《小学奥数》小学五年级奥数讲义之精讲精练第34讲 置换问题含答案.docx
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《小学奥数》小学五年级奥数讲义之精讲精练第34讲置换问题含答案
第34讲置换问题
一、专题简析:
置换问题主要是研究把有数量关系的两种数量转换成一种数量,从而帮助我们找到解题方法的一类典型的应用题。
“鸡兔同笼”问题就是一种比较典型的置换问题。
解答置换问题一般用转换和假设这两种数学思维方法。
解答置换问题应注意下面两点:
1、根据数量关系把两种数量转换成一种数量,从而找出解题方法;
2、把两种数量假设为一种数量,从而找出解题方法。
二、精讲精练
例120千克苹果与30千克梨共计132元,2千克苹果的价钱与2.5千克梨的价钱相等。
求苹果和梨的单价。
练习一
1、6只鸡和8只小羊共重78千克,已知5只鸡的重量等于2只小羊的重量,求每只鸡和每只小羊的重量。
2、商店里有甲种钢笔和乙种圆珠笔,已知2支钢笔的价钱与15支圆珠笔的价钱相等。
老师买了4支钢笔和6支圆珠笔,共付72元,每支钢笔和每支圆珠笔各多少元?
例2用2台水泵抽水,小水泵抽6小时,大水泵抽8小时,一共抽水312立方米。
小水泵5小时的抽水量等于大水泵2小时的抽水量,两种水泵每小时各抽水多少立方米?
练习二
1、学校买回6张桌子和6张椅子共用去192元。
已知3张桌子的价钱和5把椅子的价钱相等,每张桌子和每把椅子各多少元?
2、快慢两车先后从相距864千米的甲、乙两地出发,快车行12小时,慢车行4小时后,两车在途中相遇。
已知快车6小时行的路程与慢车7小时行的路程相等,求快、慢两车的速度。
例3一件工作,甲做5小时以后由乙来做,3小时可以完成;乙做9小时以后由甲来做,也是3小时可以完成。
那么甲做1小时以后由乙来做几小时可以完成?
练习三
1、王老师去买笔奖给三好学生。
他所带的钱正好买4支圆珠笔和5支钢笔,或者买3支钢笔和10支圆珠笔。
如果王老师买1支钢笔,剩下的钱可以买多少支圆珠笔?
2、一辆卡车最多能载40袋大米和40袋面粉,或者载10袋大米和100袋面粉。
现在卡车上已载有20袋大米,最多还能载多少袋面粉?
例45辆玩具汽车与3架飞机玩具的价钱相等,每架飞机玩具比每辆玩具汽车贵8元。
这两种玩具的单价各是多少元?
练习四
1、2支钢笔的价钱和3支圆珠笔的价钱相等,一支圆珠笔比一支钢笔便宜6元钱。
两种笔的单价各是多少元?
2、师徒二人加工同样多的零件,师傅用了3小时,徒弟用了5小时。
已知师傅每小时比徒弟多做6个零件。
二人各做了多少个零件?
例5一段布料可做18件同样的上衣和9条同样的裤子,或者做14件同样的上衣和15条同样的裤子。
那么,全做上衣能做多少件?
练习五
1、一个笼子能容纳18只同样在的兔子和9只同样大的鸡,或者容纳14只同样大的兔子和15只同样大的鸡。
如果这个笼子用了装兔子,一共能容纳多少只这样的兔子?
2、小明去买同一种笔和同一种橡皮,所带的儿能买8支笔和4块橡皮,或买6支笔和12块橡皮。
结果他用这些钱全部买了笔,请问他能买几支?
三、课后作业
1、用两种汽车运货,如果2辆大汽车的载重正好等于3辆小汽车的载重,且5辆大汽车和6辆小汽车一次共运54吨货。
求每辆大汽车比每辆小汽车多装几吨货?
2、师徒二人加工一批零件,师傅加工10小时,徒弟加工4小时,二人共加工了198个零件。
如果师傅4小时的工作量与徒弟5小时的工作量相等,那么,他们二人平均每小时各加工多少个零件?
3、买2条床单和3条毛巾共用210元,买同样的3条床单和2条毛巾共用280元。
买一条床单用多少钱?
买一条毛巾用多少钱?
4、汽车从甲地开往乙地,行完全程用了3小时,返回时用了4小时。
已知这辆汽车去时比返回时每小时快12千米,甲、乙两地相距多少千米?
