高考数学一轮复习 132 导数的应用教案Word格式文档下载.docx
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C.在（－，0）上递增D.在（0，）上递增
F（x）=f［g（x）］=x4－4x2+6，（x）=4x3－8x，
令（x）>
0，得－<
0或x>
，∴F（x）在（－，0）上递增.
4.在（a，b）内（x）>
0是f（x）在（a，b）内单调递增的________条件.
∵在（a，b）内，f（x）>
0，∴f（x）在（a，b）内单调递增.
充分
●典例剖析
【例1】设f（x）=x3－3ax2+2bx在x=1处有极小值－1，试求a、b的值，并求出f（x）的单调区间.
剖析：
由已知x=1处有极小值－1，点（1，－1）在函数f（x）上，得方程组解之可得a、b.
解：
（x）=3x2－6ax+2b，由题意知
即
解之得a=，b=－.
此时f（x）=x3－x2－x，（x）=3x2－2x－1=3（x+）（x－1）.
当（x）>
0时，x>
1或x<
－，
当（x）<
0时，－<
1.
∴函数f（x）的单调增区间为（－∞，－）和（1，+∞），减区间为（－，1）.
评述：
极值点、最值点这些是原函数图象上常用的点.
【例2】（xx年全国，19）已知函数f（x）=ax3+3x2－x+1在R上是减函数，求实数a的取值范围.
在R上为减函数，则导函数在R上恒负.
（x）=3ax2+6x－1.
（1）当（x）<
0时，f（x）为减函数.
3ax2+6x－1<
0（x∈R），a<
0时，Δ=36+12a<
0，∴a<
－3.
∴a<
－3时，（x）<
0，f（x）在R上是减函数.
（2）当a=－3时，f（x）=－3（x－）3+.
由y=x3在R上的单调性知：
a=－3时，f（x）在R上是减函数，综上，a≤－3.
f（x）在R上为减函数（x）≤0（x∈R）.
【例3】（xx年全国，21）若函数y=x3－ax2+（a－1）x+1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）内为增函数，试求实数a的取值范围.
用导数研究函数单调性，考查综合运用数学知识解决问题的能力.
（x）=x2－ax+a－1=0得x=1或x=a－1，
当a－1≤1，即a≤2时，函数f（x）在（1，+∞）上为增函数，不合题意.
当a－1>
1，即a>
2时，函数f（x）在（－∞，1）上为增函数，在（1，a－1）上为减函数，在（a－1，+∞）上为增函数.
依题意，当x∈（1，4）时，（x）<
0，当x∈（6，+∞）时，（x）>
0，∴4≤a－1≤6.
∴5≤a≤7.∴a的取值范围为［5，7］.
若本题是“函数f（x）在（1，4）上为减函数，在（4，+∞）上为增函数.”我们便知x=4两侧使函数（x）变号，因而需要讨论、探索，属于探索性问题.
●闯关训练
夯实基础
1.已知a>
0，函数f（x）=x3－ax在［1，+∞）上是单调增函数，则a的最大值是
A.0B.1C.2D.3
（x）=3x2－a在［1，+∞）上，（x）≥0恒成立，即a≤3x2在［1，+∞）上恒成立，
∴a≤3.
D
2.已知函数f（x）=x4－4x3+10x2，则方程f（x）=0在区间［1，2］上的根有
A.3个B.2个C.1个D.0个
（x）=4x（x2－3x+5）在［1，2］上，（x）>
∴f（x）在［1，2］上单调递增.
∴f（x）≥f
（1）=7.
∴f（x）=0在［1，2］上无根.
3.函数f（x）的导函数y=（x）的图象如下图，则函数f（x）的单调递增区间为________.
在［－1，0］和［2，+∞）上，（x）≥0.
［－1，0］和［2，+∞）
4.若函数y=－x3+bx有三个单调区间，则b的取值范围是________.
y′=－4x2+b，若y′值有正、有负，则b>
0.
b>
5.设函数f（x）=x3－ax2+3x+5（a>
0），求f（x）的单调区间.
