18学年高中数学第一章统计4142平均数中位数众数极差方差标准差教学案北师大版必修3.docx

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18学年高中数学第一章统计4142平均数中位数众数极差方差标准差教学案北师大版必修3

4．1&4.2　平均数、中位数、众数、极差、方差　标准差

预习课本P25～31，思考并完成以下问题

（1）什么是平均数、中位数、众数？

（2）什么是极差、方差、标准差？

（3）方差、标准差的计算公式是什么？

1．平均数、中位数、众数

（1）平均数

如果有n个数x1，x2，…，xn，那么＝，

叫作这n个数的平均数．

（2）中位数

把一组数据按从小到大的顺序排列，把处于最中间位置的那个数（或中间两数的平均数）称为这组数据的中位数．

（3）众数

一组数据中重复出现次数最多的数称为这组数的众数，一组数据的众数可以是一个，也可以是多个．

[点睛]　如果有几个数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这几个数据都是这组数据的众数；若一组数据中，每个数据出现的次数一样多，则认为这组数据没有众数．

2．极差、方差、标准差

（1）极差

一组数据中最大值与最小值的差称为这组数据的极差．

（2）方差

标准差的平方s2叫作方差．

s2＝[（x1－）2＋（x2－）2＋…＋（xn－）2]．

其中，xn是样本数据，n是样本容量，是样本平均数．

（3）标准差

标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示．s＝.

[点睛]　

（1）标准差、方差描述了一组数据围绕着平均数波动的大小，标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．

（2）标准差、方差为0时，表明样本数据全相等，数据没有波动幅度和离散性．

（3）标准差的大小不会超过极差．

1．判断正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）平均数反映了一组数据的平均水平，任何一个样本数据的改变都会引起平均数的变化．（　　）

（2）一组数据中，有一半的数据不大于中位数，而另一半则不小于中位数，中位数反映了一组数据的中心的情况．中位数不受极端值的影响．（　　）

（3）一组数据的众数的大小只与这组数据中的部分数据有关．（　　）

（4）数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定．（　　）

（5）数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定．（　　）

答案：

（1）√　

（2）√　（3）√　（4）√　（5）√

2．在某次考试中，10名同学的得分如下：

84,77,84,83,68,78,70,85,79,95.则这一组数据的众数和中位数分别为（　　）

A．84,68　　　　　　　　　B．84,78

C．84,81D．78,81

解析：

选C　将所给数据按从小到大排列得68,70,77,78,79,83,84,84,85,95，显然众数为84，而本组数据共10个，中间两位是79,83，它们的平均数为81，即中位数为81.

3.某学生几次数学测试成绩的茎叶图如图所示，则该学生这几次数学测试的平均成绩为________．

解析：

根据茎叶图提供的信息知，这几次测试成绩为53,60,63,71,74,75,80.所以所求的平均成绩为×（53＋60＋63＋71＋74＋75＋80）＝68.

答案：

68

4.如图所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________．

解析：

依题意知，运动员在5次比赛中的分数依次为8,9,10,13,15，其平均数为＝11.

由方差公式得s2＝[（8－11）2＋（9－11）2＋（10－11）2＋（13－11）2＋（15－11）2]＝（9＋4＋1＋4＋16）＝6.8.

答案：

6.8

中位数、众数、平均数的计算及应用

[典例]　据报道，某公司的33名职工的月工资（以元为单位）如下：

职务

董事长

副董事长

董事

总经理

经理

管理员

职员

人数

1

1

2

1

5

3

20

工资

5500

5000

3500

3000

2500

2000

1500

（1）求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；

（2）假设副董事长的工资从5000元提升到20000元，董事长的工资从5500元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？

（精确到元）

（3）你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平，结合此问题谈一谈你的看法．

[解]　

（1）平均数是

＝1500＋（4000＋3500＋2000×2＋1500＋1000×5＋500×3＋0×20）≈1500＋591＝2091（元），

中位数是1500元，众数是1500元．

（2）平均数是

′＝1500＋（28500＋18500＋2000×2＋1500＋1000×5＋500×3＋0×20）≈1500＋1788＝3288（元）．

中位数是1500元，众数是1500元．

（3）在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平．

刻画一组数据集中趋势的统计量有平均数、中位数和众数等，它们作为一组数据的代表各有优缺点，也各有各的用处，从不同的角度出发，不同的人会选取不同的统计量来表达同一组数据的信息，不同的统计量会侧重突出某一方面的信息．　

[活学活用]

1．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各1人，则该小组成绩的平均分、众数、中位数分别是（　　）

A．85分、85分、85分　　　B．87分、85分、86分

C．87分、85分、85分D．87分、85分、90分

解析：

选C　由题意知，该学习小组共有10人，

因此众数和中位数都是85，

平均数为＝87.

2．16位参加百米半决赛同学的成绩各不相同，按成绩取前8位进入决赛．如果小刘知道了自己的成绩后，要判断他能否进入决赛．则其他15位同学成绩的下列数据中，能使他得出结论的是（　　）

A．平均数B．极差

C．中位数D．方差

解析：

选C　判断是不是能进入决赛，只要判断是不是前8名，所以只要知道其他15位同学的成绩中是不是有8个高于他，也就是把其他15位同学的成绩排列后看第8个的成绩即可，小刘的成绩高于这个成绩就能进入决赛，低于这个成绩就不能进入决赛，这个第8名的成绩就是这15位同学成绩的中位数.

