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n次方程式
§45n次方程式
(甲)n次方程式的引入与解的意义
(1)由n次多项式到n次方程式
f(x)=anxn+anixnaix+ao是n次多项式,
方程式f(x)=O称为n次(多项)方程式。
例如:
3x35=0,x23x54=0,(1+希)3=1.2分别是1次、2次、3次方程式
(2)方程式的根:
一个数xo若满足f(xo)=O,就称xo为方程式f(x)=O的根或解。
有时特别强调xo为复数、实数、有理数或整数,xo又称为复数根、实根、有理根或整数根。
(3)
实根的几何解释:
例如:
(1)
f(xo)=o,所以
y=f(x)=x23x4的图形,如右图所示:
图形与x轴相交于两点(1,o)、(4,o),其横坐标1与4就是x23x4=o的实根。
(2)y=g(x)=x2+x+1的图形,如右图所示:
123
图形与x轴没有交点,因为y=g(x)=(x+q)2+4,
所以没有任何实数x,使得g(x)=o,故g(x)=o没有实根。
方程式x2+x+仁o的解x=错误!
。
一般而言,n次多项式y=f(x)的图形是一条波浪形、平滑的连续曲线。
若该曲线和x轴相交,那么交点P(xo,f(xo))的横坐标xo必满足
xo是方程式f(x)=o的一个实根,如果该曲线与x轴没有交点,此时任何实数均
不是方程式f(x)=o的根,因此方程式f(x)=o无实根。
实系数n次方程式f(x)=o的实根n次函数y=f(x)的图形与x轴交于点(,o)
(乙)n次方程式的基本概念
讨论n次方程式,就是要处理下面三个问题:
有没有解?
有多少解?
如何找出解?
有没有解的问题:
一个实系数的n次方程式,不一定有实数解。
例如x2+仁0就没有实数解,
为此我们引进了复数,在复数系中,x2+仁0有两个复数根i及i。
但就一般
的n次方程式,在复数系中,是不是一定有根呢?
这个存在性的问题,在公元1799年时,德国数学家高斯(Gauss17771855)在他的博士论文中证明了在复数系中,n次方程式一定有根,它所讨论的方程式不限于实系数而是复数的系数,但实数亦可看作是复数,所以这个结果亦可用到实系数的n
次方程式。
我们将高斯的结果写成下列的定理:
代数基本定理:
每一个n次方程式,只要n1,就至少有一个复数根
有了代数基本定理之后,我们不用担心是否要为了找根而要一直扩展数系,因为它告诉我们,一个复系数的n次方程式,在复数系中,一定有复数根
所以我们只要将数系扩展到复数系,就解方程式而言就足够了。
有没有公式解:
另一个存在性的问题就是n次方程式有无求公式解(将系数加减乘除开根号)的
方法?
b
。
a
b\b24ac
x=
2a
先来看一看几个例子:
n=1时ax+b=0的解是x=
n=2时ax2+bx+c=0的解是
至于n=3或4的公式解,一度曾经是数学竞技斗智的焦点。
期间颇多戏剧化的情节发展。
结果三次方程式由卡丹(Carden)于1545年公布其解法于其著作
「ArsMagna」中,而据传说此解法是由Tartaglia教给Carden,并以保守此秘
密为条件,不料Carden竟然背信,将解法公布,并据为己有,可见Carden此
人为达目的不择手段。
至于四次方程式的公式解是由Carden的弟子斐拉利(Ferrari15221565)所提出的。
但是对于五次方程式的堡垒,却久攻不下,这个问题持续了两三百年,直到
1832年,一位法国青年Galois在其决斗前夕,在它的遗书中,这位伟大的青年数学家引进了「群」的理论,证明了:
五次及五次以上的方程式,不可能有公
式解。
从此数学家才解除了寻找公式解的恶梦。
解的个数:
一次方程式恰有一个根,二次方程式如果重根算是两个,那么二次方程式就恰有两个根。
一般而言,如果计算重根的个数,(重根算二个、三重根算三个,…)那么根
据代数基本定理以及因式定理,我们可推得以下定理:
定理:
n次方程式就恰有n个根
(丙)多项方程式解的性质:
例子:
x25x+6=0x=2或3
x2+x+1=0x=错误!
x3x2+4x4=0(x1)(x2+4)=0x=1,2i,2ix4+5x2+4=0(x2+1)(x2+4)=0x=i,i,2i,2i
[讨论]:
能否造出一个实系数的二次方程式以1i为它的一个虚根?