（1）（x）=3x2－ax+3，判别式Δ=a2－36=（a－6）（a+6）.
1°
0<
a<
6时，
Δ<
0，（x）>
0对x∈R恒成立.
∴当0<
6时，（x）在R上单调递增.
2°
a=6时，y=x3－3x2+3x+5=（x－1）3+4.
∴在R上单调递增.
3°
a>
6时，Δ>
0，由（x）>
0x>
或x<
.
∴在（，+∞）和（－∞，）内单调递增，在（，）内单调递减.
6.设f（x）=x3－－2x+5.
（1）求f（x）的单调区间；
（2）当x∈［1，2］时，f（x）<
m恒成立，求实数m的取值范围.
（1）（x）=3x2－x－2=0，得x=1，－.在（－∞，－）和［1，+∞）上（x）>
0，f（x）为增函数；
在［－，1］上（x）<
0，f（x）为减函数.所以所求f（x）的单调增区间为（－∞，－]和［1，+∞），单调减区间为［－，1］.
（2）当x∈［1，2］时，显然（x）>
0，f（x）为增函数，f（x）≤f
（2）=7.
∴m>
7.
培养能力
7.已知函数f（x）=x3－ax－1.
（1）若f（x）在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数a，使f（x）在（－1，1）上单调递减?
若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由；
（3）证明f（x）=x3－ax－1的图象不可能总在直线y=a的上方.
（x）=3x2－a，
（1）3x2－a>
0在R上恒成立，∴a<
又a=0时，f（x）=x3－1在R上单调递增，∴a≤0.
（2）3x2－a<
0在（－1，1）上恒成立，即a>
3x2在（－1，1）上恒成立，即a>
3.
又a=3，f（x）=x3－3x－1，（x）=3（x2－1）在（－1，1）上，（x）<
0恒成立，即f（x）在（－1，1）上单调递减，∴a≥3.
（3）当x=－1时，f（－1）=a－2<
a，因此f（x）的图象不可能总在直线y=a的上方.
8.已知函数f（x）=ax4+bx2+c的图象经过点（0，1），且在x=1处的切线方程是y=x－2.
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求y=f（x）的单调递增区间.
（1）由题意知f（0）=1，
（1）=1，f
（1）=－1.
∴
∴c=1，a=，b=－，
f（x）=x4－x2+1.
（2）∵（x）=10x3－9x，
由10x3－9x>
0，得x∈（－，0）∪（，+∞），
则f（x）的单调递增区间为（－，0）和（，+∞）.
9.已知函数f（x）=2ax－x3，a>
0，若f（x）在x∈（0，1］上是增函数，求a的取值范围.
（x）=2a－3x2在（0，1]上恒为正，
∴2a>
3x2，即a>
x2.
∵x∈（0，1]，
∴x2∈（0，].
.当a=时也成立.∴a≥.
探究创新
10.有点难度哟！
证明方程x3－3x+c=0在［0，1］上至多有一实根.
证明：
设f（x）=x3－3x+c，则（x）=3x2－3=3（x2－1）.
当x∈（0，1）时，（x）<
0恒成立.
∴f（x）在（0，1）上单调递减.
∴f（x）的图象与x轴最多有一个交点.
因此方程x3－3x+c=0在［0，1）上至多有一实根.
●思悟小结
1.（x）>
0f（x）为增函数（（x）<
0f（x）为减函数）.
2.f（x）是增函数（x）≥0（f（x）为减函数（x）≤0）.
●教师下载中心
教学点睛
1.可导函数f（x）在极值点的导数为0，但是导数为0的点不一定是极值点.如果f（x）在x0处连续，在x0两侧的导数异号，那么点x0是函数f（x）的极值点.
2.求可导函数f（x）的极值的步骤如下：
（1）求f（x）的定义域，求（x）；
（2）由（x）=0，求其稳定点；
（3）检查（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取极大值；
如果左负右正，那么f（x）在这个根处取极小值；
如果左右同号，那么f（x）在这个根处不取极值.
