简单的空间向量求角度.docx
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简单的空间向量求角度
1如图,在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中,点E是棱AB上的动点.
(I)求证:
DA丄ED;
AE1
(n)若直线DA与平面CED成角为45°,求的值;一
AB2
(川)写出点E到直线DC距离的最大值及此时点E的位置(结论不要求证明)
2、在棱长为2的正方体ABC—AiBiCD中,E,F分别为AD和CC的中点.
(I)求证:
EF〃平面ACD;
(n)求异面直线EF与AB所成的角的余弦值;
(川)在棱BB上是否存在一点
P,使得二面角
P-AC—B的大小为30°?
若存在,求出
BP的长;若不存在,请说明理由.
BP
3、在长方体
ABCD-AiBiCiDi中,AAi=AD=2,点E在棱CD上,且CE=gcD.
(I)求证:
ADi平面ABD;
(n)在棱AA“上是否存在点p,使
DP//平面B1AE?
若存在,求出线段AP的长;
4
若不存在,请说明理由;
3
4、如图,在长方体ABCDABiCiDi中,AAiAD1,E为CD的中点,F为AAi的中占
八、、-
(I)求证:
ADi平面AiBiE;
(II)求证:
DF//平面ABiE;
(III)
i
若二面角ABiEAi的大小为45,求AB的长.
5、已知直四棱柱ABCDABCD,四边形ABCD为正方形,AA2AB2,E为棱
CC的中点.
(I)求证:
AE平面BDE;
(n)设F为AD中点,G为棱BB'上一点,
且BG1BB,求证:
FG//平面BDE;
4
5』
(川)在(n)的条件下求二面角GDEB的余弦值——
9
6、在正四棱柱ABCDABC1D1中,AAi2AB2,
E为AD中点,F为CC1中点.
(I)求证:
ADD1F;
(n)求证:
CE//平面AD1F;
(川)求平面ADiF与底面ABCD所成二面角的余弦值
7、已知正四棱柱ABCD
AiB1C1Di中,AB2,AAi
4.
(I)求证:
BDA,C;
(n)求二面角AACDi的余弦值;
.10
5
(川)在线段cCi上是否存在点P,使得平面ACDi
CP
存在,求出-CS的值;若不存在,请说明理由
PCi
8、在如图所示的几何体中,四边形ABCD为正方形,PA
AE=PA=4,BE=2.
(I)求证:
CE//平面PAD;
平面ABCD,
(n)求pd与平面PCE所成角的正弦值;
(川)在棱AB上是否存在一点F,使得
AF
平面DEF平面PCE?
如果存在,求——的值;
AB
如果不存在,说明理由.
AF3
AB5
平面PBD,若
PA〃BE,
9、在如图所示的几何体中,四边形ABCD为正方形,四边形ABEF为直角梯形,其中
AF//BE,ABBE,平面ABCDI平面ABEFAB,ABBE2,AF1.
(I)求证:
AC//平面DEF;
(H)若二面角DABE为直二面角•
(i)求直线AC与平面CDE所成角的大小;一
6
(ii)棱DE上是否存在点P,使得BP平面DEF?
若存在,求出-Dp的值;若不存在,
DE
2
请说明理由•-
10、如图,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA底面ABCD,BAD90°,AD//BC,
且A.AABAD2BC2,点E在棱AB上,平面AEC与棱CQ相交于点F.
(I)证明:
AF//平面BCE;
n)若E是棱AB的中点,求二面角A1ECD的余弦值;
11、如图,在四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,四边形ABCD为正方形,点
M,N分别为线段PB,PC上的点,MNPB.
(I)求证:
BC平面PAB;
(n)求证:
当点M不与点P,B重合时,M,N,D,A四个点在同一个平面内;
(川)当PAAB2,二面角CAND的大小为—时,求PN的长.PN门
3
12、如图,在四棱锥PABCD中,PB底面ABCD,底面ABCD为梯形,ADPBC,
ADAB,且PBABAD3,BC1.
1
(I)若点F为PD上一点且PFPD,
3
证明:
CFP平面PAB;
(n)求二面角BPDA的大小;一
3
(川)在线段PD上是否存在一点M,使得CMPA?
