小升初冲刺六年级暑假第2讲分解素因数教师版.docx
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小升初冲刺六年级暑假第2讲分解素因数教师版
六年级暑假数学
最
新
讲
义
分解素因数
内容分析
分解素因数是六年级数学上学期第一章第二节内容，主要包含素数、合数的概念以及分解素因数，公因数与最大公因数，公倍数与最小公倍数这三大块内容，这节课主要讲解前面两大块内容，重点是素数与合数的概念以及分解素因数，难点是求2个整数或者是3个整数的最大公因数．通过这节课的学习一方面为我们后面学习公倍数和最小公倍数奠定基础，另一方面用所学知识解决实际问题，加强学生对数学学习的兴趣．
知识结构
模块一：
素数与合数
知识精讲
1、素数与合数
（1）素数：
一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，则叫做素数，也叫做质数；
（2）合数：
一个正整数，如果除了1和它本身以外还有别的因数，则叫做合数；
（3）1既不是素数，也不是合数；正整数可分为：
1、素数和合数三类．
例题解析
【例1】判断37，39，47和49是素数还是合数．
【难度】★
【答案】37和47是素数，39和40是合数．
【答案】
【解析】因为37和47都只有1和它本身两个因数，所以37和47是素数，39和40除了1和它本身之外，还有其它的因数，因此39和40是合数．
【总结】本题主要考查素数和合数的概念．
【例2】下列各数中，哪些是素数？
哪些是合数？
6，13，18，31，51，67，87，120．
【难度】★
【答案】13，31，67是素数；6，18，51，87，120是合数．
【解析】13，31，67只有1和本身两个因数，是素数；
6，18，51，87，120除了1和本身，还有其他因数，是合数．
【总结】本题主要考查素数和合数的概念．
【例3】根据要求填空：
在1，2，9，21，43，51，59，64这八个数中：
（1）是奇数又是素数的数是（）；
（2）是奇数不是素数的数是（）；
（3）是素数而不是奇数的数是（）；
（4）是合数而不是偶数的数是（）．
【难度】★
【答案】
（1）43，59；
（2）1，9，21，51；（3）2；（4）9，21，51．
【解析】略
【总结】本题主要是对基本概念的考查．
【例4】已知字母
、
分别代表一个素数，并且p+q=99，你能知道
、
这两个数相乘的积是多少吗？
【难度】★★
【答案】194
【解析】99是一个奇数和一个偶数的和，且这两个数都是素数，所以这两个数是2和97，
积是194．
【总结】2是最小的素数，也是唯一的偶素数．
【例5】判断题（若是正确的，请说明理由；若是错误的，请把它改正确）．
（1）所有的偶数是合数，所有的奇数是素数；
（2）某数是3的倍数，这个数一定是合数；
（3）一个合数至少有3个因数；
（4）在所有的素数中，只有2是偶数，其余的素数都是奇数；
（5）一个自然数，如果不是素数，就一定是合数；
（6）两个素数的和一定是合数；
（7）大于2的合数都是偶数；
（8）一个大于1的自然数，如果有小于本身的因数，那么这个数一定是合数．
【难度】★★
【答案】
（1）×；
（2）×；（3）√；（4）√；（5）×；（6）×；（7）×；（8）×．
【解析】
（1）错误，偶数中2是素数，其余为合数，奇数中既有素数，也有合数；
（2）错误，3的倍数中，3是素数，其余为合数；
（3）正确，合数除了1和本身还有其他因数，故至少有3个；
（4）正确，2是素数中唯一的偶数；
（5）错误，0，1既不是素数也不是合数；
（6）错误，两个素数的和既有可能是素数，也有可能是合数，如2+3=5，但2、/3、5都是素数．
（7）错误，大于2的合数有奇数，也有偶数，如39是合数，但不是偶数；
（8）错误，任何正整数的因数都有1，但是不能说明其是合数；
【总结】本题主要是考查素数与合数的概念，要准确理解．
【例6】用10以内的质数组成一个三位数，使它能同时被3、5整除，这个数最小和最大分
别是多少？
【难度】★★
【答案】375和735．
【解析】这个三位数是5的倍数，个位数字是5；能被3整除，三个数字之和是3的倍数；
故包含3、5、7三个数字，最小是375，最大是735．
师生总结
1、最小的素数是几？
最小的合数是几？
2、最小的偶素数是几？
3、如何判断一个正整数是不是素数？
【例7】一个两位质数，交换个位与十位上的数字，所得的两位数仍是质数，这个数是多少？
【难度】★★
【答案】11，13，17，31，37，71，73，79，97．