5、一辆卡车正好装满了12箱苹果和25箱桔子,搬下3箱苹果后,空下的地方正好能放5箱桔子。
这辆卡车如果全部装桔子要比全部装苹果多装几箱?
第34周置换问题
专题简析:
置换问题主要是研究把有数量关系的两种数量转换成一种数量,从而帮助我们找到解题方法的一类典型的应用题。
“鸡兔同笼”问题就是一种比较典型的置换问题。
解答置换问题一般用转换和假设这两种数学思维方法。
解答置换问题应注意下面两点:
1,根据数量关系把两种数量转换成一种数量,从而找出解题方法;
2,把两种数量假设为一种数量,从而找出解题方法。
例120千克苹果与30千克梨共计132元,2千克苹果的价钱与2.5千克梨的价钱相等。
求苹果和梨的单价。
分析2千克苹果的价钱与2.5千克梨的价钱相等,那么,20千克苹果的价钱就与25千克梨的价钱相等。
132÷(25+30)=2.4元,即每千克梨2.4元。
知道了梨的单价,再求苹果的单价就方便了。
苹果的单价是:
(132-2.4×30)÷20=3元。
练习一
1,6只鸡和8只小羊共重78千克,已知5只鸡的重量等于2只小羊的重量,求每只鸡和每只小羊的重量。
答案
设鸡羊分别是x,y
则6x+8y=78
5x=2y
解方程组得x=3,y=7.5
所以鸡羊分别重3,7.5kg
2,商店里有甲种钢笔和乙种圆珠笔,已知2支钢笔的价钱与15支圆珠笔的价钱相等。
老师买了4支钢笔和6支圆珠笔,共付72元,每支钢笔和每支圆珠笔各多少元?
答案
解:
每支圆珠笔的价格:
(元)
每支钢笔的价格:
(元)
答:
每支钢笔15元,每支圆珠笔2元.
解析
首先根据2支钢笔和15支圆珠笔的价钱一样多,可得4支钢笔和30支圆珠笔的价钱一样多,所以
(支)圆珠笔的价格是72元;然后根据单价=总价
数量,用72除以36,求出每支圆珠笔的价格,进而求出每支钢笔的价格是多少即可.
3,用两种汽车运货,如果2辆大汽车的载重正好等于3辆小汽车的载重,且5辆大汽车和6辆小汽车一次共运54吨货。
求每辆大汽车比每辆小汽车多装几吨货?
答案
两辆大汽车=三辆小汽车
所以一辆大汽车=1.5辆小汽车
五辆大汽车
辆小汽车
每辆小汽车的载重为
吨
每辆大汽车的载重为
吨
每辆大汽车比每辆小汽车多装2吨货
例2用2台水泵抽水,小水泵抽6小时,大水泵抽8小时,一共抽水312立方米。
小水泵5小时的抽水量等于大水泵2小时的抽水量,两种水泵每小时各抽水多少立方米?
分析因为大水泵2小时的抽水量等小水泵5小时的抽水量,所以,大水泵8小时的抽水量应该等于小水泵8÷2×5=20小时的抽水量。
因此,312立方米的水就相当于小水泵(6+20)小时的抽水量了。
小水泵每小时抽水是312÷(6+20)=12立方米,大水泵每小时抽水12×5÷2=30立方米。
练习二
1,学校买回6张桌子和6张椅子共用去192元。
已知3张桌子的价钱和5把椅子的价钱相等,每张桌子和每把椅子各多少元?
答案
解:
因为6张桌子+6把椅子
元,
所以3张桌子+3把椅子
元,,
又因为3张桌子的价钱和5把椅子的价钱相等,
所以8把椅子的价钱
元,
所以1把椅子
元,
1张桌子的价钱:
(元).
答:
桌子和每把椅子各是20元、12元.
解析
根据题意6张桌子和6把椅子共用去192元得出,3张桌子和3把椅子共用去96元,又因为3张桌子的价钱和5把椅子的价钱相等,把3张桌子的价钱换成5把椅子,得出5把椅子和3把椅子共用去96元,得出1把椅子的价钱,然后求出1张桌子的价钱.
此题考查简单的等量代换,解决此题的关键是有6张桌子和6把椅子共用去192元得出,3张桌子和3把椅子共用去96元,把3张桌子的价钱换算成5把椅子的价钱.
