高考数学一轮复习第9章解析几何第10课时抛物线二练习理11024282Word格式文档下载.docx

高考数学一轮复习第9章解析几何第10课时抛物线二练习理11024282Word格式文档下载.docx

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答案　D

解析　∵抛物线C：

y2＝4x的焦点为F，∴点F的坐标为（1，0）．又∵直线y＝2x－4与C交于A，B两点，∴A，B两点坐标分别为（1，－2），（4，4），则＝（0，－2），＝（3，4），∴cos∠AFB＝＝＝－.故选D.

5．（2018·

河南四校联考）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px（p>

0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（　　）

C.D．1

答案　C

解析　由题意可得F（，0）．设P（，y0），当y0<

0时，kOM<

0；

当y0>

0时，kOM>

0.∵要求kOM的最大值，∴y0>

0.∵＝＋＝＋＝＋（－）＝＋＝（＋，），∴kOM＝＝≤＝，当且仅当y02＝2p2，即y0＝p时取得等号．故选C.

6．（2018·

广西玉林期末）从抛物线y2＝4x的准线l上一点P引抛物线的两条切线PA，PB，A，B为切点．若直线AB的倾斜角为，则P点的纵坐标为（　　）

C.D．2

解析　设A（x1，y1），B（x2，y2），P（－1，y），则kAB＝＝.

∵直线AB的倾斜角为，∴＝，∴y1＋y2＝.

切线PA的方程为y－y1＝（x－x1），切线PB的方程为y－y2＝（x－x2），即切线PA的方程为y＝x＋y1，切线PB的方程为y＝x＋y2.

∴y1，y2是方程t2－2yt＋4x＝0两个根，∴y1＋y2＝2y＝.∴y＝.故选B.

7．（2018·

石家庄市高三检测）已知圆C1：

x2＋（y－2）2＝4，抛物线C2：

y2＝2px（p>

0），C1与C2相交于A，B两点，且|AB|＝，则抛物线C2的方程为（　　）

A．y2＝xB．y2＝x

C．y2＝xD．y2＝x

解析　由题意，知直线AB必过原点，则设AB的方程为y＝kx（k>

0），圆心C1（0，2）到直线AB的距离d＝＝＝，解得k＝2.由可取A（0，0），B（，），把（，）代入抛物线方程，得（）2＝2p·

，解得p＝，所以抛物线C2的方程为y2＝x，故选C.

8．直线l与抛物线C：

y2＝2x交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率k1，k2满足k1k2＝，则直线l过定点（　　）

A．（－3，0）B．（0，－3）

C．（3，0）D．（0，3）

解析　设A（x1，y1），B（x2，y2），因为k1k2＝，所以·

＝.又y12＝2x1，y22＝2x2，所以y1y2＝6.将直线l：

x＝my＋b代入抛物线C：

y2＝2x得y2－2my－2b＝0，所以y1y2＝－2b＝6，所以b＝－3，即直线l：

x＝my－3，所以直线l过定点（－3，0）．

9.

（2017·

湖南益阳模拟）如图所示，已知直线l：

y＝k（x＋1）（k>

0）与抛物线C：

y2＝4x相交于A，B两点，且A，B两点在抛物线C准线上的射影分别是M，N，若|AM|＝2|BN|，则k的值是（　　）

解析　设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组消去x，得ky2－4y＋4k＝0.①

因为直线与抛物线相交，所以有

Δ＝42－4×

k×

4k＝16（1－k2）>

0.（*）

y1，y2是方程①的两个根，所以有

又因为|AM|＝2|BN|，所以y1＝2y2.④

解由②③④组成的方程组，得k＝.

把k＝代入（*）式检验，不等式成立．所以k＝，故选C.

10．（2017·

威海一模）过抛物线C：

0）上一定点P（x0，y0）（y0>

0）作两条斜率均存在的直线，分别交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2），若直线PA，PB关于直线x＝x0对称，则log2|y1＋y2|－log2y0的值为（　　）

A．1B．－1

C．－D．无法确定

解析　设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB.由y12＝2px1，y02＝2px0相减得（y1－y0）（y1＋y0）＝2p（x1－x0），故kPA＝＝（x1≠x0）．同理可得kPB＝（x2≠x0）．若直线PA，PB关于直线x＝x0对称，则PA，PB的倾斜角互补．故kPA＝－kPB，即＝－.所以y1＋y2＝－2y0，故＝－2，故log2|y1＋y2|－log2y0＝1.故选A.

11．（2018·

东城区期末）已知抛物线C1：

y＝x2（p>

0）的焦点与双曲线C2：

－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M，若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝（　　）

C.D.