否造出一个只含一个虚根1i的实系数二次方程式?
(1)实系数n次方程式虚根成对:
定理一:
若f(x)=anxn+anixn1+^+aix+ao为一实系数n次多项式,z为一个复数,则f(z)f(z)。
引理1:
若Z1,Z2为二复数,则(a)乙Z2乙Z2(b)Z1Z2Z1z?
。
证明:
引理2:
zn(z)n,其中n为正整数。
证明:
[定理一证明]:
定理二:
设f(x)=anxn+an1xn1+・・・+a1x+ao=O为一实系数n次方程式,
若z为f(x)=O的一根,则共轭虚数z亦为f(x)=O的一根。
[证明]:
[讨论]:
(a)若f(x)=O为一个3次的实系数方程式,是否一定有实根呢?
(b)若f(x)=O为一个4次的实系数方程式,是否一定有实根呢?
一般的情形:
(a)若f(x)=O为一个奇数次的实系数方程式,一定有实根。
(b)若f(x)=O为一个偶数次的实系数方程式,一定有偶数个实根。
(可能没有实根)
(2)有理根成对:
先举一个例子:
设f(x)=x46x3+7x2+6x2
(a)验证2+3是有理系数f(x)=O的一个无理根。
(b)取g(x)=[x(2+.3)][x(2.3)]=x24x+1,请问f(x)是否能被g(x)整除?
(c)请问23是否为f(x)=O的另一个无理根。
般情形:
设f(x)为有理系数多项式,a,b为有理数,且b为无理数
若x=a+,b为f(x)=O之一根,则x=ab亦为其根[证明]:
[例題1]设f(x)=anxn+anixn1+・・・+aix+ao=O为一实系数n次方程式:
(1)若f(23i)=4+5i,求f(2+3i)=?
⑵若f(1+6i)=5,求f(16i)=?
Ans:
(1)45i
(2)5
[例題2]实系数方程式x45x32x2+14x20=0有一根1+i,贝U求方程式所有的根
Ans:
1+i,1i,2,5
[例題3]设a,b为实数,若2i1为x4+3x3+(a+1)x2+ax+b=0的一根,则求a,b之值
Ans:
a=7,b=5
[例題4]若a,b为有理数,若12为x4+ax36x2+bx+1之一根求a,b之值,并解此方
程式。
Ans:
a=0,b=0;1慣,1慣
(練習1)f(x)为实系数多项式,已知f(3+5i)=72i,贝Uf(35i)=?
Ans:
7+2i
(練習2)f(x)=x48x3+25x230x+8,试求f(2+i)=?
f(2i)=?
Ans:
6i,6i
(練習3)已知2+i为f(x)=x44x3+8x212x+15的一根,求f(x)=O所有的根。
Ans:
2i,3i
(練習4)设f(x)为实系数三次多项式,且f(i)=O(i=错误),则函数y=f(x)的图形与
x轴有几个交点?
(A)0(B)1(C)2(D)3(E)因f(x)而异。
Ans:
(B)
(練習5)设实系数多项式f(x)=2x3+3x2+mx+n,若f(i1)=0,则数对(m,n)=?
Ans:
(2,2)
(練習6)设a为有理数,若2+.3为x44x3+2x24x+a之一根,则a=?
Ans:
a=1
(3)根与系数的关系:
[例題5]设三次方程式ax3+bx2+cx+d=0之三根为,,,试求根与系数之关系:
(1)++=
(2)++=⑶=。
bed
Ans:
(1)a
(2)a(3)a
[例題6]设四次方程式ax4+bx3+cx2+dx+e=0之四根为,,,,试求根与系数的关系:
(1)四根之和,⑵任意相异两根乘积之和,⑶任意相异三根乘积之和,⑷四bc
根之积。
Ans:
⑴-
(2)-⑶错误!
⑷错误!
aa
[讨论]:
一般的n次方程式根与系数的关系:
(練習7)设方程式2x3+3x5=0的三根为、、,求下列各式的值:
(a)错误!
+错误!
+错误!
