11二次函数的图象与性质Word格式.docx

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（2）x=h为抛物线对称轴；

（3）顶点坐标为（h，k）．

依顶点式，可以很快地求出二次函数的最值．

当a>

0时，函数在x=h处取最小值y=k；

当a<

0时，函数在x=h处取最大值y=k．

6、抛物线y=a（x－h）2＋k与y=ax2的联系与区别

　　抛物线y=a（x－h）2＋k与y=ax2的形状相同，位置不同．前者是后者通过“平移”而得到．

　　要想弄清抛物线的平移情况，首先将解析式化为顶点式．

7、抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴的两个交点为A、B，且方程ax2＋bx＋c=0的两根为x1，x2，则有A（x1，0），B（x2，0）．

典型剖析

例1、已知二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图所示．

下列结论：

①a＋b＋c<

0；

②a－b＋c>

③abc>

④b=2a．

其中正确结论的个数是（　）

A．4　　　　　B．3　　　　C．2　　　　　D．1

解：

　　选A．令x=1及由图象知a＋b＋c<

0，①正确；

　　令x=－1及由图象a－b＋c>

0，②正确；

　　由对称轴

知，④正确；

　　由④知a、b同号且抛物线与y轴的交点在x轴上方，即c>

0，故③正确．所以选A．

例2、二次函数y=x2＋（a－b）x＋b的图象如图所示．那么化简

的结果是____________．

原式=－1．

　　∵图象与y轴交点在x轴上方，∴b＞0．

　　又∵图象的对称轴在y轴右边且二次项系数为1，一次项系数为a－b，

例3、已知抛物线y=x2－（2m＋4）x＋m2－10与x轴交于A、B两点，C是抛物线的顶点．

（1）用配方法求顶点C的坐标（用含m的代数式表示）；

（2）若AB的长为

，求抛物线的解析式．

（1）∵y=x2－（2m＋4）x＋m2－10

　　　　　=[x－（m＋2）]2－4m－14，

　　　　∴顶点C的坐标为（m＋2，－4m－14）．

（2）∵A、B是抛物线y=x2－（2m＋4）x＋m2－10与x轴的交点且|AB|=

，

　　　　化简整理得：

16m=－48，

　　　　∴m=－3．

　　当m=－3时，抛物线y=x2＋2x－1与x轴有交点且AB=

，符合题意．故所求抛物线的解析式为y=x2＋2x－1．

例4、如果抛物线y=－x2＋2（m－1）x＋m＋1与x轴交于A、B两点，且A点在x轴的正半轴上，B点在x轴的负半轴上，OA的长是a，OB的长是b．

（1）求m的取值范围；

（2）若a︰b=3︰1，求m的值，并写出此时抛物线的解析式．

（1）设A、B两点的坐标分别为（x1，0），（x2，0）．

∵A、B分处原点两侧，∴x1x2<

0，

即－（m＋1）<

0，得m>

－1．

又∵△=[2（m－1）]2－4×

（－1）（m＋1）

=4m2－4m＋8=4（m－

）2＋7>

∴m>

－1为m的取值范围．

（2）∵a︰b=3︰1．设a=3k，b=k（k>

0），

则x1=3k，x2=－k．

例5、已知某二次函数，当x=1时有最大值－6，且其图象经过点（2，－8）．求此二次函数的解析式．

∵二次函数当x=1时有最大值－6，

∴抛物线的顶点为（1，－6），

故设所求的二次函数解析式为y=a（x－1）2－6．

由题意将点（2，－8）的坐标代入上式得：

a（2－1）2－6=－8，

∴a=－2，

∴二次函数的解析式为y=－2（x－1）2－6，即y=－2x2＋4x－8．

例6、二次函数y=ax2＋bx＋c的图象的一部分如图所示．已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，1）．