解析　由题可知，抛物线开口向上且焦点坐标为（0，），双曲线焦点坐标为（2，0），所以两个焦点连线的直线方程为y＝－（x－2）．设M（x0，y0），则有y′＝x0＝⇒x0＝p.因为y0＝x02，所以y0＝.又M点在抛物线的切线上，即有＝－（p－2）⇒p＝，故选D.

12．（2017·

浙江杭州七校模拟质量检测）抛物线y2＝4x的焦点为F，过点（0，3）的直线与抛物线交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点D，若|AF|＋|BF|＝6，则点D的坐标为________．

答案　（4，0）

解析　设直线AB的方程为y＝kx＋3，代入抛物线y2＝4x，

整理得k2x2＋（6k－4）x＋9＝0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝－，由|AF|＋|BF|＝6，得（x1＋）＋（x2＋）＝x1＋x2＋p＝－＋2＝6，解得k＝－2，k＝（舍去），

所以线段AB的中点为（2，－1），线段AB的垂直平分线方程为y＋1＝（x－2），令y＝0，得x＝4.故点D的坐标为（4，0）．

13．（2018·

郑州质检）设抛物线y2＝16x的焦点为F，经过点P（1，0）的直线l与抛物线交于A，B两点，且2＝，则|AF|＋2|BF|＝________．

答案　15

解析　设A（x1，y1），B（x2，y2）．∵P（1，0），

∴＝（1－x2，－y2），＝（x1－1，y1）．

∵2＝，∴2（1－x2，－y2）＝（x1－1，y1），

∴x1＋2x2＝3，－2y2＝y1.

将A（x1，y1），B（x2，y2）代入抛物线方程y2＝16x，得

y12＝16x1，y22＝16x2.

又∵－2y2＝y1，∴4x2＝x1.又∵x1＋2x2＝3，解得x2＝，x1＝2.

∴|AF|＋2|BF|＝x1＋4＋2（x2＋4）＝2＋4＋2×

（＋4）＝15.

14．等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px（p>

0），O为抛物线的顶点，OA⊥OB，△AOB的面积是16，抛物线的焦点为F.若M是抛物线上的动点，则的最大值为________．

答案　

解析　设等腰直角三角形OAB的顶点A（x1，y1），B（x2，y2），则y12＝2px1，y22＝2px2.由|OA|＝|OB|，得x12＋y12＝x22＋y22，∴x12－x22＋2px1－2px2＝0，即（x1－x2）（x1＋x2＋2p）＝0.

∵x1>

0，x2>

0，2p>

0，∴x1＝x2，即点A，B关于x轴对称．

∴设直线OA的方程为y＝x，与抛物线方程联立，解得或

∴|AB|＝4p，∴S△OAB＝×

2p×

4p＝4p2.

∵△AOB的面积为16，∴p＝2.∴焦点F（1，0）．

设M（m，n），则n2＝4m，m>

0，设点M到准线x＝－1的距离等于d，

则＝＝.

令m＋1＝t，t>

1，则m＝t－1，＝≤（当且仅当t＝3时，等号成立）．∴的最大值为.

15．（2018·

河北唐山一中期末）已知抛物线C：

x2＝2py（p>

0），圆O：

x2＋y2＝1.

（1）若抛物线C的焦点F在圆上，且A为C和圆O的一个交点，求|AF|；

（2）若直线l与抛物线C和圆O分别相交于点M，N，求|MN|的最小值及相应p的值．

答案　

（1）－1　

（2）2　

解析　

（1）由题意得F（0，1），∴C：

x2＝4y.

解方程组得yA＝－2，∴|AF|＝－1.

（2）设M（x0，y0），则切线l：

y＝（x－x0）＋y0，整理得x0x－py－py0＝0.

由|ON|＝1得|py0|＝＝，

∴p＝且y02－1>

0.

∴|MN|2＝|OM|2－1＝x02＋y02－1＝2py0＋y02－1＝＋y02－1＝4＋＋（y02－1）≥8，当且仅当y0＝时等号成立．

∴|MN|的最小值为2，此时p＝.

16.

（2018·

江西九江一模）已知抛物线E：

0）的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线l被E截得的线段长为8.

（1）求抛物线E的方程；

（2）已知点C是抛物线上的动点，以C为圆心的圆过点F，且圆C与直线x＝－相交于A，B两点，求|FA|·

|FB|的取值范围．

答案　

（1）y2＝4x　

（2）|FA|·

|FB|∈[3，＋∞）

解析　

（1）由题意，直线l的方程为y＝x－.联立消去y整理得x2－3px＋＝0.设直线l与抛物线E的交点的横坐标分别为x1，x2，则x1＋x2＝3p，故直线l被抛物线E截得的线段长为x1＋x2＋p＝4p＝8，得p＝2，∴抛物线E的方程为y2＝4x.

