六年级奥数专题图解法学生版.docx

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六年级奥数专题图解法学生版

有许多应用题，其中的数量关系比较复杂，而通过画图可以把数量之间的关系变得直观

明了，从而达到解题目的。

这种通过画图帮助解题的方法就是图解法。

我们通过下面几道例题来讲解在各种类型的应用题中如何使用图解法解题。

　　例1甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘。

到现在为止，甲已经赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1盘。

问：

小强已经赛了几盘？

分别与谁赛过？

　　例2一群人在两片草地上割草，大的一片草地比小的正好大1倍。

他们先全体在大的一片草地干了半天，下午留下一半人在大草地上继续干，收工时正好把草割完；另一半人到小草地上干，收工时还余下一块，这块再用1人经1天也可割完。

问：

这群干活的人共有多少位？

　　例3A，B两地间有条公路，甲从A地出发步行到B地，乙骑摩托车从B地同时出发，不停顿地往返于A，B两地之间。

80分钟后他们第一次相遇，又过了20分钟乙第一次超越甲。

求甲、乙速度之比。

　　例4两名运动员在长为50米的游泳池里来回游泳。

甲运动员的速度是1米/秒，乙运动员的速度是0.5米/秒，他们同时分别在游泳池的两端出发，来回共游了5分钟，如果不计转向时间，那么在这段时间里共相遇了几次？

　　例5容器中有某种酒精含量的酒精溶液，加入一杯水后酒精含量降为25％；再加入一杯纯酒精后酒精含量升为40％。

那么原来容器中酒精溶液的酒精含量是多少？

　　例6有三堆围棋子，每堆棋子数相等。

第一堆中的黑子与第二堆中的白子

部棋子的几分之几？

2019年六年级奥数专题：

图解法学生版

1.A，B两地相距1000米，甲、乙二人分别从A，B两地同时出发，在A，B两地间往返散步。

如果两人第一次相遇时距A，B两地的中点100米，那么，两人第二次相遇地点距第一次相遇地点多远？

2.小马虎上学忘了带书包，爸爸发现后立即骑车去追，把书包交给他后立即返回家。

小马虎接到书包后又走了10分钟到达学校，这时爸爸也正好到家。

如果爸爸的速度是小马虎速度的4倍，那么小马虎从家到学校共用多少时间？

3.某人沿公路前进，迎面来了一辆汽车，他问司机：

“后面有骑自行车的人吗？

”司机回答：

“10分钟前我超过一个骑自行车的人。

”这人继续走了10分钟，遇到了这个骑自行车的人。

如果自行车的速度是人步行速度的3倍，那么，汽车速度是人步行速度的多少倍？

4.公共汽车从甲站开往乙站，每5分钟发车一趟，全程要15分钟。

有一人从乙站骑自行车去甲站，出发时恰有一辆车到达乙站，在路上他又遇到10辆迎面开来的汽车才到甲站，到站时恰有一辆汽车从甲站开出。

问：

他从乙站到甲站共用了多少分钟？

　　5.甲、乙两地相距15千米，每天8点开始从乙地每隔15分钟开出一辆公共汽车到甲地去，车速是30千米/时。

某人8点20分骑车从甲地到乙地去，速度是15千米/时。

他在路上可以看到几辆从乙地开出的公共汽车？

　　6.某区举行小学数学竞赛，结果不低于80分的人数比80分以下的人数的4倍还多2人；及格的人数比不低于80分的人数多22人，恰是不及格人数的6倍。

求参赛的总人数。

　　7.1，2，3，4，5，6号六名运动员进行乒乓球单打循环赛。

到现在为止，1，2，3，4，5号运动员已参加比赛的场数正好等于他们的编号数。

问：

6号运动员已经赛了几场？

练习答案

　　1.400米。

　　解：

由下图看出，第一次相遇时两人共走一个单程，第二次相遇时两人共走三个单程。

由第一次相遇时两人走的路程相差200米，推知第二次相遇时相差600米，所以两次相遇地点相距（200＋600）÷2=400（米）。

