胡运权运筹学第七章习题解word精品.docx
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胡运权运筹学第七章习题解word精品
7.3某厂每月生产某种产品最多600件,当月生产的产品若未销出,就需贮存(刚入库的产
品下月不付存储费)月初就已存储的产品需支付存储费,每100件每月1000元。
已知每100
件产品的生产费为5千元,在进行生产的月份工厂支出经营费4千元,市场需求如表7-19
所示,假定1月初及4月底库存量为零,试问每月应生产多少产品,才能在满足需求条件下,
使总生产及存贮费用之和最小。
月份
1
2
3
4
产品(100件)
5
3
2
1
解:
设阶段变量:
k=1,2,3
状态变量:
Xk第k个月初的库存量
决策变量:
dk第k个月的生产量
状态转移方程:
xk1xkrkdk
阶段指标:
v(xk,dk)Ckdk
由于在4月末,仓库存量为0,所以对于k=4阶段来说有两种决策:
5+4=9X40
f(X4)=*
1X41
对K=3f(x3)5x34f(x4)
0
1
2
3
4
5
6
f区)
d3
0
2*5+4+9=23
3*5+4+1=20
20
3
1
1*5+4+9=18
2*5+4+1+1=16
16
2
2
2*5+9=19
1*5+1+4+1=11
11
1
3
3*1+1=4
4
0
K=2
飞2
x2\
0
1
2
3
4
5
6
f(
x)
d
0
3*5+4+20=
4*5+4+16
5*5+4+10
6*5+
38
6
39
=39
4+4
1
1+2*5+4+2
3*5+4+16+
4*5+4+11+
5*5+4+4+
34
5
0=35
1=36
1=36
1=34
2
1*4+4+20
2*5+4+16+
3*5+4+11+
4*5+4+4+
30
4
+2=230
2=32
2=32
2=30
3
3+
1*5+4+16
2*5+4+11+
3*5+4+4+3
23
3
20
+3=28
3=28
=23
=3
2
4
4+
5+4+11+4
2*5+4+4+4
20
0
16
=23
=22
=2
0
5
5+1
1*5+4+4+
16
0
1=
5=16
16
6
6+
10
0
4=
10
K=1时
0
1
2
3
4
5
6
F(x)
d
0
5*5+4+38=67
6*5+4+34=68
67
5
解得:
第一个月生产500份,第二个月生产600份,第三个月生产0份,第四个月生产0份。
7.4某公司有资金4万元,可向A,B,C三个项目投资,已知各项目不同投资额的相应效益值如表7-20所示,问如何分配资金可使总效益最大。
表7-20
项目
投资额
0
1
2
3
4
A
0
41
48
60
66
B
0
42
50
60
66
C
0
64
68
78
76
解:
设阶段变量k,k•可2,3,4?
每一个项目表示一个阶段
状态变量Sk,表示可用于第k阶段及其以后阶段的投资金额;
决策变量Uk,表示在第k阶段状态为Sk下决定投资的投资额;
决策允许集合:
OWU汽Sk
状态转移方程:
Sk+1=Sk-Uk;
阶段指标函数:
Vk(SkUk);
最优指标函数:
fk(Sk)=max{Vk(SkUk)+fk+1(Sk+1)}
终端条件:
f4(X4)=0;
K=4,f4(X4)=0
k=3,0S3U3
f3(S3)=max{V3(S3U3)+f4(S4)}
f3(S3)
*
U3
0
1
2
3
4
0
0
0
0
1
0
64
64
1
2
0
64
68
68
2
3
0
64
68
78
78
3
4
0
64
68
78
76
78
3
k=2,0S2U2
f2(S2)=max{V2(S2U2)+f3(Sb)}
f2(S2)
*
U2
0
1
2
3
4
0
0+0
0
0
1
0+64
42+0
64
0
2
0+68
42+64
50+0
106
1
3
0+78
42+68
50+64
60+0
114
2
4
0+78
42+78
50+68
60+64
66+0
124
3
k=1,0S1U1
f1(S1)=max{V1(S1U1)+f?
