甘肃省中考数学试题卷及答案详析Word格式.docx

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中位数

方差

甲

45

94

93

5.3

乙

95

4.8

A．甲、乙两班的平均水平相同

B．甲、乙两班竞赛成绩的众数相同

C．甲班的成绩比乙班的成绩稳定

D．甲班成绩优异的人数比乙班多

10．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对于下列说法：

①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac＜b2，④a+b+c＜0，⑤当x＞0时，y随x的增大而减小，其中正确的是（　　）

A．①②③B．①②④C．②③④D．③④⑤

二、填空题：

本大题共8小题，每小题3分，共24分.

11．（3分）分解因式：

x3y﹣4xy＝　　．

12．（3分）不等式组

的最小整数解是　　．

13．（3分）分式方程

＝

的解为　　．

14．（3分）在△ABC中∠C＝90°

，tanA＝

，则cosB＝　　．

15．（3分）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的左视图的面积为　　．

16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°

，AC＝BC＝2，点D是AB的中点，以A、B为圆心，AD、BD长为半径画弧，分别交AC、BC于点E、F，则图中阴影部分的面积为　　．

17．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，E为BC上一点，把△CDE沿DE折叠，使点C落在AB边上的F处，则CE的长为　　．

18．（3分）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n＝　　．

三、解答题

（一）本大共5小题，共26分.解答应写出必要的文字说明，证明过程成演算步骤.

19．（4分）计算：

（﹣

）﹣2+（2019﹣π）0﹣

tan60°

﹣|﹣3|．

20．（4分）如图，在△ABC中，点P是AC上一点，连接BP，求作一点M，使得点M到AB和AC两边的距离相等，并且到点B和点P的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）

21．（6分）中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：

今有三人共车，二车空；

二人共车，九人步，问人与车各几何？

译文为：

今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？

22．（6分）为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260mm～300mm含（300mm），高度的范围是120mm～150mm（含150mm）．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：

AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，各踏步互相平行，AB＝CD，AC＝900mm，∠ACD＝65°

，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．（结果精确到1mm，参考数据：

sin65°

≈0.906，cos65°

≈0.423）

23．（6分）在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n．

（1）请用列表或画树状图的方法表示出所有（m，n）可能的结果；

（2）若m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则小明获胜；

若m，n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？

四、解答题

（二）：

本大题共5小题，共40分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤

24．（7分）良好的饮食对学生的身体、智力发育和健康起到了极其重要的作用，荤菜中蛋白质、钙、磷及脂溶性维生素优于素食，而素食中不饱和脂肪酸、维生素和纤维素又优于荤食，只有荤食与素食适当搭配，才能强化初中生的身体素质．某校为了了解学生的体质健康状况，以便食堂为学生提供合理膳食，对本校七年级、八年级学生的体质健康状况进行了调查，过程如下：

收集数据：

从七、八年级两个年级中各抽取15名学生，进行了体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：

七年级：

748175767075757981707480916982

八年级：

819483778380817081737882807050

整理数据：

年级

x＜60

60≤x＜80

80≤x＜90

90≤x≤100

七年级

10

4

1

八年级

5

8

（说明：

90分及以上为优秀，80～90分（不含90分）为良好，60～80分（不含80分）为及格，60分以下为不及格）

分析数据：

众数

75

77.5

80

得出结论：

（1）根据上述数据，将表格补充完整；

（2）可以推断出　　年级学生的体质健康状况更好一些，并说明理由；

（3）若七年级共有300名学生，请估计七年级体质健康成绩优秀的学生人数．

25．（7分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝

的图象相交于A（﹣1，n）、B（2，﹣1）两点，与y轴相交于点C．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积；

