01背包问题动态规划和贪心法实现.docx
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01背包问题动态规划和贪心法实现
实验二0-1背包问题
院系：
班级：
计算机科学与技术
学号：
姓名：
任课教师：
成绩：
湘潭大学
2016年5月
实验二0-1背包问题
1.实验内容
分别编程实现动态规划算法和贪心法求0-1背包问题的最优解，分析比较两种算法的时间复杂度并验证分析结果。
二．实验目的
1、掌握动态规划算法和贪心法解决问题的一般步骤，学会使用动态规划和贪心法解决实际问题；
2、理解动态规划算法和贪心法的异同及各自的适用范围。
三.算法描述
/*动态规划0-1背包问题算法如下*/
Template
VoidKnapsack（Typev,intw,intc,intn,Type**m）{
intjMax=min（w[n]-1,c）;
For（intj=0;j<=jMax;j++）{
m[n][j]=0;
}
For（intj=w[n];j<=c;j++）{
m[n][j]=v[n];
}
For（inti=n-1;i>1;i--）{
jMax=min（w[i]-1,c）;
For（intj=0;j<=jMax;j++）m[i][j]=m[i+1][j];
For（intj=w[i];j<=c;j++）min[i][j]=max（m[i+1][j],m[i+1][j-w[i]]+v[i]）;
}
m[1][c]=m[2][c];
If（c>=w[1]）m[1][c]=max（m[1][c],m[2][c-w[1]]+v[1]）;
}
Template
VoidTraceback（Type**m,intw,intc,intn,intx）
{
for（inti=1;iIf（m[i][c]==m[i+1][c]）x[i]=0;
Else{x[i]=1;c-=w[i];}
x[n]=（m[n][c]）1:
0;
}
按上述算法Knapsack计算后m[1][c]给出所要求的0-1背包问题的最优解。
相应的最优解可由算法Traceback计算如下。
如果m[1][c]=m[2][c],则x1=0,否则x1=1。
当x1=0时，由m[2][c]继续构造最优解。
当x1=1时，由m[2][c-w1]继续构造最优解。
以此类推，可构造出相应的最优解（x1,x2,...,xn），时间复杂性O（n2^n）。
/*贪心法0-1背包问题*/
首先计算每种物品单位重量的价值Vi/Wi，然后，依贪心选择策略，将尽可能多的单位重量价值最高的物品装入背包。
若将这种物品全部装入背包后，背包内的物品总重量未超过C，则选择单位重量价值次高的物品并尽可能多地装入背包。
依此策略一直地进行下去，直到背包装满为止。
四.算法实现
1.数据结构及函数说明
在该问题中物品质量W[n]和包所能承受的最大重量都是又用户自己任意定义的，在实现的过程中用到一个栈来实现。
第i件物品的选择有两种可能：
i. 物品i被选择，这种可能性仅当包含它不会超过方案总重量的限制时才是可行的。
选中后。
继续其余物品的选择；
ii. 物品i不被选择，这种可能性仅当不包含物品i不满足条件的情况。
现以第一个物品为例，当物品1不被选择，则问题转变为相对于其他物品（2，3，……，n），背包重量仍然为maxweight；若物品1被选择，问题就变为关于最大背包重量为maxweight-w[1]的问题，现设r{maxweight, maxweight-w[1]}为剩余重量的背包问题。
2.源程序代码
/*动态规划0-1背包问题*/
#include<>
#include<>
intV[200][200];
intmax（inta,intb）
{
if（a>=b）
returna;
elsereturnb;
}
intKnapSack（intn,intw[],intv[],intx[],intC）
{
inti,j;
for（i=0;i<=n;i++）
V[i][0]=0;
for（j=0;j<=C;j++）
V[0][j]=0;
for（i=0;i<=n-1;i++）
for（j=0;j<=C;j++）
if（jV[i][j]=V[i-1][j];
else
V[i][j]=max（V[i-1][j],V[i-1][j-w[i]]+v[i]）;
j=C;
for（i=n-1;i>=0;i--）
{
if（V[i][j]>V[i-1][j]）
{
x[i]=1;