©)}
f1(S1)
*
U1
0
3
4
0
0+0
0
0
1
0+64
41+0
64
0
2
0+106
41+64
48+0
106
1
3
0+114
41+106
48+64
60+0
114
0
4
0+124
41+114
48+106
60+64
55+0
155
1
所以根据以上计算,可以得到获得总效益最大的资金分配方案为(
1,2,1)
7.5为了保证某设备正常运行,须对串联工作的三种不同零件Ai,A2,A3,分别确定备件数量。
若增加备用零件数量,可提高设备正常运转的可靠性,但费用要增加,而总投资额为8千元。
已知备用零件数和他的可靠性和费用关系如表所视,求Ai,A2,A3,的备用零件数个为多少时可使设备运转的可靠性最高。
设备数
可靠性
备用零件费用(千元)
A1
A2
A3
A1
A2
A3
1
0.3
0.2
0.1
1
3
2
2
0.4
0.5
0.2
2
5
3
3
0.5
0.9
0.7
3
6
4
解:
设第k阶段的状态为Sk;第k阶段决定投入的备件为Xk;Ck(Xk)为第k阶段选择k个零件的费用;Rk(Xk)为第k个阶段选择k个零件的可靠性。
状态转移方程为:
Sk+i=Sk-Ck(Xk)
递退方程:
fk(sf4(S4)=1
3
CK(Xk尸Sk-'Ci
(1)
l匸k+1
所以有上可知当A1;A2;A3;分别为k=1;k=2;k=3时S1=8;S2=5,6,7;S3=1,2,3,4;当k=3时
S3
X3
F3(X3)
X3*
1
I。
0
无
2
1
0.1
1
3
1
0.1
2
2
0.2
4
1
0.1
3
2
0.2
3
0.7
当k=2时
S2
X2
F2(X2)
X2*
5
1
0.2*0.1=0.02
1
2
0.5*0=0
6
1
0.2*0.2=0.04
1
2
0.5*0=0
3
0.9*0=0
7
p
0.2*0.7=0.14
1
2
0.5*0.1=0.05
3
0.9*0=0
当k=1时
S1
X1
F1(X1)
X1*
8
p
0.3*0.14=0.042
1
2
0.4*0.04=0.016
3
0.5*0.02=0.01
由上表可知,最优解的可靠性为0.042;此时Xi=1;X2=1;X3=3
7.7某工厂接受一项特殊产品订货,要在三个月后提供某种产品1000kg,一次交货。
由于该产品用途特殊,该厂原无存货,交货后也不留库存。
已知生产费用与月产量关系为:
C=1000+3d+0.005d2,其中d为月产量(kg),C为该月费用
(元)。
每月库存成本为2元/kg,库存量按月初与月末存储量的平均数计算,问如何决定3个月的产量是总费用最小。
解:
用动态规划法求解
阶段k:
每一个月为一个阶段k=1,2,3
状态变量Sk:
第k个月初的库存量
决策变量dk:
第k个月的生产量
状态转移方程:
Sk1=sk+dk
最优指标函数:
fk(Sk):
第k个月状态为Sk时到第3个月末的总费用最小
则第k个月的库存费用为:
Ek=(Sk+Sk-i)/22=Sk
+Ski=2Sk+dks1=0,d1+d2+d3=1000
当k=3时
f3(s3)=min{E3+C3}
=min{2s3+d3+1000+3d3+0.005d23}
=min{3000+2d3+0.005d32}
=3000+2(1000-s3)+0.005(1000-s3)2
当k=2时f2(s2)=min{E2+C2+f3(s3)}
=min{2s2+d2+1000+3d2+0.005d22+3000+2(1000-s3)+0.005(1000-s3)2}
=min{2s2+1000+4d2+0.005d22+3000+2(1000-s2-d2)+0.005(1000-s2-d2)2}
=min{6000+2d2+0.005d22+0.005(1000-s2-d2)2}
只有当d*2=1000-s2时f2(s2)取最小值6000+2(1000s2)+0.005(1000-s2)2
f1(s1)=min{E1+C1+f2(s2)}
=min{2s1+d1+1000+3d1+0.005d12+6000+2(1000-s2)+0.005(1000-s2)2}
=min{9000+4d1+0.005d12+0.005(1000-d1)2}=min{14000-6d1+0.01d12}
只有当d;=300时fi(sj取最小值13100元
此时s2=d1+s1=300
那么d2=1000-s2=700,f2(S2)=9850元
d;=1000-di-d2=0,f3(S3)=3000元
即:
三个月的产量分别为300、700、0时,总费用最小
7-11.某工厂生产三种产品,各产品重量与利润关系如表。
现将此三种产品运往市场出售,运
输总重量不超过6t,应运输每件产品各多少件使总利润最大?
