正弦余弦定理的应用Word格式文档下载.docx

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向量AC<

=3/4

因此最大值为3/4

4）在三角形ABC中abc是角A.B.C所对的边,且满足2a²

+2c²

-2b²

=ac

求角B的大小在三角形ABC中

解：

cosB＝（a²

+c²

-b²

）/2ac＝1/4.∠B≈75°

31′21〃

5）三角形ABC中,a^4+b^4+c^4=a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2则三角形ABC是什么三角形~~

答：

等边

a^4+b^4+c^4=a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2

2（a^4+b^4+c^4）=2（a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2）

a^4+b^4-2a^2b^2+a^4+c^4-2a^2c^2+b^4+c^4-2b^2c^2=0

（a^2-b^2）^2+（a^2-c^2）^2+（b^2-c^2）^2=0

a^2=b^2,a^2=c^2,b^2=c^2

a=b=c

6）已知三角形的边为a,b,c，判断a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2a^2c^2-2b^2c^2的值。

它的值小于0，理由如下：

a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2a^2c^2-2b^2c^2

=（a^4-2a^2b^2+b^4）-2a^2c^2+2b^2c^2+c^4-4b^2c^2

=（a^2-b^2）^2-2c^2*（a^2-b^2）+c^4-4b^2c^2

=（a^2-b^2-c^2）^2-4b^2c^2

=（a^2-b^2-c^2+2bc）（a^2-b^2-c^2-2bc）

=[a^2-（b^2-2bc+c^2）][a^2-（b^2＋2bc＋c^2）]

=[a^2-（b－c）^2][a^2-（b＋c）^2]

=（a+b-c）（a-b+c）（a+b+c）（a-b-c）

可知：

a+b-c>

0，a-b+c>

0，a+b+c>

0，a-b-c<

0，

所以原式的值是个负数，也就是小于0。

7）在△ABC中,三边长为根号a、根号b、根号c,若a^2+b^2=c^2,则△ABC的形状为锐角三角形，为什么

由余弦定理可以知道：

c=a+b-2（根号a）（根号b）*cosC，

所以c^2=（a+b）^2+4ab（cosC）^2-4（a+b）（根号a）（根号b）*cosC=a^2+b^2,

所以2ab+4ab（cosC）^2-4（a+b）（根号a）（根号b）*cosC=0，现在把cosC当成一个未知数x来解方程，就可以解出：

√a*√b+2√a√b*（cosC）^2-2（a+b）cosC=0的解为cosC始终是大于0的，

所以c为锐角，同理，a和b都可以这样算。

所以这是锐角三角形

8）△ABC中三边之比为1：

1：

根号2，则△ABC形状一定不是A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D锐角三角形

由于：

1^2+1^2=（根号2）^2

所以，三角形是直角三角形。

又有二边相等。

所以是等腰直角三角形C

9）在三角形ABC中,A为锐角,lgb+lg（1/c）=lgSinA=-lg根号2,则三角形形状为什么

lgSinA=-lg根号2=lg1/根号2

sinA=1/根号2

A=45度

lgb+lg（1/c）=-lg根号2

去掉对数就是b/c=1/根号2所以b=c/根号2

由余弦定理cosA=（b^2+c^2-a^2）/2bc

将b=c/根号2代入

cosA=cos45度=1/根号2

可得c=a

所以角C=45度

所以这是一个等腰直角三角形

10）在三角形ABC中，A,B为锐角，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且cos2A=3/5，sin=根号下10/10.