【解析】两位质数中，十位数字是2、4、5、6、8的，不满足条件，剩余的有：
11，13，17，19，31，37，53，59，71，73，79，97，其中满足条件的有：
11，13，17，31，37，71，73，79，97．
【总结】本题主要查对质数概念的理解和运用．
【例8】已知一个长方形的长和宽都是质数厘米，并且周长是36厘米．问这个长方形的面积至多是多少个平方厘米？
【难度】★★★
【答案】77平方厘米
【解析】由周长是36厘米可得：
长+宽=18，由于长和宽都是质数，
所以18只能写成5+13或7+11．
所以这个长方形的面积最大为：
7×11=77平方厘米
答：
这个长方形的面积至多是77平方厘米．
【总结】本题是利用质数解决实际问题．
【例9】三个素数的和是100，这三个素数的积最大是多少？
【难度】★★★
【答案】4514
【解析】由三个素数和为100且2是素数中唯一的偶数，所以2是其中一个素数，
即：
另两个素数的和是98．
又：
98=19+79=31+67=37+61
所以这三个数的乘积最大是：
2×37×61=4514．
答：
这三个素数的积最大是4514．
【总结】偶数与偶数的和是偶数，偶数与奇数的和是奇数，2是唯一的偶素数．
【例10】若三个素数的乘积恰好等于它们的和的11倍，那么这三个素数各是几？
【难度】★★★
【答案】2、11、13或3、7、11．
【解析】设这三个质数为a、b、c，可得等式：
，
又11也是质数，所以a，b，c中必有一个数是11，
设a=11，即11bc=11（11+b+c），所以
．
①当b、c中含有质数2时，不妨令b=2
2c=11+2+c，解得c=13，符合题意．
②当b、c中不含有质数2，即bc都是奇数时，
不妨令：
b=2M+1，c=2N+1，有：
（2M+1）（2N+1）=11+2M+1+2N+1．
即4MN=12，MN=3．
显然只能是M=3，N=1．
此时b=2×3+1=7，c=1×2+1=3，符合题意．
综上，这三个质数可以是：
2、11、13或3、7、11．
【总结】本题是一道综合性非常强的题目，要求学生要充分理解其中的假设法．
模块二：
分解素因数
知识精讲
1、分解素因数
每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数．
把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数．
2、口算法分解素因数
例如：
．
3、短除法分解素因数
35
5
7
形如右图，这种在左侧写除数，下方写商的除法格式叫做“短除法”．
用短除法分解素因数的步骤如下：
（1）先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除；
（2）得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止；
（3）然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式．
例题解析
【例11】把24分解素因数的正确算式是（）
A．
B．
C．
D．
【难度】★
【答案】B
【解析】A、D选项中有合数，C选项中有1，1既不是素数，也不是合数．
【总结】每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，叫做分解素因数．
【例12】在等式
中，4和6都是
的（），2和3都是
的（）
A．素因数B．素数C．因数D．合数
【难度】★
【答案】C、A
【解析】略
【总结】本题主要考察素数和素因数的区别．
【例13】把以下各数分解素因数：
35，72，105，108，238．
【难度】★
【答案】35=5×7；72=2×2×2×3×3；105=3×5×7；108=2×2×3×3×3；
238=2×7×17．
【解析】略
【总结】本题主要考查如何将一个合数分解素因数．
【例14】请把2、3、5、7、14、15这六个数分成两组，使每组数的乘积相等．
【难度】★★
【答案】3、5、14和2、7、15．
【解析】因为14=2×7，所以14和2、7分在两组；因为15=3×5，所以15和3、5分在两组；故：
3、5、14一组，2、7、15一组．
【总结】本题主要是对分解素因数的综合运用．
【例15】如果
表示全部素因数的和，如
，试求
的值．
【难度】★★
【答案】7
【解析】由已知得：
<35>=5+7=14，<10>=2+5=7，所以<35>－<10>=7．
【总结】本题类似于阅读理解题，要对
所表示的概念准确理解．