　　2.50分。

　　解：

由下图看出，爸爸把书包交给小马虎后，小马虎到学校用10分，爸爸返回家用10分，这段路小马虎走了40分。

所以小马虎从家到学校共用10＋40=50（分）。

　　3.7倍。

　　解：

由下图看出，汽车追上骑车人后10分遇到步行人，此时骑车人到达B地；又过10分，步行人与骑车人在B点相遇。

所以，汽车10分的路等于步行10分加骑车20分的路，也等于步行10＋20×3＝70（分）的路。

所以汽车速度是步行速度的70÷10=7（倍）。

　　4.40分。

　　解：

根据出发时恰有一辆车到达乙站和到达甲站时恰好遇到第11辆车出发，画出汽车和骑车人的运行图。

　　从图中可以看出骑车人从第15分出发，第55分到达，中间经过了55-15=40（分）。

　　5.6辆。

　　提示：

　　6.392人。

　　解：

由“不低于80分的比80分以下的4倍还多2人”可画出左下图，由“及格的比不低于80分的多22人”可画出右下图。

　　因为及格人数是不及格人数的6倍，由右上图知，

　　22＋22×4＋2=112（人）

　　是不及格人数的2倍，所以参赛总人数为

　　（112÷2）×（1＋6）＝392（人）。

　　7.3场。

　　提示：

与例1类似（见右图）。

附送：

2019年六年级奥数专题：

抽屉原理

一、填空题

1.一个联欢会有100人参加,每个人在这个会上至少有一个朋友.那么这100人中至少有个人的朋友数目相同.

2.在明年（即年）出生的1000个孩子中,请你预测:

（1）同在某月某日生的孩子至少有个.

（2）至少有个孩子将来不单独过生日.

3.一个口袋里有四种不同颜色的小球.每次摸出2个,要保证有10次所摸的结果是一样的,至少要摸次.

4.有红、黄、蓝三种颜色的小珠子各4颗混放在口袋里,为了保证一次能取到2颗颜色相同的珠子,一次至少要取颗.如果要保证一次取到两种不同颜色的珠子各2颗,那么一定至少要取出颗.

5.从1,2,3…,12这十二个数字中,任意取出7个数,其中两个数之差是6的至少有对.

6.某省有4千万人口,每个人的头发根数不超过15万根,那么该省中至少有

人的头发根数一样多.

7.在一行九个方格的图中,把每个小方格涂上黑、白两种颜色中的一种,那么涂色相同的小方格至少有个.

8.一付扑克牌共有54张（包括大王、小王）,至少从中取张牌,才能保证其中必有3种花色.

9.五个同学在一起练习投蓝,共投进了41个球,那么至少有一个人投进了

个球.

10.某班有37名小学生,他们都订阅了《小朋友》、《儿童时代》、《少年报》中的一种或几种,那么其中至少有名学生订的报刊种类完全相同.

二、解答题

11.任给7个不同的整数,求证其中必有两个整数,它们的和或差是10的倍数.

12.在边长为1的正方形内任取51个点,求证:

一定可以从中找出3点,以它们为顶点的三角形的面积不大于1/50.

13.某幼儿园有50个小朋友,现在拿出420本连环画分给他们,试证明:

至少有4个小朋友分到连环画一样多（每个小朋友都要分到连环画）.

14.能否在88的棋盘上的每一个空格中分别填入数字1,或2,或3,要使每行、每列及两条对角线上的各个数字之和互不相同?

请说明理由.

———————————————答案——————————————————————

1.2

因为每个人至少有1个朋友,至多有99个朋友,将有1个朋友的人,2个朋友的人,…,99个朋友的人分成99类，在100个人中,总有两个人属于同一类,他们的朋友个数相同.

2.

（1）3;

（2）636

因为年有365天,故在年出生的孩子至少有（个）孩子的生日相同;

又因为1000-（365-1）=363,即至少有363个孩子将来不单独过生日.

3.91

当摸出的2个球颜色相同时,可以有4种不同的结果;当摸出的2个球颜色不同时,最多可以有3+2+1=6（种）不同结果.一共有10种不同结果.