1求A+B的值

2若a-b=根号下2-1，求a,b,c的值

（sinA）^2+（cosA）^2=1

锐角三角形，cosA>

cosA=2*五分之√五

同理，cosB=3*十分之√十

sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA

代入=√2/2

则A+B=45°

2：

sinA=根号5/5，sinB=根号10/10，A+B=45度

a-b=（根号2）-1

利用正弦定律

a/sinA=b/sinB

a/b=sinA/sinB=（根号5/5）/（根号10/10）=根号2

a=根号2b

根号2b-b=根号2-1

b=1a=根号2

A+B=45

C=135

sinC=根号2/2

c/sinC=b/sinB=1/（根号10/10）

c=根号2/2/（根号10/10）=根号5

11）已知三角形ABC的三边长a,b,c满足a^2+b+|（根号c-1）-2|=10a+2（根号b-4）-22,证明三角形ABC是什么三角形

a=b=c=5等边三角形

下面是方法：

右边移项到左边，再配方，得

（a-5）^2+（根号（b-4）-1）^2+|（根号c-1）-2|=0

三项都不能小于0，所以必须为0，则等式成立

可求出a=b=c=5

12）已知三角形ABC的三边长分别是a,b,c,且a.b满足根号a-2+b^2-6b+9=0

求c的取值范围

原式=√（a-2）+（b-3）²

√（a-2）≥0

（b-3）²

≥0

a=2b=3

2边之和大于第3边，2边之差小于第三边

1=b-a<

c<

a+b=5

1<

5

13）在三角形ABC中，三边长为连续自然数，且最大角为钝角，这个三角形三边的长分别为？

设三边是n-1,n,n+1

因为是钝角三角形

所以（n+1）^2>

n^2+（n-1）^2

n^2+2n+1>

2n^2-2n+1

n^2-4n<

0<

n<

4

所以n=1，2，3

若n=1，则n-1=0，不合题意

若n=2，三边长1，2，3，不符合三角形两边之和大于第三边

所以n=3

边长是2，3，4

14）三角形ABC的三边为连续的自然数，且最大角为最小角的二倍，求三边长

设三边长分别为n-1，n，n+1，最小角为a，则a为n和n+1的夹角，对边为n-1，2a的两边为n-1和n，对边为n+1。

应用正弦定理得（sin2a/（n+1））=（sina/（n-1））。

而sin2a=2sinacosa，代入化简得cosa=（n+1）/2（n-1）。

再应用余弦定理，cosa=（n2+（n+1）2-（n-1）2）/（2n*（n+1））。

解方程组，可得n=5，则三边长为4，5，6

15）在三角形ABC中,已知2B=A+C,b=1，求三角形ABC的周长的取值范围。

因为2B=A+C

故：

B=60°

cosB=（a²

）/（2ac）=cos60°

故；

a²

因为a²

≥2ac,b=1

ac=a²

≥2ac-1

ac≤1

+2ac-b²

=3ac

（a+c）²

=3ac+1≤4

a+c≤2

a+b+c≤3

又：

a+c＞b

a+b+c＞2b=2

2＜a+b+c≤3

16）△ABC中,2B=A+C,最大边与最小边之比为（根号3）+1比2,则最大角为？

2B=A+C===>

3B=180º

===>

B=60º

设:

