电磁感应中的动力学和能量问题(教师版).docx

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专题电磁感应中的动力学和能量问题

一、电磁感应中的动力学问题

1．电磁感应与动力学、运动学结合的动态分析，分析方法是：

导体受力运动产生感应电动势→感应电流→通电导线受安培力→合外力变化→加速度变化→速度变化→感应电动势变化→……周而复始地循环，直至达到稳定状态．

2．分析动力学问题的步骤

（1）用电磁感应定律和楞次定律、右手定则确定感应电动势的大小和方向．

（2）应用闭合电路欧姆定律求出电路中感应电流的大小．

（3）分析研究导体受力情况，特别要注意安培力方向的确定．

（4）列出动力学方程或平衡方程求解．

3．两种状态处理

（1）导体处于平衡态——静止或匀速直线运动状态．

处理方法：

根据平衡条件——合外力等于零，列式分析．

（2）导体处于非平衡态——加速度不为零．

处理方法：

根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系分析．

二、电磁感应中的能量问题

1．电磁感应过程的实质是不同形式的能量转化的过程．电磁感应过程中产生的感应电流在磁场中必定受到安培力作用，因此要维持感应电流存在，必须有“外力”克服安培力做功．此过程中，其他形式的能转化为电能，“外力”克服安培力做多少功，就有多少其他形式的能转化为电能；当感应电流通过用电器时，电能又转化为其他形式的能．可以简化为下列形式：

同理，安培力做功的过程，是电能转化为其他形式的能的过程，安培力做多少功就有多少电能转化为其他形式的能．

2．电能求解的思路主要有三种

（1）利用克服安培力做功求解：

电磁感应中产生的电能等于克服安培力所做的功；

（2）利用能量守恒求解：

机械能的减少量等于产生的电能；

（3）利用电路特征求解：

通过电路中所产生的电能来计算．

例1　如图所示，MN、PQ为足够长的平行金属导轨，间距L＝0.50m，导轨平面与水平面间夹角θ＝37°，N、Q间连接一个电阻R＝5.0Ω，匀强磁场垂直于导轨平面向上，磁感应强度B＝1.0T．将一根质量为m＝0.050kg的金属棒放在导轨的ab位置，金属棒及导轨的电阻不计．现由静止释放金属棒，金属棒沿导轨向下运动过程中始终与导轨垂直，且与导轨接触良好．已知金属棒与导轨间的动摩擦因数μ＝0.50，当金属棒滑行至cd处时，其速度大小开始保持不变，位置cd与ab之间的距离s＝2.0m．已知g＝10m/s2，sin37°＝0.60，cos37°＝0.80.求：

（1）金属棒沿导轨开始下滑时的加速度大小；

（2）金属棒到达cd处的速度大小；

（3）金属棒由位置ab运动到cd的过程中，电阻R产生的热量．

解析　

（1）设金属棒开始下滑时的加速度大小为a，则

mgsinθ－μmgcosθ＝maa＝2.0m/s2

（2）设金属棒到达cd位置时速度大小为v、电流为I，金属棒受力平衡，有mgsinθ＝BIL＋μmgcosθI＝解得v＝2.0m/s

（3）设金属棒从ab运动到cd的过程中，电阻R上产生的热量为Q，由能量守恒，

有mgssinθ＝mv2＋μmgscosθ＋Q解得Q＝0.10J

突破训练1　如图所示，相距为L的两条足够长的平行金属导轨，与水平面的夹角为θ，导轨上固定有质量为m、电阻为R的两根相同的导体棒，导体棒MN上方轨道粗糙、下方轨道光滑，整个空间存在垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度为B.将两根导体棒同时释放后，观察到导体棒MN下滑而EF保持静止，当MN下滑速度最大时，EF与轨道间的摩擦力刚好达到最大静摩擦力，下列叙述正确的是 （　　）