3.求可导函数f（x）的最值的方法：
（1）求f（x）在给定区间内的极值；
（2）将f（x）的各极值与端点值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
拓展题例
【例1】若函数f（x）=ax3－x2+x－5在（－∞，+∞）上单调递增，求a的取值范围.
（x）=3ax2－2x+1>
∴即
当a=时，f（x）在（－∞，+∞）上单调递增.
∴a≥.
【例2】求证：
x>
1时，2x3>
x2+1.
令f（x）=2x3－x2－1，则（x）=6x2－2x=2x（3x－1）.
当x>
1时，（x）>
∴f（x）在（1，+∞）上单调递增.
又∵f
（1）=0，
∴f（x）在（1，+∞）上恒大于零，即当x>
2019-2020年高考数学一轮复习2.1函数的概念教案
●网络体系总览
●考点目标定位
1.理解函数的概念，了解映射的概念.
2.了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法.
3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数.
4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质.
5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质.
6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.
●复习方略指南
基本函数：
一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数与对数函数，它们的图象与性质是函数的基石.求反函数，判断、证明与应用函数的三大特性（单调性、奇偶性、周期性）是高考命题的切入点，有单一考查（如全国xx年第2题），也有综合考查（如江苏xx年第22题）.函数的图象、图象的变换是高考热点（如全国xx年Ⅳ，北京xx年春季理2），应用函数知识解其他问题，特别是解应用题能很好地考查学生分析问题、解决问题的能力，这类问题在高考中具有较强的生存力.配方法、待定系数法、数形结合法、分类讨论等，这些方法构成了函数这一章应用的广泛性、解法的多样性和思维的创造性，这均符合高考试题改革的发展趋势.
特别在“函数”这一章中，数形结合的思想比比皆是，深刻理解和灵活运用这一思想方法，不仅会给解题带来方便，而且这正是充分把握住了中学数学的精髓和灵魂的体现.
复习本章要注意：
1.深刻理解一些基本函数，如二次函数、指数函数、对数函数的图象与性质，对数与形的基本关系能相互转化.
2.掌握函数图象的基本变换，如平移、翻转、对称等.
3.二次函数是初中、高中的结合点，应引起重视，复习时要适当加深加宽.二次函数与二次方程、二次不等式有着密切的联系，要沟通这些知识之间的内在联系，灵活运用它们去解决有关问题.
4.含参数函数的讨论是函数问题中的难点及重点，复习时应适当加强这方面的训练，做到条理清楚、分类明确、不重不漏.
5.利用函数知识解应用题是高考重点，应引起重视.
2.1函数的概念
1.函数的定义：
设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f:
A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中x叫做自变量.x的取值范围A叫做函数的定义域；
与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域.
2.两个函数的相等：
函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f.当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.
3.映射的定义：
一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集合A、B，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做集合A到集合B的映射，记作f:
A→B.
由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求A、B非空且皆为数集.
特别提示
函数定义的三要素是理解函数概念的关键，用映射的观点理解函数概念是对函数概念的深化.
1.设集合A=R，集合B=正实数集，则从集合A到集合B的映射f只可能是
A.f:
x→y=|x|B.f:
x→y=
C.f:
x→y=3－xD.f:
x→y=log2（1+|x|）
指数函数的定义域是R，值域是（0，+∞），所以f是x→y=3－x.
2.设M={x|－2≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，函数f（x）的定义域为M，值域为N，则f（x）的图象可以是
A项定义域为［－2，0］，D项值域不是［0，2］，C项对任一x都有两个y与之对应，都不符.故选B.
3.（xx年全国Ⅰ，理2）已知函数f（x）=lg，若f（a）=b，则f（－a）等于
A.bB.－bC.D.－
f（－a）=lg=－lg=－f（a）=－b.
【答案】B
4.（xx年全国Ⅲ，理5）函数y=的定义域是
A.［－，－1）∪（1，］B.（－，－1）∪（1，）
C.［－2，－1）∪（1，2］D.（－2，－1）∪（1，2）
－≤x＜－1或1＜x≤.∴y=的定义域为［－，－1）∪（1，］.