【例16】下面的算式里，□里数字各不相同，求这四个数字的和．
□□×□□=1995．
【难度】★★
【答案】20
【解析】因为1995=3×5×7×19=35×57，所以这四个数分别是3、5、5、7，
和是：
3+5+5+7=20．
【总结】本题主要是对分解素因数的综合运用．
师生总结
1、分解素因数的方法有哪些？
2、归纳总结短除法分解素因数的步骤．
【例17】有168颗糖，平均分成若干份，每份不得少于10颗，也不能多于50颗．共有多少种分法？
【难度】★★
【答案】5种
【解析】由因为168=1×168=2×84=3×56=4×42=6×28=8×21=12×14；
所以168的因数有：
1，2，3，4，6，8，12，14，21，28，42，56，84，168．
因为每份不得少于10颗，也不能多于50颗，
所以满足条件的因数有：
12、14、21、28、42．
所以共有5种分法．
【总结】本题主要是利用因数的概念解决实际问题．
【例18】把一篮苹果分给4人，使四人的苹果数一个比一个多2，且他们的苹果个数之积是1920．这篮苹果共有多少个？
【难度】★★
【答案】28个
【解析】因为1920=2×2×2×2×2×2×2×3×5=4×6×8×10，
所以四个小朋友分别分到4、6、8、10个苹果，4+6+8+10=20（个）
答：
这篮苹果共有20个．
【总结】本题是一道应用题，主要是还是利用分解素因数的思想进行求解．
【例19】有
个人都属鸡，而且生日都是3月20日．某年，他们的年龄数的乘积为207025，他们的年龄数之和是102．则
等于几？
【难度】★★★
【答案】6
【解析】因为207025=5×5×7×7×13×13=1×13×13×25×49，又这几个人的生肖相同，
所以他们的年龄是49，25，13，13，1，
因为49+25+13+13=100，所以102-100=2．
所以有2人年龄为1，有2人年龄为13，有1人年龄为25，有1人年龄为49，共
6人，即a=6．
【总结】本题是一道非常综合的题目，主要还是利用分解素因数的方法，找到原数的因数，
从而求出适合题意的解来．
模块三：
公因数和最大公因数
知识精讲
1、公因数
几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数．
2、最大公因数
几个数的公因数中，最大的一个叫做这几个数的最大公因数．
3、两个数互素
如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素．
4、求最大公因数
求几个数的最大公因数，只要把它们所有公有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数．
例题解析
【例20】求出下列各组数的公因数．
（1）14和42；
（2）121和44；（3）28和56；（4）17和9．
【难度】★
【答案】
（1）14；
（2）11；（3）28；（4）1．
【解析】
（1）两个数是倍数关系，最大公因数是较小数；
（2）两个数既不是倍数关系，也不是互素关系，用短除法；
（3）两个数是倍数关系，最大公因数是较小数；
（4）两个数互素，最大公因数是1；
【例21】指出下列哪组中的两个数互素．
（1）3和5；
（2）6和9；（3）14和15；（4）18和1．
【难度】★
【答案】
（1）（3）（4）．
【解析】如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素．
【总结】互素两数的几种常见类型：
（1）两个数都是素数；
（2）一个素数，一个合数；
（3）1和其它的任意正整数．
【例22】找出下列各数的公因数与最大公因数．
（1）84、28、60；
（2）12、16、20．
【难度】★
【答案】
（1）公因数：
1、2、4，最大公因数：
4；
（2）公因数：
1、2、4，最大公因数：
4．
【解析】
（1）因为84=2×2×3×7；28=2×2×7；60=2×2×3×5；
所以公因数：
1、2、4，最大公因数：
4；
（2）因为12=2×2×3；16=2×2×2×2；20=2×2×5；
所以公因数：
1、2、4，最大公因数：
4；
【总结】本题主要考察公因数和最大公因数的概念．
【例23】下列说法中，正确的个数有（）个
①2是4和16的一个公因数；
②12是24和36的最大公因数；
③如果两个数互素，那么这两个数一定都是素数；
④1和任何正整数互素．
A．0B．1C．2D．3
【难度】★★
【答案】D
【解析】①②④正确；③错误，两个数互素要求两个数只有公因数1．