(b)2+2+2
3
Ans:
(a)5(b)3
(練習8)已知方程式x4x356x2+ax+b=0的根中,有二根的比为2:
3,而另二根
的差为1,求整数a,b之值。
Ans:
a=36,b=720
(丁)解根的方法:
(1)整系数的n次方程式找有理根:
(a)一次因式检验定理:
设f(x)=anxn+an1xna1x+a。
为一个整系数n次多项式,若整系数一次式
axb是f(x)的因式,且a,b互质,则a|an且b|a。
。
(b)有理根检验定理:
设f(x)=anxn+an1xn1+^+a1x+a0=0为一个整系数n次方程式,
若xb为f(x)=0之一有理根,a,b为整数且互质,则a|an且b|a°。
a
1
[例題1]解方程式2x4+x321x22x+6=0。
Ans:
3,2,2+J2,2{2
[例題2]设f(x)=12x456x3+89x256x+12=0
⑴令x+g=t,将f(X)=0化为t的方程式。
513i23
(2)试解出t,再解出x。
Ans:
(1)12t256t+65=0
(2)t=2,石,x=2,2,3,2
[例題3]设a,b,c为整数,且x4+ax3+bx2+cx+9=0之四根为相异之有理数,求a,b,c之值'
Ans:
a=0,b=10,c=0
[例題4]证明:
32为无理数
(練習9)试求方程式f(x)=6x4+5x3+3x23x2=0之有理根。
Ans:
3,错误!
(練習10)
解下列方程式:
(1)2x3+7x27x5=0
(2)3x4+x38x2+x+3=0
(3)(x+1)(x+3)(x+5)+(x+7)+15=0
Ans:
(1)x=1或3229
(2)x=1,1,或丄于3
(3)x=2,6,4寸6[提示:
方程式可化为
(x+1)(x+7)(x+3)(x+5)+15=0(x2+8x+7)(x2+8x+15)+15=0,令y=x2+8x
(y+7)(y+15)+15=0,解y,再解x。
]
(練習11)设整系数方程式x4+3x3+bx2+cx+10=0有四个相异有理根,则其最大根
为。
Ans:
2
(練習12)设p,q为自然数,且f(x)=x52px4+x3qx2+x2有整系数一次因式,则求
p,q之值。
Ans:
p=1,q=2
(練習13)证明:
35为无理数
(2)无理根的问题:
利用整系数一次因式检验定理,可解决有理根的问题,但是就一般的方程式而
言,要找出解,尤其是高次的方程式,通常不是一件容易的事情。
例如:
f(x)=x5+3x27x+2=0,由于它是整系数的5次多项式,所以一定有实根,
先考虑是否有理根,根据牛顿定理,x=1,2逐一代入多项函数f(x)中,去看
f(x)值的变化:
x
2
1
1
2
f(x)
4
11
1
32
可以看出,f(x)=0并无有理根,因为它一定有实根,所以它的实根必为无理根。
通常我们无法直接求出f(x)=O无理根的形式,只能求得它的近似值。
从
上面的资料我们可以掌握一些重要的讯息:
f(x)也从4「连续地」变化
0的情形发生,换句话说,
1与1之间会有一个数,1
当x从2「连续地」变化到1时,对应的函数值到11。
所以函数值f(x)在4与11之间一定会有等于在2与1之间一定有一个数,f()=0;同理,在与2之间会有一个数分别使得f()=0,f()=0。
推广这个概念可得以下的定理:
勘根定理:
设f(x)=O为实系数n次多项方程式,a,b是两个实数,
若f(a)f(b)<0,则在a,b之间至少有一个f(x)=O的实根。
[定理的说明]:
注意:
从观察图形可知,当f(a)f(b)<0时,贝Ua,b之间的根必有奇数个根。
从图形的观察,当f(a)f(b)>0时,f(x)=O在a,b之间可能有根,也可能无根,但若有根一定是偶数个根。
[例題7]试问在那些连续整数之间,f(x)=12x38x223x+1仁0有实根?
Ans:
2与1,0与1,1与2
[例題8]设f(x)=x3+2x5,g(x)=2x23,证明:
方程式f(x)g(x)=0在1与2之间至少存在一实根。
[例題9]设a是一个固定的正数,试证明:
方程式xn=a(n为自然数)恰有一正实根
(練習14)f(x)=12x38x223x+1仁0在0与1之间有一实根,试求其近似值到小数点以下第二位。
(第三位四舍五入)Ans:
0.47
(練習15)讨论方程式x3+x5=0是否有实根?