（2）由

（1）知，F（1，0），设C（x0，y0），则圆C的方程是

（x－x0）2＋（y－y0）2＝（x0－1）2＋y02.

令x＝－，得y2－2y0y＋3x0－＝0.

又∵y02＝4x0，∴Δ＝4y02－12x0＋3＝y02＋3>

0恒成立．

设A（－，y3），B（－，y4），则y3＋y4＝2y0，y3y4＝3x0－.

∴|FA|·

|FB|＝·

＝

＝＝3|x0＋1|.

∵x0≥0，∴|FA|·

|FB|∈[3，＋∞）．

南昌一模）已知抛物线y2＝8x的焦点为F，设A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线上的两个动点，若x1＋x2＋4＝|AB|，则∠AFB的最大值为（　　）

解析　因为x1＋x2＋4＝|AB|，|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋4，所以|AF|＋|BF|＝|AB|.在△AFB中，由余弦定理得cos∠AFB＝＝＝－1＝－1.又|AF|＋|BF|＝|AB|≥2，当且仅当|AF|＝|BF|时等号成立，所以|AF||BF|≤|AB|2，所以cos∠AFB≥－1＝－，所以∠AFB≤，即∠AFB的最大值为.

2．（2017·

辽宁五校期末联考）已知AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是（　　）

A．2B.

解析　设A（x1，y1），B（x2，y2），

∵|AB|＝4，∴x1＋＋x2＋＝4，∴x1＋x2＝3.

∴C点横坐标为，故选C.

东北三校）已知抛物线y2＝2px（p>

0）的焦点为F，点P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3）在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有（　　）

A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3|B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2

C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|D．|FP2|2＝|FP1|·

|FP3|

解析　抛物线的准线方程为x＝－，由定义得|FP1|＝x1＋，|FP2|＝x2＋，|FP3|＝x3＋，则|FP1|＋|FP3|＝x1＋＋x3＋＝x1＋x3＋p，2|FP2|＝2x2＋p，由2x2＝x1＋x3，得2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|，故选C.

4．（2017·

豫晋冀三省一调）设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是抛物线上一点，若直线PF的倾斜角为120°

，则|PF|等于（　　）

C．3D.

解析　设P（x，y），PA⊥l，A为垂足，取l与x轴的交点为B.在Rt△ABF中，∠AFB＝30°

，BF＝4，则|AB|＝|y|＝，即有8x＝，可得x＝，|PF|＝2＋＝.

5．已知抛物线y2＝4x，过点P（4，0）的直线与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则y12＋y22的最小值是________．

答案　32

解析　设直线方程为x＝ky＋4，与抛物线联立得

y2－4ky－16＝0，∴y1＋y2＝4k，y1y2＝－16.

∴y12＋y22＝（y1＋y2）2－2y1y2＝16k2＋32.

故最小值为32.

6．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________．

答案　2

解析　抛物线y2＝4x的焦点F（1，0），p＝2.由＋＝，即＋＝，∴|BF|＝2.

8.

如图所示，斜率为1的直线过抛物线y2＝2px（p>

0）的焦点F，与抛物线交于A，B两点，M为抛物线弧AB上的动点．

（1）若|AB|＝8，求抛物线的方程；

（2）求S△ABM的最大值．

答案　

（1）y2＝4x　

（2）p2

解析　

（1）由条件知lAB：

y＝x－，与y2＝2px联立，消去y，得x2－3px＋p2＝0，则x1＋x2＝3p.由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝4p.

又因为|AB|＝8，即p＝2，则抛物线的方程为y2＝4x.

（2）方法一：

由

（1）知|AB|＝4p，且lAB：

y＝x－，设M（，y0），则M到AB的距离为d＝.

因为点M在直线AB的上方，所以－y0－<

0，

则d＝＝

＝＝.

当y0＝p时，dmax＝p.

故S△ABM的最大值为×

4p×

p＝p2.

方法二：

y＝x－，设与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为y＝x＋m，代入抛物线方程，得x2＋2（m－p）x＋m2＝0.由Δ＝4（m－p）2－4m2＝0，得m＝.与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为y＝x＋，两直线间的距离为d＝＝p，

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4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

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蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

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笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！

当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！

当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！

当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！

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朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；

朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。

一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。

一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。

8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；

青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血；

青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；

青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。