（3）若M（x1，y1）、N（x2，y2）是反比例函数y＝

上的两点，当x1＜x2＜0时，比较y2与y1的大小关系．

26．（8分）如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD于点G．

（1）证明：

△ADG≌△DCE；

（2）连接BF，证明：

AB＝FB．

27．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°

，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．

（1）求证：

∠A＝∠ADE；

（2）若AD＝8，DE＝5，求BC的长．

28．（10分）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．

（1）求二次函数的解析式；

（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；

（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．

2019年甘肃省中考数学试卷

参考答案与试题解析

【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．

【解答】解：

A．此图案是中心对称图形，符合题意；

B．此图案不是中心对称图形，不合题意；

C．此图案不是中心对称图形，不合题意；

D．此图案不是中心对称图形，不合题意；

故选：

【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．

根据实数比较大小的方法，可得

﹣3＜﹣

＜0＜2，

所以最小的数是﹣3．

C．

【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：

正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．

【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．

使得式子

有意义，则：

4﹣x＞0，

解得：

x＜4，

即x的取值范围是：

x＜4．

D．

【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．

【分析】直接利用积的乘方运算法则化简，再利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．

（﹣2a）2•a4＝4a2•a4＝4a6．

B．

【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

【分析】直接利用已知角的度数结合平行线的性质得出答案．

∵将一块含有30°

的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，∠1＝48°

，

∴∠2＝∠3＝180°

﹣48°

﹣30°

＝102°

．

【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠3的度数是解题关键．

【分析】直接利用关于x轴上点的坐标特点得出m的值，进而得出答案．

∵点P（m+2，2m﹣4）在x轴上，

∴2m﹣4＝0，

m＝2，

∴m+2＝4，

则点P的坐标是：

（4，0）．

【点评】此题主要考查了点的坐标，正确得出m的值是解题关键．

【分析】把x＝﹣1代入方程计算即可求出k的值．

把x＝﹣1代入方程得：

1+2k+k2＝0，

k＝﹣1，

【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．

【分析】由∠AOC＝126°

，可求得∠BOC的度数，然后由圆周角定理，求得∠CDB的度数．

∵∠AOC＝126°

∴∠BOC＝180°

﹣∠AOC＝54°

∵∠CDB＝

∠BOC＝27°

【点评】此题考查了圆周角定理．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

【分析】由两个班的平均数相同得出选项A正确；

由众数的定义得出选项B不正确；

由方差的性质得出选项C不正确；

由两个班的中位数得出选项D不正确；

即可得出结论．

A、甲、乙两班的平均水平相同；

正确；

B、甲、乙两班竞赛成绩的众数相同；

不正确；

C、甲班的成绩比乙班的成绩稳定；

D、甲班成绩优异的人数比乙班多；

【点评】本题考查了平均数，众数，中位数，方差；

正确的理解题意是解题的关键．

【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．

①由图象可知：

a＞0，c＜0，

∴ac＜0，故①错误；

②由于对称轴可知：

＜1，

∴2a+b＞0，故②正确；

③由于抛物线与x轴有两个交点，

∴△＝b2﹣4ac＞0，故③正确；

④由图象可知：

x＝1时，y＝a+b+c＜0，

故④正确；

⑤当x＞

时，y随着x的增大而增大，故⑤错误；

【点评】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．

x3y﹣4xy＝　xy（x+2）（x﹣2）　．

【分析】先提取公因式xy，再利用平方差公式对因式x2﹣4进行分解．

x3y﹣4xy，

＝xy（x2﹣4），

＝xy（x+2）（x﹣2）．

【点评】本题是考查学生对分解因式的掌握情况．因式分解有两步，第一步提取公因式xy，第二步再利用平方差公式对因式x2﹣4进行分解，得到结果xy（x+2）（x﹣2），在作答试题时，许多学生分解不到位，提取公因式不完全，或者只提取了公因式．