有多少个实根?
Ans:
此方程式有一实根。
(練習16)f(x)=2x3+7x2+3x3试证:
在0与1之间,存在一定数k使得f(k)=5k+1[Hint:
令g(x)=f(x)(5x+1),证明g(x)=0在0与1之间有实根k]
综合练习
(1)解下列方程式:
(a)x2+|2x1|=0(b)2x3+3x2+11x+5=0(c)2x4x39«+13乂5=0。
⑵已知方程式x45x32x2+14x20=0之一根为1+i,试解出此方程式其它的根。
⑶设整系数方程式x4+3x3+bx2+cx+10=0有四个相异有理根,试求b,c的值。
⑷设a,b为实数,a0,若方程式ax3+x2+bx+仁0之一根为2+2i,试求a,b的值。
⑸已知方程式x4+ax3+ax2+11x+b=0有二根3,2,求a,b的值及其它两根。
(6)找出方程式x4x39x2+2x+12=0所有实根的位置是在那些连续整数之间。
(7)二次方程式ax2(a1)x6=0有一根介于1与2之间,另一根介于1与2之间,求实数a之范围。
(8)设f(x)与g(x)为实系数多项式,用x23x+2除f(x)得余式3x4,用x1除g(x)得余式5,且g
(2)=3。
(a)试求以x1除f(x)+g(x)的余式。
(b)试证明:
f(x)g(x)=0在1与2之间有实根。
(9)设a
(10)设f(x)=x43x316x2+3x+35,试问y=f(x)的图形在下面那个范围中与x轴有交点?
(A)1(11)方程式2x33x2+19x60=0的根,符合下列那些情形?
(A)有一根介于3与4之间(B)有一根介于2与3之间(C)有3个实根(D)恰有一个有理根(E)有两个无理根。
(12)已知实系数四次多项函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e,若f(x)值之正负如下表:
且f(3+2i)=0。
x
小
于4
3
2
1
0
f(x)值
+
下面那些结论是正确的?
(A)3,2之间有实根(B)1,0之间恰有一个实根
(C)f(x)=0有四个实根(D)f(x)=0恰有一正根(E)32i为f(x)=0的根。
(13)y=f(x)为一多项函数,若f(0)>0,f
(1)<1,试证在0,1之间存在一实数c,使得f(c)=c2。
(14)已知方程式x44x334x2+ax+b=0之四根成等差数列,试求a,b的值及四个根。
(15)已知方程式x4+3x3+x25x12=0,其中有两根之乘积为4,试解此方程式。
进阶问题
(16)解下列方程式:
(a)x44x3+x2+4x+仁0(b)x2+++1+=2(c)2x26x5错误!
=5
(17)证明存在一正实数r,使得r4+2r+1=2。
(18)设二多项式f(x)与g(x),对于二相异实数a,b有下列关系f(a)g(b),证明:
在a,b之间存在一个实数c使得f(c)=g(c)。
abc2
(19)设a,b,c满足abbcca5,求以a,b,c为三根的三次方程式,并解出a,b,c
abc6
(20)令f(x)=x44x3+11x214x+10,并设,,,是方程式f(x)=0的四根。
(a)试求以1,1,1,1为四根的四次方程式g(x)=0。
(b)先求g(x)=0的四根,再求f(x)=0的四根。
综合练习解答
(1)(a)1+.5,13(b)错误!
,错误!
(c)1,1,1,错误!
(2)1i,5,2(3)b=11,c=3⑷a=错误!
,b=错误!
(5)a=3,b=6,1,1(6)3与2,2与1,1与2,
3与4⑺2(9)a<
考虑F(x)=f(x)x2](14)a=76,b=105,4根为5,1,3,7(15)错误!
,1错误!
[提示:
可令方程式
会化为(/+ax4)(x2+bx+3)=0,展开之后,再比较系数](16)(a)错误!
,错误!
(b)0,8,1,3(c)5,2(17)[提示:
令方程式f(x)=x4+2x+12,证明f(x)=0有一
实根](18)[提示:
考虑F(x)=f(x)g(x),证明F(x)=0在a,b之间有一实根](19)x32x25x+6=0;(a,b,c)=(1,3,2)(1,2,3)(3,1,2)(3,1,2)(3,2,1),(2,1,3)(2,3,1)(20)(a)g(x)=x4+5x2+4(b)1i12i