产品
重量(t/母件)
利润(千兀/每件)
1
2
80
2
3
130
3
4
180
解:
设:
Xk:
第K种产品的数目;
Vk:
第K种产品的利润;
Sk:
第K种产品之初的总重量;Sk4=Sk-XkWk;
fk(Sk):
第K~3种产品的总价值;
fk(Sk)=max{XkVk+'fki(Sk1)}
且f4(S4)=0
K=3:
f3(S3)=max。
公上{V3X3f4(S4)}=max。
.咯」{80X3}
Sk
0~3
4~6
*
X1
数目
0
1
180
K=2:
fzG)=maxo寻営{V2X2f3(S3)}二maxo^乡{130X2f3(S^-3X2)}
S2
X2
S3
130X2+f3(&-3X2)
6
*
X2
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
2
0
2
0
0
0
3
0
3
0
130
1
1
0
130+0=130
4
0
1
4
1
0+180=180
130+0=130
180
0
5
0
5
0+180=180
180
0
1
2
130+0=130
6
0
6
0+180=180
260
2
1
3
130+0=130
2
0
260+0=260
K=1:
f1(S1)=max0;x13{V1X1■f2(S2)}=max0x13{80X1■f2(S|-2XJ}
S1
X1
S2
80X^f2(S-2XJ
g)
*
X1
6
0
6
0+260=260
260
0/1
1
4
80+180=260
2
2
160+0=160
3
0
240+0=240
答做最大利润为260,产品数目为“0,2,0”或“1,0,1”。
7.12某公司需要对某产品决定未来4个月内每个月的最佳存储量,以使总费用最小。
已知
各月对该产品的需求量和单位订货费用、存储费用如表7-23所示。
假定每月初订货于月末
到货并入库,下月开始销售。
表7-23
月份k
1
2
3
4
需求量dk
50
45
40
30
单位订货费用Ck
850
850
775
825
单位存储费用Pk
35
20
40
30
解:
阶段k:
月份k=1,2,3,4,5状态变量Xk:
第k个月初的存量决策变量r:
第k个月的订货量状态转移方程:
Xk+1=Xk+rk-dk决策允许集合:
rk(Xk)={rkIrk>0dk+1={rkIdk+KXk+rk-dk}
阶段指标:
Ckrk+PkXk
f5(X5)=0X5=0
fk(Xk)=min{Vk(Xk,rk)+fk+i(Xk+i)}
=min{Ck「k+PkXk+fk+1(Xk+rk-dk)}
对于k=4X5=0「4=0X4=d4
f4(X4)=min{V4(X4,r4)+f5(X5)}
=min{30X4}
=900
对于k=3
F3(X3)=min{V3(X3,r3)+f4(X4)}
=min{C3「3+P3X3+f4(X4)}
=min{40r3+40X3+900}
=min{775r3+40x3+900}
d4=X4贝Ud4=X3+r3-d3r3+d3+d4-X3=70-X3
f3(X3)=min{775(70-x3)+40x3+900}
=min{63250-735x3}
当k=2时
f2(x2)=min{C2「2+P2X2+f3(X3)}
=min{850r2+20x2+63250-735(x2+r2-d2)}
=min{850r2+20x2+63250-735x2-735r2+33075}
=min{96325-715x2+115^}
R2(X2)={r2「2^0d3兰X2+r3-d2}
={r2「2X0d3+d2-X2兰「3}
={r2r2^085-X2Wr3}
f2(X2)=min{96325-715x2+115X2+9775}
=min{106100-830x2}
当k=1时
f1(X1)=min{850m+30x计106100-830(x1+n-50)}
=min{147600-800x1+20门}
r1(X1)={r1Ir1>0d2+d1-x1={nIn>095-xkr1}
f1(x1)=min{147600-800X1+20(95-X1))
=min{149500-820x1}
根据题意X1=0r1*=95-x1
f1(x1)=149500r1*=95
r1*=95x2=x1+r1-d1=45
f2(X2)=68750
r2*=85-45=40
X3=x2+r2-d2=45+40-45=40
f3(X3)=33850
x4=d4=30f4(x4)=900
7.13某罐头制造公司在近5周内需要一次性地购买一批原料,估计未来5周内价格有波动,
其浮动价格及概率如表7-24所示,试求各周的采购策略,使采购这批原料价格的数学期望
值最小。
表7-24
批单价
概率
9
0.4
8
0.3
7
0.3
解:
设阶段变量k,k•印2,345?