最大边为a=（√3+1）,则c=2

b²

=a²

-2accos60º

=6===>

a=√6

∴sinA=asinB/b=（√3+1）（√3/2）/√6=（√6+√2）/4===>

A=75º

则最大角为75º

17）三角形ABC中已知角A等于60度，AB比AC等于8比5面积为10根号3，则其周长为

设AB=8x，AC=5x

S△ABC=1/2AB×

AC×

sin∠BAC

=（10√3）x²

已知，S△ABC=10√3

即（10√3）x²

=10√3，解得：

x=1或-1（舍）

所以，AB=8,AC=5

由余弦定理可得：

cos∠BAC=（AB²

+AC²

-BC²

）/2AB×

AC

将AB=8,AC=5，∠BAC=60°

代入

解得：

BC=7

所以，周长为20

18）在三角形ABC中，已知内角A=π/3边BC=2根号3求周长y的最大值？

根据公式有，a/sinA=b/sinB=c/sinC

a=2√3,∠A=60°

=>

b=4sinB,c=4sin（120°

-B）

周长l=a+b+c

=2√3+4sinB+4sin（120°

=2√3+4（sinB+√3/2cosB+1/2sinB）

=2√3+2（3sinB+√3cosB）

=2√3+2√3（√3sinB+cosB）

=2√3+4√3（√3/2sinB+1/2cosB）

=2√3+4√3sin（B+30°

）

因为-1<

=sina<

=1且0<

B<

120°

1/2<

sin（B+30°

）<

=1此时B=60°

，即现在是等边三角形了。

l周长=6√3

19）在三角形ABC中,m=（cosC/2,sinc/2）,n=（cosc/2,-sinc/2）,且mn的夹角为3/π

m.n=|m|*|n|cos（π/3）=cos（π/3）=1/2

cos^2（C/2）-sin^2（C/2）=1/2

cosC=1/2

所以C=π/3

2.设AB=c=7/2,AC=b,BC=a

（absinC）/2=3√3/2

absin（π/3）=3√3

ab=6

（1）

c^2=a^2+b^2-2abcosC=a^2+b^2-ab

（a+b）^2=c^2+3ab=（49/4）+18=121/4

a+b=11/2

（2）

由

（1）

（2）解出a,b的值,再求周长。

20）在三角形ABC中，角A.B.C的对边分别为a.b.c，已知A=π/3，a=2√3，设B=x，三角形ABC周长为y

（I）求函数y=f（x）的解析式和定义域

（II）求y=f（x）的单调区间

（1）y=a+b+c=2√3+b+c

sinB/b=sinA/a=SinC/c

b=asinB/sinA,C=asinC/sinA

y=asinB/sinA+asinC/sinA+2√3

=2√3sinB/sinπ/3+2√3sin（π-π/3-B）/sinπ/3+2√3

=4sinB+4sin（2π/3-B）+2√3

=8sinπ/3cos（B-2π/3+B）/2+2√3

=4√3cos（B-π/3）+2√3

=4√3cos（x-π/3）+2√3

x<

2π/3

（2）x∈（0,π/3）为增函数

x∈（π/3,2π/3）为减函数

21）在△ABC中,A=π/3,BC=2,则三角形ABC的周长为（用角B表示）_____

由正弦定理得：

AC=2sinB/sin（π/3）=（4√3/3）sinB

AB=2sin（2π/3-B）/sin（π/3）=2cosB+（2√3/3）sinB

故周长为2+2cosB+2√3sinB

22）三角形ABC中，AB=1,BC=2,则当C的取值范围为多少时此三角形是直角三角形？

解1当BC边为斜边时，AC^2=BC^2-AB^2

=2^2-1^2

=3

所以AC=√3

解2当AC为直角边时，AC^2=BC^2+AB^2

=4+1

=5

所以AC=√5

∠C的范围，就是0°

＜∠C小于180°

，

AC的取值范围根据三角形三边关系定理

BC-AB＜AC＜BC+AB

即1＜AC＜3

23）在三角形ABC中，AB=1,BC=2则角C的取值范围是？

解法1：

因为c=AB=1,a=BC=2,b=AC

根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可知

1＜b＜3，根据余弦定理

cosC＝（a²

＋b²

－c²

）／2ab

＝（4＋b²

－1）／4b

＝（3＋b²

）／4b

＝3／4b＋b／4

＝（1／4）（√（3／b）－√b）²

＋√3／2≥√3／2

所以0<

C≤30º

解法2：

因为公式cosA=（b*b+c*c-a*a）/（2*b*c）

所以对题目中，设AC边长为X，则

COSC=3/（4X）+X/4,

又因为A+B大于等于2*<

AB的算数平方根>

当且仅当A=B时取等号,所以当x=（根号3）时，COSC有最小值（根号3）/2,此时C有最大值，为30°

。

因为∠C必大于0°

，所以0<

=30°

.若问在三角形ABC中，tanA/tanB=（（√2）*c-b）/b,则角A=（）

:

因为cosA=（b*b+c*c-a*a）/（2*b*c）

a/sinA=b/sinb

tanA=sinA/cosA

可将已知化减为b*b+c*c-a*a=bc*（根号2）

所以左边/右边=1/（根号2）

即cosA=1/（根号2）。

所以∠A=45°