j=j-w[i];
}
else
x[i]=0;
}
printf（"\n选中的物品是:
\n"）;
for（i=0;iprintf（"%d",x[i]）;
printf（"\n"）;
returnV[n-1][C];
}
voidmain（）
{
doublestart,finish;
start=clock（）;
ints;
intw[15];
intv[15];
intx[15];
intn,i;
intC;
n=5;
printf（"背包的最大容量:
"）;
scanf（"%d",&C）;
printf（"输入物品个数:
"）;
scanf（"%d",&n）;
printf（"\n请分别输入物品的重量:
\n"）;
for（i=0;iscanf（"%d",&w[i]）;
printf（"\n请分别输入物品的价值:
\n"）;
for（i=0;iscanf（"%d",&v[i]）;
s=KnapSack（n,w,v,x,C）;
printf（"\nMax_V:
"）;
printf（"%d\n",s）;
finish=clock（）;
printf（"所需时间%fms\n",（finish-start））;
}
/*贪心法0-1背包问题*/
#include<>
#include<>
intmax（inta,intb）{
if（a>b）
returna;
else
returnb;
}
voidKnapsack（int*v,int*w,int*x,intc,intn,intm[8][100]）{
inti,j;
for（j=0;jif（jm[n][j]=0;
else
m[n][j]=v[n];
}
for（i=n-1;i>=1;i--）{
for（j=w[i];j<=c;j++）
m[i][j]=max（m[i+1][j],m[i+1][j-w[i]]+v[i]）;
}
for（i=1;iif（m[i][c]==m[i+1][c]）
x[i]=0;
else{
x[i]=1;
c=c-w[i];
}
}
x[n]=（m[n][c]）1:
0;
return;
}
intmain（）{
doublestart,finish;
start=clock（）;
inti=0;
intn=5;
intw[]={0,30,20,40,40,40};
intv[]={0,40,20,30,40,30};
intx[]={0,0,0,0,0,0,0,0};
printf（"背包的最大容量：
100\n"）;
printf（"物品个数为：
5\n"）;
printf（"物品重量分别为:
"）;
for（i=1;i<=n;i++）{
printf（"%d",w[i]）;
}
printf（"\n物品价值分别为:
"）;
for（i=1;i<=n;i++）{
printf（"%d",v[i]）;
}
intm=100;
intarray[8][100]={0};
Knapsack（v,w,x,m,7,array）;
printf（"\nMAX_V:
%d\n",array[1][m]）;
printf（"选择的物品:
"）;
for（i=1;i<=n;i++）{
if（i==1）
printf（"%d",x[i]）;
else
printf（"%d",x[i]）;
}
printf（"\n"）;
finish=clock（）;//取结束时间
printf（"所需时间%fms\n",（finish-start））;
return0;
}
5．程序运行结果
动态规划0-1背包问题运行结果截图
贪心法0-1背包问题结果及截图
6．实验结果分析
动态规划求0-1背包问题可以得出最优解，而用贪心法求0-1背包问题可能会得不到最优解。
分析：
对于0-1背包问题，贪心算法之所以不能得到最优解是因为在这种情况下，它无法保证最后能将背包装满，部分闲置的背包空间，使每公斤背包的价值降低了。
以上算法的时间复杂度和空间复杂度为O（n*n），其中时间复杂度基本已经不能再优化了，但空间复杂度可以优化到O（n）。
7．结论
动态规划算法具有最优子结构性质，因此动态规划能得到最优解。
贪心算法中，作出的每步贪心决策都无法改变，因为贪心策略是由上一步的最优解推导下一步的最优解，而上一部之前的最优解则不作保留。
由前面中的介绍，可以知道贪心法正确的条件是：
每一步的最优解一定包含上一步的最优解。
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