方差、标准差的计算与应用

[典例]　从甲、乙两名学生中选拔一人参加射击比赛，对他们的射击水平进行了测试，两人在相同条件下各射击10次，命中的环数如下：

甲：

7,8,6,9,6,5,9,9,7,4.

乙：

9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.

（1）分别计算甲、乙两人射击命中环数的极差、众数和中位数；

（2）分别计算甲、乙两人射击命中环数的平均数、方差、标准差；

（3）比较两人的成绩，然后决定选择哪一个人参赛．

[解]　

（1）对于甲：

极差是9－4＝5，众数是9，中位数是7；

对于乙：

极差是9－5＝4，众数是7，中位数是7.

（2）甲＝＝7，

s＝×[（7－7）2＋（8－7）2＋（6－7）2＋（9－7）2＋（6－7）2＋（5－7）2＋（9－7）2＋（9－7）2＋（7－7）2＋（4－7）2]＝2.8，

s甲＝＝≈1.673.

乙＝＝7，

s＝×[（9－7）2＋（5－7）2＋（7－7）2＋（8－7）2＋（7－7）2＋（6－7）2＋（8－7）2＋（6－7）2＋（7－7）2＋（7－7）2]＝1.2，

s乙＝＝≈1.095.

（3）∵甲＝乙，s甲＞s乙，

∴甲、乙两人的平均成绩相等，乙的成绩比甲的成绩稳定一些，从成绩的稳定性考虑，可以选择乙参赛．

在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度．在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中、越稳定．　　　　　　

[活学活用]

某班20位女同学平均分为甲、乙两组，她们的劳动技术课考试成绩如下（单位：

分）：

甲组　60,90,85,75,65,70,80,90,95,80；

乙组　85,95,75,70,85,80,85,65,90,85.

（1）试分别计算两组数据的极差、方差和标准差；

（2）哪一组的成绩较稳定？

解：

（1）甲组：

最高分为95分，最低分为60分，极差为95－60＝35（分），

平均分为甲＝×（60＋90＋85＋75＋65＋70＋80＋90＋95＋80）＝79（分），

方差为s＝×[（60－79）2＋（90－79）2＋（85－79）2＋（75－79）2＋（65－79）2＋（70－79）2＋（80－79）2＋（90－79）2＋（95－79）2＋（80－79）2]＝119，

标准差为s甲＝＝≈10.91（分）．

乙组：

最高分为95分，最低分为65分，极差为95－65＝30（分），

平均分为乙＝×（85＋95＋75＋70＋85＋80＋85＋65＋90＋85）＝81.5（分），

方差为s＝×[（85－81.5）2＋（95－81.5）2＋（75－81.5）2＋（70－81.5）2＋（85－81.5）2＋（80－81.5）2＋（85－81.5）2＋（65－81.5）2＋（90－81.5）2＋（85－81.5）2]＝75.25，

标准差为s乙＝＝≈8.67（分）．

（2）由于乙组的方差（标准差）小于甲组的方差（标准差），因此乙组的成绩较稳定．

从

（1）中得到的极差也可得到乙组的成绩比较稳定.

数字特征与统计图表的综合问题

[典例]　

（1）为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为mo，平均值为，则（　　）

A．me＝mo＝B．me＝mo＜

C．me＜mo＜D．mo＜me＜

（2）如图所示，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A和B，样本标准差分别为sA和sB，则（　　）

A.A＞B，sA＞sBB.A＜B，sA＞sB

C.A＞B，sA＜sBD.A＜B，sA＜sB

[解析]　

（1）由条形统计图可知，30名学生的得分依次为2个3分，3个4分，10个5分，6个6分，3个7分，2个8分，2个9分，2个10分．中位数为第15,16个数（分别为5,6）的平均数，即me＝5.5，

5出现次数最多，故mo＝5.

＝≈5.97.

于是得mo＜me＜.

（2）观察图形可得：

样本A的数据均小于或等于10，样本B的数据均大于或等于10，故A＜B，又样本B的波动范围较小，故sA＞sB.

[答案]　

（1）D　

（2）B

（1）由于茎叶图保留了原始数据，因此根据茎叶图进行有关数据计算可以直接进行；另外，在茎叶图中，数据的分布能直观体现数据的平均水平和离散程度，因此给出茎叶图解决与平均数和方差有关的统计问题时，我们也可以直观观察来完成．

（2）折线统计图研究样本数据的数字特征与横坐标和纵坐标的意义有关，一般情况下，整体分布位置较高的平均数大，波动性小的方差小．

（3）若条形统计图的横坐标是单一数据，则可通过该统计图还原真实的样本数据，进而中位数、众数、平均数均可直接计算得到．

（4）当条形统计图的横轴是区间形式，各数字特征就不能直接求出，但是可以近似估计．

①中位数：

条形统计图（直方图）中，中位数左边和右边的各矩形的面积和应该相等，由此可以估计中位数的值．

②平均数：

平均数的估计值等于条形统计图（直方图）中每个小矩形的高度（面积）乘小矩形底边中点的横坐标之积的总和．

③众数：

在条形统计图（直方图）中，众数是最高的矩形的中点的横坐