将这10种不同结果看作10个抽屉,因为要求10次摸出结果相同,故至少要摸910+1=91（次）.

4.4;7

将三种不同颜色看作3个抽屉,对于第一问中为保证一次取到2颗相同颜色的珠子,一次至少要取13+1=4（颗）珠子.

对于第二问为了保证一次取到两种不同颜色珠子各2颗,一次至少要取4+（12+1）=7（颗）珠子.

5.1

将1~12这十二个数组成这六对两数差为6的数组.任取7个数,必定有两个数差在同一组中,这一对数的差为6.

6.267

将4千万人按头发的根数进行分类:

0根,1根,2根…,150000根共150001类.

因为40000000=（266150001）+99743>266150001,故至少有一类中的人数不少于266+1=267（个）,即该省至少有267个人的头发根数一样多.

7.7

将每10块颜色相同的木块算作一类,共3类.把这三类看作三个抽屉,而现在要保证至少有三块同色木块在同一抽屉中,那么至少要有23+1=7（块）.

8.29

将4种花色看作4个抽屉,为了保证取出3张同色花,那么应取尽2个抽屉由的213张牌及大、小王与一张另一种花色牌.计共取213+2+1=29（张）才行.

9.9

将5个同学投进的球作为抽屉,将41个球放入抽屉中,至少有一个抽屉中放了9个球,（否则最多只能进58=40个球）.

10.6

订阅报刊的种类共有7种:

单订一份3种,订二份3种,订三分1种.将37名学生依他们订的报刊分成7类,至少有6人属于同一类,否则最多只有66=36（人）.

11.将整数的末位数字（0~9）分成6类:

在所给的7个整数中,若存在两个数,其末位数字相同,则其差是10的倍数;若此7数末位数字不同,则它们中必有两个属于上述6类中的某一类,其和是10的倍数.

12.将边长为1的正方形分成25个边条为的正方形,在51个点中,一定有（个）点属于同一个小正方形.

不妨设A、B、C三点边长为的小正方形EFGH内,由于三角形ABC的面积不大于小正方形面积EFGH的,又EFGH的面积为.故三角形ABC的面积不大于.

13.考虑最极端的情况,有3个小朋友分到1本,有3个小朋友分到2本,…,有3个小朋友分到16本,最后两个小朋友分到17本,那么一共至少要

3（1+2+3+…+16）+217=442（本）,而442>420,故一定有4个小朋友分了同样多的书.

14.注意到8行、8列及两对角线共有18条“线”,每条线上有8个数字,要使每条线上的数字和不同,也就是需要每条线上的数字和有18种以上的可能.

但我们填入的数只有1、2、3三种,因此在每条线上的8个数字中,其和最小是8,最大是24,只有24-8+1=17（种）.

故不可能使得每行,每列及两条对角线上的各个数字之和互不相等.

十八抽屉原理

（2）

年级班姓名得分

一、填空题

1.半步桥小学六年级

（一）班有42人开展读书活动.他们从学校图书馆借了212本图书,那么其中至少有一人借本书.

2.今天参加数学竞赛的210名同学中至少有名同学是同一个月出生的.

3.学校五

（一）班40名学生中,年龄最大的是13岁,最小的是11岁,那么其中必有名学生是同年同月出生的.

4.有红、黄、蓝、白四色小球各10个,混合放在一个暗盒里,一次至少摸出_____个,才能保证有2个小球是同色的.

5.有红、黄、蓝、白四色小球各10个,混合放在一个暗盒中,一次至少摸出______个,才能保证有6个小球是同色的.

6.布袋中有60个形状、大小相同的木块,每6块编上相同的号码,那么一次至少取出块,才能保证其中至少有三块号码相同.

7.某商店有126箱苹果,每箱至少有120个苹果,至多有144个苹果.现将苹果个数相同的箱子算作一类.设其中箱子数最多的一类有n个箱子,则n的最小值为.

8.有形状、大小、材料完全相同的黑筷、白筷、红筷各4双,混杂在一起,要求闭着眼睛,保证从中摸出不同颜色的2双筷子