A．导体棒MN的最大速度为

B．导体棒EF与轨道之间的最大静摩擦力为mgsinθ

C．导体棒MN受到的最大安培力为mgsinθ

D．导体棒MN所受重力的最大功率为

答案　AC

解析　由题意可知，导体棒MN切割磁感线，产生的感应电动势为E＝BLv，回路中的电流I＝，MN受到的安培力F＝BIL＝，故MN沿斜面做加速度减小的加速运动，当MN受到的安培力大小等于其重力沿轨道方向的分力时，速度达到最大值，此后MN做匀速运动．故导体棒MN受到的最大安培力为mgsinθ，导体棒MN的最大速度为，选项A、C正确．由于当MN下滑速度最大时，EF与轨道间的摩擦力刚好达到最大静摩擦力，由力的平衡知识可知EF与轨道之间的最大静摩擦力为2mgsinθ，B错误．由P＝Gvsinθ可知导体棒MN所受重力的最大功率为，D错误．

例2　如图所示，在倾角θ＝37°的光滑斜面上存在一垂直斜面向上的匀强磁场区域MNPQ，

磁感应强度B的大小为5T，磁场宽度d＝0.55m，有一边长L＝0.4m、质量m1＝0.6kg、电阻R＝2Ω的正方形均匀导体线框abcd通过一轻质细线跨过光滑的定滑轮与一质量为m2＝0.4kg的物体相连，物体与水平面间的动摩擦因数μ＝0.4，将线框从图示位置由静止释放，物体到定滑轮的距离足够长．（取g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）求：

（1）线框abcd还未进入磁场的运动过程中，细线中的拉力为多少？

（2）当ab边刚进入磁场时，线框恰好做匀速直线运动，求线框刚释放时ab边距磁场MN边界的距离x多大？

（3）在

（2）问中的条件下，若cd边恰离开磁场边界PQ时，速度大小为2m/s，求整个运动过程中ab边产生的热量为多少？

审题指导　1.线框abcd未进入磁场时，线框沿斜面向下加速，m2沿水平面向左加速，属连接体问题．

2．ab边刚进入磁场时做匀速直线运动，可利用平衡条件求速度．

3．线框从开始运动到离开磁场的过程中，线框和物体组成的系统减少的机械能转化为线框的焦耳热．

解析　

（1）m1、m2运动过程中，以整体法有m1gsinθ－μm2g＝（m1＋m2）a

a＝2m/s2

以m2为研究对象有FT－μm2g＝m2a（或以m1为研究对象有m1gsinθ－FT＝m1a）

FT＝2.4N

（2）线框进入磁场恰好做匀速直线运动，以整体法有

m1gsinθ－μm2g－＝0v＝1m/s

ab到MN前线框做匀加速运动，有v2＝2axx＝0.25m

（3）线框从开始运动到cd边恰离开磁场边界PQ时：

m1gsinθ（x＋d＋L）－μm2g（x＋d＋L）＝（m1＋m2）v＋Q解得：

Q＝0.4J所以Qab＝Q＝0.1J

突破训练2　如图所示，平行金属导轨与水平面间的倾角为θ，导轨电阻不计，与阻值为R的定值电阻相连，匀强磁场垂直穿过导轨平面，磁感应强度为B.有一质量为m、长为l的导体棒从ab位置获得平行于斜面、大小为v的初速度向上运动，最远到达a′b′位置，滑行的距离为s，导体棒的电阻也为R， 与导轨之间的动摩擦因数为μ.则 （　　）

A．上滑过程中导体棒受到的最大安培力为

B．上滑过程中电流做功发出的热量为mv2－mgs（sinθ＋μcosθ）

C．上滑过程中导体棒克服安培力做的功为mv2

D．上滑过程中导体棒损失的机械能为mv2－mgssinθ

答案　BD

解析　导体棒刚开始运动时所受安培力最大，Fm＝BIl＝，A选项错误．由能量守恒定律可知：

导体棒动能减少的数值应该等于导体棒重力势能的增加量以及克服安培力做功产生的电热和克服摩擦阻力做功产生的内能，其公式表示为：

mv2＝mgssinθ＋μmgscosθ＋Q电热，则有：

Q电热＝mv2－（mgssinθ＋μmgscosθ），即为导体棒克服安培力做的功．导体棒损失的机械能即为克服安培力做功和克服摩擦阻力做功的和，W损失＝mv2－mgssinθ.故B、D正确．

例3　如图所示，足够长的金属导轨MN、PQ平行放置，间距为L，与水平面成θ角，导

轨与定值电阻R1和R2相连，且R1＝R2＝R，R1支路串联开关S，原来S闭合．匀强磁场垂直导轨平面向上，有一质量为m、有效电阻也为R的导体棒ab与导轨垂直放置，它与导轨粗糙接触且始终接触良好．现将导体棒ab从静止释放，沿导轨下滑，当导体棒运动达到稳定状态时速率为v，此时整个电路消耗的电功率为重力功率的.已知重力加速度为g，导轨电阻不计，求：