A
5.（xx年浙江，文9）若函数f（x）=loga（x+1）（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是［0，1］，则a等于
A.B.C.D.2
f（x）=loga（x+1）的定义域是［0，1］，∴0≤x≤1，则1≤x+1≤2.
当a＞1时，0=loga1≤loga（x+1）≤loga2=1，∴a=2；
当0＜a＜1时，loga2≤loga（x+1）≤loga1=0，与值域是［0，1］矛盾.
综上，a=2.
【例1】试判断以下各组函数是否表示同一函数？
（1）f（x）=，g（x）=；
（2）f（x）=，g（x）=
（3）f（x）=，g（x）=（）2n－1（n∈N*）；
（4）f（x）=，g（x）=；
（5）f（x）=x2－2x－1，g（t）=t2－2t－1.
对于两个函数y=f（x）和y=g（x），当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时，y=f（x）和y=g（x）才表示同一函数.若两个函数表示同一函数，则它们的图象完全相同，反之亦然.
（1）由于f（x）==|x|，g（x）==x，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数.
（2）由于函数f（x）=的定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），而g（x）=的定义域为R，所以它们不是同一函数.
（3）由于当n∈N*时，2n±
1为奇数，∴f（x）==x，g（x）=（）2n－1=x，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数.
（4）由于函数f（x）=的定义域为{x|x≥0}，而g（x）=的定义域为{x|x≤－1或x≥0}，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数.
（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数.
（1）第（5）小题易错判断成它们是不同的函数，原因是对函数的概念理解不透.要知道，在函数的定义域及对应法则f不变的条件下，自变量变换字母，以至变换成其他字母的表达式，这对于函数本身并无影响，比如f（x）=x2+1，f（t）=t2+1，f（u+1）=（u+1）2+1都可视为同一函数.
（2）对于两个函数来讲，只要函数的三要素中有一要素不相同，则这两个函数就不可能是同一函数.
【例2】集合A={3，4}，B={5，6，7}，那么可建立从A到B的映射个数是__________，从B到A的映射个数是__________.
从A到B可分两步进行：
第一步A中的元素3可有3种对应方法（可对应5或6或7），第二步A中的元素4也有这3种对应方法.由乘法原理，不同的映射种数N1＝3×
3＝9.反之从B到A，道理相同，有N2＝2×
2×
2＝8种不同映射.
98
深化拓展
设集合A中含有4个元素，B中含有3个元素，现建立从A到B的映射f:
A→B，且使B中每个元素在A中都有原象，则这样的映射有___________________个.
提示：
因为集合A中有4个元素，集合B中有3个元素，根据题意，A中必须有2个元素有同一个象，因此，共有CA=36个映射.
36
【例3】（xx年广东，19）设函数f（x）=|1－|（x＞0），证明：
当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，ab＞1.
剖析一：
f（a）=f（b）|1－|=|1－|（1－）2=（1－）22ab=a+b≥2ab＞1.
略.
剖析二：
f（x）=
f（x）在（0，1］上是减函数，在（1，+∞）上是增函数.由0＜a＜b且f（a）=f（b），得0＜a＜1＜b且－1=1－，即+=2a+b=2ab≥2ab＞1.
评注：
证法一、证法二是去绝对值符号的两种基本方法.
1.设集合A和B都是自然数集合N，映射f：
A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n＋n，则在映射f下，象20的原象是
A.2B.3C.4D.5
由2n＋n＝20求n，用代入法可知选C.
2.某种型号的手机自投放市场以来，经过两次降价，单价由原来的xx元降到1280元，则这种手机平均每次降价的百分率是
A.10%B.15%C.18%D.20%
设降价百分率为x%，
∴xx（1－x%）2=1280.解得x=20.
3.（xx年全国Ⅲ，理11）设函数f（x）=则使得f（x）≥1的自变量x的取值范围为
A.（－∞，－2］∪［0，10］B.（－∞，－2］∪［0，1］
C.（－∞，－2］∪［1，10］D.［－2，0］∪［1，10］
f（x）是分段函数，故f（x）≥1应分段求解.