2,快慢两车先后从相距864千米的甲、乙两地出发,快车行12小时,慢车行4小时后,两车在途中相遇。
已知快车6小时行的路程与慢车7小时行的路程相等,求快、慢两车的速度。
解:
设设慢车速度为4x,快车速度为5x .
5x×12+4x×7=1408
88x=1408
x=16
4x=64,5x=80
答:
快车的速度是每小时行80千米,慢车的速度是每小时行64千米.
故答案为:
80;64
本题考查相遇问题基本的数量关系以及按比例分配的运用.根据已知条件得出快慢车的速度比,然后设未知数列方程解答.这里相等的数量关系是快慢车的路程和等于总路程.
解析
从题中可知快车与慢车的速度比是5:
4,可以设慢车速度为4x,快车速度为5x,根据题意列方程解答.
3,师徒二人加工一批零件,师傅加工10小时,徒弟加工4小时,二人共加工了198个零件。
如果师傅4小时的工作量与徒弟5小时的工作量相等,那么,他们二人平均每小时各加工多少个零件?
答案
解:
设师傅每小时的工作量为x,则徒弟每小时的工作量是 4/5 x.所以4x+10× 4/5 x=180,解得x=15, 4/5 x=12,15+12=27,所以两人每小时一共加工零件27个.
本题关键是找出师傅与徒弟每小时工作量的数量关系.
解析
师傅和徒弟每小时的工作量都是未知数,师傅4个小时的工作量与徒弟5小时的工作量相等,所以徒弟的工作量是师傅的 4/5 .根据已知条件列方程.
例3一件工作,甲做5小时以后由乙来做,3小时可以完成;乙做9小时以后由甲来做,也是3小时可以完成。
那么甲做1小时以后由乙来做几小时可以完成?
分析把题中两组已知条件进行对比,甲少做(5-3)小时,乙就要多做(9-3)小时,也就是甲2小时的工作量和乙6小时的工作量相等,甲1小时的工作量和乙3小时的工作量相等。
这件工作全部由甲做需要用5+3÷3=6小时,现在甲先做1小时,剩下5小时的工作量由乙来做,乙必须用5×3=15小时才能完成。
练习三
1,王老师去买笔奖给三好学生。
他所带的钱正好买4支圆珠笔和5支钢笔,或者买3支钢笔和10支圆珠笔。
如果王老师买1支钢笔,剩下的钱可以买多少支圆珠笔?
解:
王老师买带的钱正好买4支圆珠笔和5支钢笔,或者买3支钢笔和10支圆珠笔
所以4支圆珠笔和5支钢笔的价钱与3支钢笔和10支圆珠笔相等
得到2支钢笔与6支圆珠笔的价格相等
所以1支钢笔价钱3支圆珠笔的价钱相等
4支钢笔的价钱可以买12支圆珠笔
若王老师买1支钢笔,它还可以买(12+4)支圆珠笔
王老师买1支钢笔,剩下的钱可以买16支圆珠笔
答:
剩下的钱可以买16支圆珠笔.
故答案为:
16支
本题考查我们同学关于加减乘除的简单运算,本题中,要求出答案,必须计算出1支钢笔的价钱与多少支圆珠笔的价钱相当,做题要细心,看清楚本题描述的钢笔与圆珠笔的个数.
解析
王老师买带的钱正好买4支圆珠笔和5支钢笔,或者买3支钢笔和10支圆珠笔,所以4支圆珠笔和5支钢笔的价钱与3支钢笔和10支圆珠笔相等,求出1支钢笔与几支圆珠笔的价格相等.
2,一辆卡车最多能载40袋大米和40袋面粉,或者载10袋大米和100袋面粉。
现在卡车上已载有20袋大米,最多还能载多少袋面粉?
答案
设卡车载重量为y,大米重a,面粉重b
右边的等式得
代入上式
现有20袋大米,即20a设还需要x袋面粉,
3,买2条床单和3条毛巾共用210元,买同样的3条床单和2条毛巾共用280元。
买一条床单用多少钱?
买一条毛巾用多少钱?
答案
解:
一条毛巾和一条床单的价钱
(210+280)÷5
=490÷5
=98(元)
一条毛巾的价钱
210-98×2
=210- 196
=14(元)
一条床单的价钱
280-98×2
=280-196
=84(元)
答:
买一条床单用84元,买一条毛巾用14元.