【总结】常见的两个互素的数有：
（1）两个数都是素数；
（2）一个素数，一个合数；
（3）1和任何正整数；（4）任意两个连续的整数等．
【例24】已知
都为自然数，且
，
，那么
的最大公因数是多少？
【难度】★★
【答案】p
【解析】m是n的倍数，n是p的倍数，因此m是p的倍数；所以最大公因数是p．
【总结】若三个数都是倍数关系，则它们的最大公因数是最小的那个数．
【例25】已知两个数的积是5766，它们的最大公因数是31，求这两个数．
【难度】★★
【答案】31、168或62、93．
【解析】设这两个数是31a，31b（a、b互素），
则：
31a×31b=5766∴ab=6
1a=1，b=6时，两个数是31、168；②a=2，b=3时，两个数是62、93．
【总结】本题是一道综合题，综合运用了最大公因数和因数的概念．
【例26】将长、宽、高分别是120厘米，90厘米，60厘米的长方体木料锯成同样大小的正方体木块，而没有剩余，锯成的木块棱长最长是多少？
共可以锯成多少块？
【难度】★★
【答案】30厘米，9块
【解析】120、90、60的最大公因数是30，所以棱长最长为30厘米．
（120+90+60）÷30=9（块）
答：
锯成的木块棱长最长是30厘米，共可以锯成9块．
【总结】本题是利用最大公因数的思想解决实际问题．
【例27】学校买来40支圆珠笔和50本练习本，平均奖给四年级三好学生，结果圆珠笔多4支，练习本多2本，四年级有多少名三好学生，他们各得到什么奖品？
【难度】★★
【答案】
（1）12名，3支圆珠笔，4本练习本；
（2）6名，6支圆珠笔，8本练习本．
【解析】40-4=36（支），50-2=48（本），36与48的最大公因数是12．
12=1×12=2×6=3×4．
（1）若12名，每人3支圆珠笔，4本练习本；
（2）若6名，每人6支圆珠笔，8本练习本；
（3）若4名或2名，圆珠笔可分完，与题意矛盾；
【总结】本题是利用最大公因数的思想解决实际问题．
【例28】幼儿园一个班买书，如买35本，平均分给每个小朋友差一本，如买56本，平均分给每个小朋友后还剩2本，如买69本，平均分给每个小朋友则差3本．这个班的小朋友最多有几人？
【难度】★★★
【答案】18人
【解析】35+1=36本，56-2=54本，69+3=72本，
36、54、73的最大公因数是18．
答：
这个班的小朋友最多有18人．
【总结】本题是利用最大公因数的思想解决实际问题．
师生总结
1、两个整数的最大公因数的方法有哪些？
2、互素的两个整数具有什么样的特征？
随堂检测
【习题1】下列说法中，正确的个数有（）个
①一个自然数，不是质数就是合数；②任何一个自然数至少有2个因数；
③90分解素因数是90=5
2
9；④两个素数的和一定是偶数；
A．0B．1C．2D．3
【难度】★
【答案】A
【解析】①错误：
正整数分为1、质数、合数；
②错误：
1只有本身一个因数；
③错误：
分解素因数：
素因数都是素数，本题中9是合数；
④错误：
素数2与任意非2素数之和是奇数；
【总结】本题主要是考查素数的特征．
【习题2】将20写成两个质数之和，这两个质数最大乘积是多少？
【难度】★
【答案】91
【解析】因为20可以写成3+17或7+13的两个质数的和，所以积最大是：
7×13=91．
【总结】本题主要考查如何把一个数写成两个素数的和．
【习题3】下列各数中是否含有相同的公因数，若含有请指出，并求出最大公因数．
（1）6和9；
（2）27和51；（3）28、42和56．
【难度】★
【答案】
（1）含有，最大公因数：
3；
（2）含有，最大公因数：
3；
（3）含有，最大公因数：
14．
【解析】
（1）6=2×3；9=3×3；含有公因数1、3，最大公因数：
3；
（2）27=3×3×3，51=3×17，含有公因数1、3，最大公因数：
3；
（3）28=2×2×7，42=2×3×7，56=2×2×2×7，含有公因数1、2，7，14，
最大公因数：
14；
【总结】本题主要考查公因数和最大公因数的概念．
【习题4】已知两个数的和是107，它们的乘积是1992，这两个数分别是多少？
【难度】★★
【答案】24和83
【解析】1992=2×2×2×3×83=24×83，所以这两个数是24和83．
【总结】本题主要是考查分解素因数在数字求和中的运用．
【习题5】两个正整数的和是50，他们的最大公因数是5，这两个数的差的最大值是几？
【难度】★★
【答案】40
【解析】设这两个数是5a，5b（a、b互素），则：
5a+5b=50．
所以a+b=10．