若存在,求出PM的长;若不存在,说明理由
PM
-PD
13、如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是平行四边形,BCD135,侧面
PAB底面ABCD,BAP90,ABACPA2,E、F分别为BC、AD的
中点,点M在线段PD上.
(I)求证:
EF平面PAC;
(II)若M为PD的中点,求证:
ME//平面PAB;
(III)如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的;
求理的值
PD
3.3
2
14、如图,在四棱锥P-ABCD中,AD//BC,BADAD2,ABBC1.
(I)求证:
平面PAD平面ABCD;
(H)若E为PD的中点,求证:
CE//平面PAB;
(川)若DC与平面PAB所成的角为30,求四棱锥
1
P-ABCD的体积.PO1,V-
2
90,PAPD,ABPA,
15、如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,平面PCD平面ABCD,BC1,
AB
2,PCPD.2,E为PA中点.
求证:
PC//平面BED;
求二面角APCD的余弦值;丄6
3
明理由罟
(川)在线段PB上是否存在点N使得平面CNM平面PAB?
若存在,求出空的
PB
值,若不存在,说明理由。
17、如图,正方形ABCD勺边长为4,E,F,分别为BC,DA的中点,将正方形ABCD沿着线段
EF折起,使得DFA=60,设G为AF的中点
(1)求证:
DGLEF
(2)求直线GA与平面BCF所成角的正弦值
19
(3)设P,Q分别为线段DG,CF上一点,且PQ//平面ABEF求线段PQ长度的最小值。
餐卫
17
19、如图,PA平面ABC,ABBC,AB
(I)求证:
AM平面PBC;
(n)求二面角APCB的余弦值;一10
10
(川)证明:
在线段PC上存在点D,使得
PD4
BDAC,并求的值.一
PA2BC2,M为PB的中点.
BB1G=60o,平面AA^B1B平面BBGC.
PC5
21、如图,AB是圆0的直径,点C是圆O上不同于AB的一点,/BAC=45,点V是圆0所在平面外一点,且VA=VB=V,CE是AC的中点.
(I)求证:
0E/平面VBC
(U)求证:
V0面ABC
(川)已知是平面VBC与平面VOE所形成的二面角的
平面角,且0°90°,若OA=OV=1求cos的
值.cos于
22、如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,P从平面ABCDE为PD的中点.
(I)证明:
PB//平面AEC
8
(H)设二面角D-AE-C为60°,AP=1,AD=3,求三棱锥E-ACD的体积.
23、如图三棱柱ABCA1B1C1中,侧面BBiGC为菱形,ABB1C.
(I)证明:
ACAB1;
(U)若ACAB1,CBB160°,AB=BC
求二面角AAiBi
Ci的余弦值.
24、如图,在四棱锥P-ABCD中,PAA底面ABCD,ADAAB,AB//DC,
AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.
(I)证明BEAdc;
(n)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值;
(川)若F为棱PC上一点,满足BFaAC,
求二面角F-AB-P的余弦值.
3・10
10
25、如图,在三棱锥PABC中,PA底面ABC,ACBC,H为PC的中点,M
为AH的中点,PAAC2,BC1.
(I)求证:
AH平面PBC;
2届sin
(n)求PM与平面AHB成角的正弦值;(15)
3
(川)设点N在线段PB上,且更,MN〃平面ABC,求实数的值•(4)
PB
面ABCDDFL平面ABCDBE=2DF,AELEC
28、如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点
(I)求证:
平面PAC平面PBC;
J6
(II)若AB2,AC1,PA1,求证:
二面角CPBA勺余弦值.一6
4
29、在如图所示的四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,
BCCD2,AC4,ACBACD,F为PC的中点,AFPB.3
3^7
⑴求PA的长;⑵求二面角BAFD的正弦值•3•—
8
30、如图5,在圆锥PO中,已知PO=.2,oO的直径AB2,C是Ab的中点,D为AC
的中点.
(I)证明:
平面POD平面PAC;
(n)求二面角BPAC的余弦值。
.10
5
A