解析
根据题意可知,5条床单和5条毛巾共490元,则1条床单和1条毛巾为490÷5=98元,2条床单和2条毛巾为98×2=196(元),所以一条毛巾的价等于2条床单和3条毛巾的价钱210元减去196元.同理求得床单价钱即280-98×2=84(元).
此题主要考查了物品单价问题,解答此题的关键是求出一条毛巾和一条床单的价钱,再用给出的已知条件分别求出每条毛巾的价钱和每条床单的价钱.
例45辆玩具汽车与3架飞机玩具的价钱相等,每架飞机玩具比每辆玩具汽车贵8元。
这两种玩具的单价各是多少元?
分析因为每架玩具飞机比每辆玩具汽车贵8元,所以,3架玩具飞机就比3辆玩具汽车贵8×3=24元。
由于5辆玩具汽车与3架玩具飞机的价钱相等,因此,这24相当于(5-3)辆玩具汽车的价钱,每辆玩具汽车是24÷2=12元,每架玩具飞机的价钱就是12+8=20元。
练习四
1,2支钢笔的价钱和3支圆珠笔的价钱相等,一支圆珠笔比一支钢笔便宜6元钱。
两种笔的单价各是多少元?
答案
解:
设钢笔的单价是χ,那么圆珠笔的单价是(χ-6)元,依题意可列方程:
χ-6=18-6=12(元).
答:
钢笔的单价是18元,圆珠笔的单价是12元.
故答案为:
18元;12元.
列方程解决求两个未知数的应用题时,一般的我们设一个未知数为 χ,根据两者之间的关系,用含 χ的式子表示另一个未知数,然后根据等量关系列方程求解.
解析
根据2支钢笔的价钱和3支圆珠笔的价钱相等,可以找出题中的等量关系,即:
钢笔的单价×2=圆珠笔的单价×3.假设钢笔的单价是χ,那么圆珠笔的单价是(χ-6)元,列方程求解.
2,师徒二人加工同样多的零件,师傅用了3小时,徒弟用了5小时。
已知师傅每小时比徒弟多做6个零件。
二人各做了多少个零件?
答案
解:
3×6÷(5-3)=9(个)
9+6=15(个)
徒弟9个,师傅15个
解析
先算出师傅3小时比徒弟3小时多做多少个,即为徒弟2小时做的数量.
寻找置换中等量关系.
3,汽车从甲地开往乙地,行完全程用了3小时,返回时用了4小时。
已知这辆汽车去时比返回时每小时快12千米,甲、乙两地相距多少千米?
答案
设甲乙两地相距X千米
∵这辆汽车去时比返回时每小时快12千米
答:
甲乙两地相距144千米
例5一段布料可做18件同样的上衣和9条同样的裤子,或者做14件同样的上衣和15条同样的裤子。
那么,全做上衣能做多少件?
分析把两组条件进行比较,做(18-14)件上衣的布料可以做(15-9)条裤子,也就是2件上衣的布料和3条裤子的布料同样多。
9条裤子的布料可以做9÷3×2=6件上衣,所以,一共能做18+6=24件上衣。
练习五
1,一个笼子能容纳18只同样在的兔子和9只同样大的鸡,或者容纳14只同样大的兔了和15只同样大的鸡。
如果这个笼子用了装兔子,一共能容纳多少只这样的兔子?
答案
(18+9+14+15)/2=16兔+12鸡18兔+9鸡=16兔+12鸡2兔=3鸡9鸡=6兔18+6=24
2,小明去买同一种笔和同一种橡皮,所带的儿能买8支笔和4块橡皮,或买6支笔和12块橡皮。
结果他用这些钱全部买了笔,请问他能买几支?
答案
解:
(支)
答:
结果他用这些钱全部买了笔,他能买9支.
因此,本题正确答案是:
9.
解析
所带的钱能买8支笔和4块橡皮,或买6支笔和12块橡皮,由此可以知道:
买
支笔的钱可以买
块橡皮,由此可以得出买1支笔的钱可以买4块橡皮,然后根据“所带的钱能买8支笔和4块橡皮”即可得出:
所带的钱全部买了笔,他能买
支;由此即可得出答案.
3,一辆卡车正好装满了12箱苹果和25箱桔子,搬下3箱苹果后,空下的地方正好能放5箱桔子。
这辆卡车如果全部装桔子要比全部装苹果多装几箱?
答案
倍
4倍
箱橘子
箱橘子
总共能装:
箱橘子
倍
5倍
箱苹果
箱苹果
箱苹果
多装
箱