当x＜1时，f（x）≥1（x+1）2≥1x≤－2或x≥0，∴x≤－2或0≤x＜1.
当x≥1时，f（x）≥14－≥1≤3x≤10，∴1≤x≤10.
综上所述，x≤－2或0≤x≤10.
4.（xx年浙江，文13）已知f（x）=则不等式xf（x）+x≤2的解集是___________________.
x≥0时，f（x）=1，
xf（x）+x≤2x≤1，∴0≤x≤1；
当x＜0时，f（x）=0，
xf（x）+x≤2x≤2，∴x＜0.综上x≤1.
{x|x≤1}
5.（xx年全国Ⅳ，文）已知函数y=logx与y=kx的图象有公共点A，且A点的横坐标为2，则k的值等于
A.－B.C.－D.
由点A在y=logx的图象上可求出A点纵坐标y=log2=－.又A（2，－）在y=kx图象上，－=k·
2，∴k=－.
6.如下图，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿着折线BCDA由B点（起点）向A点（终点）移动，设P点移动的路程为x，△ABP的面积为y=f（x）.
（1）求△ABP的面积与P移动的路程间的函数关系式；
（2）作出函数的图象，并根据图象求y的最大值.
（1）这个函数的定义域为（0，12）.
当0＜x≤4时，S=f（x）=·
4·
x=2x；
当4＜x≤8时，S=f（x）=8；
当8＜x＜12时，S=f（x）=·
（12－x）=2（12－x）=24－2x.
∴这个函数的解析式为f（x）=
（2）其图形为
由图知，［f（x）］max=8.
7.若f:
y=3x+1是从集合A={1，2，3，k}到集合B={4，7，a4，a2+3a}的一个映射，求自然数a、k的值及集合A、B.
∵f
（1）=3×
1+1=4，f
（2）=3×
2+1=7，f（3）=3×
3+1=10，f（k）=3k+1，由映射的定义知
（1）或
（2）
∵a∈N，∴方程组
（1）无解.
解方程组
（2），得a=2或a=－5（舍），3k+1=16，3k=15，k=5.∴A={1，2，3，5}，B={4，7，10，16}.
8.如果函数f（x）=（x+a）3对任意x∈R都有f（1+x）=－f（1－x），试求f
（2）+f（－2）的值.
∵对任意x∈R，总有f（1+x）=－f（1－x），
∴当x=0时应有f（1+0）=－f（1－0），
即f
（1）=－f
（1）.∴f
（1）=0.
又∵f（x）=（x+a）3，∴f
（1）=（1+a）3.
故有（1+a）3＝0a=－1.∴f（x）=（x－1）3.
∴f
（2）+f（－2）=（2－1）3＋（－2－1）3＝13＋（－3）3＝－26.
9.集合M={a，b，c}，N={－1，0，1}，映射f:
M→N满足f（a）+f（b）+f（c）=0，那么映射f:
M→N的个数是多少？
∵f（a）∈N，f（b）∈N，f（c）∈N，且f（a）+f（b）+f（c）=0，
∴有0+0+0=0+1+（－1）=0.
当f（a）=f（b）=f（c）=0时，只有一个映射；
当f（a）、f（b）、f（c）中恰有一个为0，而另两个分别为1，－1时，有C·
A=6个映射.因此所求的映射的个数为1+6=7.
本题考查了映射的概念和分类讨论的思想.
1.本节重点内容是函数概念、定义域、值域，难点是映射及其意义.
2.理解映射的概念，应注意以下几点：
（1）集合A、B及对应法则f是确定的，是一个系统；
（2）对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从集合B到集合A的对应关系一般是不同的；
（3）集合A中每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的，这是映射区别于一般对应的本质特征；
（4）集合A中不同元素，在集合B中对应的象可以是同一个；
（5）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象.
3.函数的定义域是构成函数的非常重要的部分，如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x的取值范围，即分式中分母应不等于0；
偶次根式中被开方数应为非负数；
零指数幂中，底数不等于0，负分数指数幂中，底数应大于0；
对数式中，真数必须大于
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