进速度保持一致，折转方向也保持。
可视直径为D.如下图所示：
由于纵向分的区域数280为偶数，所以进区域和出区域时都处在同一水平线上，从而可以在保证搜索完各自区域的条件下，让行程最远的人员至少少走144m。
行程最远的人所用时间就是搜索完整个矩形区域的用时，计算如下：
综上所述：
50人完成搜索任务的最短时间是21.2538小时。
五、模型推广
对于本文所建立的模型，它不尽适用于搜索人数为20和50，在一定范围内适用于增加搜索人员，而且还可以推广要搜索的矩形区域；不尽适用于地面搜索，也适用于海面搜索；如果搜索地域不是规则的图形，我们可以切割成规则的图形或者类似规则的图形，从而可以利用该模型。
【参考文献】
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清华大学出版社，2005.2
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西安交通大学出版社，2006.5
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