①a=1，b=9时，两个数是5、45；45-40=5；
②a=3，b=7时，两个数是15、35．35-15=20；
所以这两个数的差的最大值是40．
【总结】本题主要考查素数在数字计算中的运用．
【习题6】王老师带领一班同学去植树，学生恰好分成4组．如果王老师和学生每人植树一样多，那么他们一共植了539棵．这个班有多少个学生？
每人植树多少棵？
【难度】★★
【答案】48个，11棵
【解析】因为539=7×7×11=49×11，所以学生数是48人，每人植树11棵．
【总结】本题是对分解素因数的综合运用．
【习题7】某农副食品店销售三级别的大米，已知一级大米150斤，二级大米180斤，三级大米210斤的价格都是450元，现需将这三种大米分别按整斤数装袋，要求每袋的价格都相等，那么每袋的价格最低是多少元？
【难度】★★
【答案】15元
【解析】因为150、180、210的最大公因数是30，所以每种大米最多分30小份，
即每份最低：
450÷30=15元．
答：
每袋的价格最低是15元．
【总结】本题是利用最大公因数的思想解决实际问题．
【习题8】“九九重阳节敬老节”将至，幸福小区组织一批老年人决定分乘若干辆至多可乘44人的大巴前去郊游．如果打算每辆车坐22个人，就会有1个人没有座位；如果少开一辆车，那么，这批老人刚好平均分乘余下的大巴．那么有多少个老人？
原有多少辆大巴？
【难度】★★★
【答案】529个，24辆．
【解析】22+1=23人，因23是质数，所以把这23人，只能平均分到23个车里．
所以原来的车数是：
23+1=24（辆），24×22+1=529（个）．
答：
有529个老人，原有24辆大巴．
【总结】本题的综合性比较强，解题是注意对本题中的“23”这个素数的准确理解．
【习题9】甲乙两人射箭，规定每射一箭得到的环数是0~10这10个数中的一个整数，他们各射5靶，每人得到的环数之积刚好都是1764，但是甲的总环数比乙少4环，求甲、乙各自的总环数．
【难度】★★★
【答案】24环，28环．
【解析】因为1764=2×2×3×3×7×7，所以每人都有两个7环．
剩余三个环数可能为：
2、2、9；3、3、4；2、3、6；1、4、9；1、6、6．
和分别为：
13，10，11，14，13．
因为甲的总环数比乙少4环，所以甲另外三环的和应是10环，乙另外三环的
和应是14环．所以甲的环数为：
14+10=24环，乙的环数为：
14+14=28环．
【总结】本题依旧是考查分解素因数在实际问题中的应用．
【习题10】有
四个数，已知
的最大公因数是60，
的最大公因数是96，这四个数的最大公因数是多少？
【难度】★★★
【答案】12
【解析】由已知得：
a、b是60的倍数，c、d是96的倍数，
因此60和96的最大公因数即是
四个数的最大公因数．
而60和96的最大公因数是12．
答：
这四个数的最大公因数是12．
【总结】本题主要是考查学生对最大公因数的概念的准确理解和运用．
课后作业
【作业1】求出下列每组数的最大公因数．
（1）48和72；
（2）104和182；（3）13和52；（4）160和185．
【难度】★
【答案】
（1）24；
（2）26；（3）13；（4）5．
【解析】
（1）短除法得：
48与72的最大公因数是24；
（2）短除法得：
104与182的最大公因数是26；
（3）13和52是倍数关系，最大公因数是较小数，13与52的最大公因数是13；
（4）短除法得：
160与185的最大公因数是5．
【总结】本题主要是考查求两个数的最大公因数．
【作业2】已知四个小于10的自然数，它们的积是360．已知这四个数中只有一个是合数，求这四个数．
【难度】★
【答案】3、3、5、8
【解析】因为360=2×2×2×3×3×5，又四个数中只有一个合数，且小于10，所以只能是8．
所以这四个数是3、3、5、8；
【总结】本题还是考查分解素因数的运用．
【作业3】已知：
，
，则
和
的公因数有哪些，最大公因数是几？
【难度】★
【答案】公因数：
3、5、15；最大公因数：
15．
【解析】略
【总结】求最大公因数的方法：
①枚举法；②短除法；③分解素因数法．
【作业4】将下列各数分解素因数．
36，81，143，437，663
【难度】★★
【答案】36=2×2×3×3；81=3×3×3×3；143=11×13；663=3×13×17．
【解析】略
【总结】本题主要是考查如何将一个正整数分解素因数．
【作业5】两个数的和为90，两个数
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