的最小整数解是　0　．

【分析】求出不等式组的解集，确定出最小整数解即可．

不等式组整理得：

∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2，

则最小的整数解为0，

故答案为：

【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

的解为　

　．

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

去分母得：

3x+6＝5x+5，

x＝

经检验x＝

是分式方程的解．

【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．

，则cosB＝　

【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用互为余角的三角函数关系式求解．

利用三角函数的定义及勾股定理求解．

∵在Rt△ABC中，∠C＝90°

设a＝

x，b＝3x，则c＝2

x，

∴cosB＝

【点评】此题考查的知识点是特殊角的三角函数值，关键明确求锐角的三角函数值的方法：

利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．

15．（3分）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的左视图的面积为　（18+2

）cm2　．

【分析】由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．

该几何体是一个三棱柱，底面等边三角形边长为2cm，高为

cm，三棱柱的高为3，所以，其表面积为3×

2×

3+2×

＝18+2

（cm2）．

故答案为（18+2

）cm2．

【点评】本题考查了三视图，三视图是中考经常考查的知识内容，难度不大，但要求对三视图画法规则要熟练掌握，对常见几何体的三视图要熟悉．

，AC＝BC＝2，点D是AB的中点，以A、B为圆心，AD、BD长为半径画弧，分别交AC、BC于点E、F，则图中阴影部分的面积为　2﹣

【分析】根据S阴＝S△ABC﹣2•S扇形ADE，计算即可．

在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°

，CA＝CB＝2，

∴AB＝2

，∠A＝∠B＝45°

∵D是AB的中点，

∴AD＝DB＝

∴S阴＝S△ABC﹣2•S扇形ADE＝

×

2﹣2×

＝2﹣

2﹣

【点评】本题考查扇形的面积，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分割法求面积，属于中考常考题型．

17．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，E为BC上一点，把△CDE沿DE折叠，使点C落在AB边上的F处，则CE的长为　

【分析】设CE＝x，则BE＝6﹣x由折叠性质可知，EF＝CE＝x，DF＝CD＝AB＝10，所以AF＝8，BF＝AB﹣AF＝10﹣8＝2，在Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2，即（6﹣x）2+22＝x2，解得x＝

设CE＝x，则BE＝6﹣x由折叠性质可知，EF＝CE＝x，DF＝CD＝AB＝10，

在Rt△DAF中，AD＝6，DF＝10，

∴AF＝8，

∴BF＝AB﹣AF＝10﹣8＝2，

在Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2，

即（6﹣x）2+22＝x2，

解得x＝

故答案为

【点评】本题考查了矩形，熟练掌握矩形的性质以及勾股定理是解题的关键．

18．（3分）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n＝　1010　．

【分析】根据题意分析可得：

第1幅图中有1个，第2幅图中有2×

2﹣1＝3个，第3幅图中有2×

3﹣1＝5个，…，可以发现，每个图形都比前一个图形多2个，继而即可得出答案．

根据题意分析可得：

第1幅图中有1个．

第2幅图中有2×

2﹣1＝3个．

第3幅图中有2×

3﹣1＝5个．

第4幅图中有2×

4﹣1＝7个．

…．

可以发现，每个图形都比前一个图形多2个．

故第n幅图中共有（2n﹣1）个．

当图中有2019个菱形时，

2n﹣1＝2019，

n＝1010，

1010．

【点评】本题考查规律型中的图形变化问题，难度适中，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律．

【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值等4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

原式＝4+1﹣

＝1．

【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

【分析】根据角平分线的作法、线段垂直平分线的作法作图即可．

如图，点M即为所求，

【点评】本题考查的是复杂作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握基本尺规作图的一般步骤是解题的关键．

【分析】设共有x人，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．

设共有x人，

根据题意得：

+2＝

2x+12＝3x﹣27，

x＝39，

∴

＝15，

则共有39人，15辆车．

【点评】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．

【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可求得BM和DM的长，然后计算出该中学楼梯踏步的宽度和高度，再与规定的比较大小，即可解答本题．

连接BD，作DM⊥AB于点M，

∵AB＝CD，AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，

∴AB∥CD，AB＝CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴∠C＝∠ABD，AC＝BD，

∵∠C＝65°

，AC＝900，

∴∠ABD＝65°

，BD＝900，

∴BM＝BD•cos65°

＝900×

0.423≈381，DM＝BD•sin65°

0.906≈815，

∵381÷

3＝127，120＜127＜150，

∴该中学楼梯踏步的高度符合规定，

∵815÷

3≈272，260＜272＜300，

∴该中学楼梯踏步的宽度符合规定，

由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．

【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．

【分析】

（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图可得所有可能的结果；

（2）画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出数字之积能被2整除的结果数，然后根据概率公式求解．

（1）树状图如图所示：

（2）∵m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解，

∴m＝2，n＝3，或m＝3，n＝2，