每一周表示一个阶段;
状态变量Sk,表示第k阶段的实际价格;
决策变量Uk,当Uk=1,表示第k周决定采购;当Uk=0,表示第k周决定等待。
SkE表示第k周决定等待,而在以后采用最优决策时采购价格的期望值;
fk(Sk)表示第k周实际价格为Sk时,从第k周至第五周采用最优决策所得的最小期望值。
因而可写出逆序递推关系式为
fk(Sk)=min{Sk,SkE}S^{9,8,7}⑴
由SkE和fk(Sk)的定义可知
SkE=Efk+1(Sk+1)=0.4fk+1(9)+0.3fk+1(8)+0.3fk+1(7),
(2)
k=5
因为如果在第五周原材料尚未购买,则不管实际价格如何,都必须采取采购策略。
f5(S5)=S5,即f5(7)=7,f5(8)=8,f5(9)=9
k=4
S4E=0.4f5(9)+0.3f5(8)+0.3f5(7)=8.1
8.1,s4=9
f4(SQ=min{S4,S4E}=min{S4,8.1}=8,s4=8
7,S4=7
所以在第四周如果价格为9,则等待下周购买,如果价格为8或7,则选择采购
k=3
S3E=0.4f4(9)+0.3f4(8)+0.3f4(7)=7.74
7.74,S3=9
f3(S3)=min{S3,S3E}=min{S3,7.74}=«7.74,s3=8
2=7
7,则选择购买
7,则选择购买
所以在第三周如果价格为9或8,则等待下周购买,如果价格为
k=2
S2E=0.4f3(9)+0.3f3(8)+0.3f3(7)=7.518
7.518,S2=9
f2(S2)=min{S2,S2E}=min{S2,7.518}=7.518,s2=8
7忌=7
所以在第二周如果价格为9或8,则等待下周购买,如果价格为
k=1
S1E=0.4f2(9)+0.3f2(8)+0.3f2(7)=7.3626
7.3626,®=9
f1(S1)=min{S1,S1E}=min{S1,7.518}=*7.3626,®=8
、7,S1=7
所以在第一周如果价格为9或8,则等待下周购买,如果价格为7,则选择购买
7.14某企业有1000万元资金可在三年内每年初对项目A、B投资,若每年初投资项目A,
则年末以0.6的概率回收本利2000万元或以0.4的概率丧失全部资金;若投资项目B,则年
末以0.1的概率回收本利2000万元或以0.9的概率回收1000万元。
假定每年只能投资一次每次1000万元(有多余资金也不使用),试给出三年末期望总资金最大的投资策略。
K表示第K年的投资方案过程,状态Sk表示每年可投资的资金,Xk表示第K年的投资决
策
Xk=」
0投资项目A
1投资项目B
阶段指标Vk=0.6*(1-Xk)(2000+fk-1000)+Xk(0.1*2000+0.9*1000+fk-10000)
基本方程
fk=MAXVK-fkJ/
fo=0,k=0,1,2,3
fk即每年年末期望最大总资金
k
Sk
Xk
Vk
fk
Pk
1
1000
0
1200
1200
A
1
1100
2
1000
0
1320
1320
AA
1
1300
3
1000
0
1392
1420
AAB
1
1420
期望最大总资金的投资策略为A-A-B
7.15某汽车公司的一个型号汽车,每辆年均利润函数r(t)与年均维修费用函数u(t)如上表
中所示,购买同型号新汽车每辆20万元,如果汽车公司将汽车卖出,其价格如下表所示,该公司年初有一辆新汽车,试给出四年盈利最大的更新计划。
项目
\役龄
0
1
2
3
r(t)
20
18
17.5
15
u(t)
2
2.5
4
6
役龄
0
1
2
3
价格
17
16
15.5
15
解:
设备更新问题
回收额的总期数为4
t为某个阶段的设备役龄;
r(t)为从役龄为t的设备得到的年均利润;u(t)为役龄为t的设备的年均维修费用;s(t)是役龄为t的设备的处理价格;
新设备的购置价格p=20万元;四年盈利最大的更新计划。
状态变量选为设备的役龄t
决策只有两种可能,即保留或更新,记为K(保留)或P(更新)状态转移方程
卩(t)-4(t)
「k(t,Uk)=*
、s(t)—p+y(o)—p(o)
阶段效应
k:
Y(t)-巴t)+f"(t+i)
fk(t)
=max丿
〔P:
s(t)—P+Y(0)—已0)+f心⑴
rgk)「⑴一旳U」K
、s(t)—P十丫(0)—卩(0)=s(t)—2uk=P
t
0
1
2
3
r(t)-卩(t)
18
15.5
13.5
9
s(t)-2
15
14
13.5
13
f3(t)=max;K,⑴一巴厂
L:
s(t)-2:
f4(t)=0
t
0
1
2
3