（1）匀强磁场的磁感应强度B的大小和达到稳定状态后导体棒ab中的电流强度I；

（2）如果导体棒ab从静止释放沿导轨下滑x距离后达到稳定状态，这一过程回路中产生的电热是多少？

（3）导体棒ab达到稳定状态后，断开开关S，从这时开始导体棒ab下滑一段距离后，通过导体棒ab横截面的电荷量为q，求这段距离是多少？

解析　

（1）回路中的总电阻为：

R总＝R

当导体棒ab以速度v匀速下滑时棒中的感应电动势为：

E＝BLv

此时棒中的感应电流为：

I＝

此时回路的总电功率为：

P电＝I2R总

此时重力的功率为：

P重＝mgvsinθ

根据题给条件有：

P电＝P重，解得：

I＝

B＝

（2）设导体棒ab与导轨间的滑动摩擦力大小为Ff，根据能量守恒定律可知：

mgvsinθ

＝Ffv解得：

Ff＝mgsinθ

导体棒ab减少的重力势能等于增加的动能、回路中产生的焦耳热以及克服摩擦力做功的和mgsinθ·x＝mv2＋Q＋Ff·x

解得：

Q＝mgsinθ·x－mv2

（3）S断开后，回路中的总电阻为：

R总′＝2R

设这一过程经历的时间为Δt，这一过程回路中的平均感应电动势为，通过导体棒ab的平均感应电流为，导体棒ab下滑的距离为s，则：

＝＝，＝＝

得：

q＝Δt＝解得：

s＝

巩固练习

1．（2013·安徽·16）如图所示，足够长的平行金属导轨倾斜放置，倾角为37°，宽度为0.5m，电阻忽略不计，其上端接一小灯泡，电阻为1Ω.一导体棒MN垂直导轨放置，质量为0.2kg，接入电路的电阻为1Ω，两端与导轨接触良好，与导轨间的动摩擦因数为 0.5.在导轨间存在着垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度为0.8T．将导体棒MN由静止释放，运动一段时间后，小灯泡稳定发光，此后导体棒MN的运动速度以及小灯泡消耗的电功率分别为（重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6） （　　）

A．2.5m/s　1W B．5m/s　1W

C．7.5m/s　9W D．15m/s　9W

解析　导体棒MN匀速下滑时受力如图所示，由平衡条件可得

F安＋μmgcos37°＝mgsin37°，所以F安＝mg（sin37°－μcos37°）＝0.4N，由F安＝BIL得I＝＝1A，所以E＝I（R灯＋RMN）＝2V，

导体棒的运动速度v＝＝5m/s，小灯泡消耗的电功率为P灯＝I2R灯＝1W．正确选项为B.

2．如图甲所示，电阻不计且间距L＝1m的光滑平行金属导轨竖直放置，上端接一阻值R

＝2Ω的电阻，虚线OO′下方有垂直于导轨平面向里的匀强磁场，现将质量m＝0.1kg、电阻不计的金属杆ab从OO′上方某处由静止释放，金属杆在下落的过程中与导轨保持良好接触且始终水平．已知杆ab进入磁场时的速度v0＝1m/s，下落0.3m的过程中加速度a与下落距离h的关系图象如图乙所示，g取10m/s2，则 （　　）

A．匀强磁场的磁感应强度为1T

B．杆ab下落0.3m时金属杆的速度为1m/s

C．杆ab下落0.3m的过程中R上产生的热量为0.2J

D．杆ab下落0.3m的过程中通过R的电荷量为0.25C

解析　在杆ab刚进入磁场时，有－mg＝ma，由题图乙知，a的大小为10m/s2，解得B＝2T，A错误．杆ab下落0.3m时杆做匀速运动，则有＝mg，解得v′＝0.5m/s，选项B错误．在杆ab下落0.3m的过程，根据能量守恒，R上产生的热量为Q＝mgh－mv′2＝0.2875J，选项C错误．通过R的电荷量q＝＝＝0.25C．选项D正确．

3．在如图所示倾角为θ的光滑