（1）请判断实数a的取值范围，并说明理由；

（2）设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C．当△AMC的面积为△ABC面积的

倍时，求a的值．

（1）由图象可知：

图象过点（0，1），∴c=1．

图象过点（1，0），∴a＋b＋c=0，

∴b=－（a＋c）=－（a＋1）．

由题意知，当x=－1时，应有y>

∴a－b＋c>

∴a＋（a＋1）＋1>

∴a>

－1，

∴实数a的取值范围是－1<

0．

（2）此时函数为y=ax2－（a＋1）x＋1,与x轴两交点A、C之间的距离为

例7、根据下列条件，求抛物线的解析式．

（1）经过点（0，－1），（1，

），（－2，－5）；

（2）经过点（－3，2），顶点是（－2，3）；

（3）与x轴两交点（－1，0）和（2，0）且过点（3，－6）．

分析：

　　求解析式应用待定系数法，根据不同的条件，选用不同形式求二次函数的解析式，可使解题简捷．但应注意，最后的函数式均应化为一般形式y=ax2＋bx＋c．

（1）设y=ax2＋bx＋c，把（0，－1），（1，

），（－2，－5）代入得方程组

　　∴解析式为y=

＋x－1．

（2）设y=a（x＋2）2＋3，把（－3，2）代入得

　　2=a（－3＋2）2＋3，解得a=－1．

　　解析式为y＝－x2－4x－1.

（3）设y=a（x＋1）（x－2），把（3，－6）代入得

　　－6=a（3＋1）（3－2），解得

．

（x＋1）（x－2），

　　即

冲刺练习

一、填空题

1、抛物线y=－3（x－1）2向上平移k个单位，所得抛物线与x轴交于点A1（x1，0）和B（x2，0）．如果

，则k=_________．

2、二次函数y=ax2＋b（a≠0）中，若当x取x1、x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x取x1＋x2时，函数值等于_________．

3、若把一条抛物线向上平移

个单位（a>

0），再向左平移

个单位，就得到第二条抛物线y=ax2．已知第一条抛物线经过点（0，4），那么第一条抛物线的函数关系式是_________．

4、抛物线

的对称轴是_________，顶点坐标是_________．

5、二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图所示，直线x=－1是它的对称轴，则a·

b·

c_______0，a∶b＝_______．

6、当a=_________时，抛物线y=x2－ax＋a－2与x轴的两交点的距离最小，其最小距离是_________．

7、不论自变量x取什么实数，二次函数y=2x2－6x＋m的函数值总是正值，那么m的取值范围是_________．

[答案与提示]

二、选择题．

8、如果直线y=ax＋b（ab≠0）不经过第三象限，那么抛物线y=ax2＋bx的顶点是（　）

A．第一象限　　　　　　　　　　　　　B．第二象限

C．第三象限　　　　　　　　　　　　　D．第四象限

9、若二次函数y=ax2＋4x＋a－1的最小值是2，则a的值是（　）

A．4　　　　　　　　　　　　　　　　B．－1

C．3　　　　　　　　　　　　　　　　D．4或－1

10、如图，抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C．如果OB=OC=

，那么b的值为（　）

A．－2　　　　　　　　　　　　　　　B．－1

C．

　　　　　　　　　　　　　　　D．

11、已知二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图所示，且OA=OC，则下列各式：

①

；

②ac＋b＋1=0；

④a－b＋c>

0，其中正确的有（　）

A．1个　　　　　　　　　　　　　　　B．2个

C．3个　　　　　　　　　　　　　　　D．4个

12、二次函数y=－x2＋6x－7，当x取值为t≤x≤t＋2时，此函数的最大值为y最大值=－（t－3）2＋2，则t的取值范围为（　）

A．t≤0　　　　　　　　　　　　　　　B．0≤t≤3

C．t≥3　　　　　　　　　　　　　　　D．都不对

13、二次函数y=x2－4x＋3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，则△ABC的面积为（　）

A．6　　　　　　　　　　　　　　　　B．4

C．3　　　　　　　　　　　　　　　　D．1

14、若一抛物线y=ax2与四条直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则a的取值范围是（　）

A．

≤a≤1　　　　　　　　　　　　　B．

≤a≤2

≤a≤1　　　　　　　　　　　　　D．

15、已知点A（1，y1），B（

，y2），C（－2，y3）在函数y=2（x＋1）2－

的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　）

A．y1>

y2>

y3　　　　　　　　　　　　　B．y1>

y3>

y2

C．y3>

y1>

y2　　　　　　　　　　　　　D．y2>

y3

三、解答题．

16、已知抛物线y=x2－（a＋2）x＋9的顶点在坐标轴上．

（1）求a的值；

（2）当a>

0时，该抛物线与直线y=x＋9交于A、B两点，且A点在B点左侧．求点A和点B的坐标；

　　（3）P为

（2）中线段AB上的点（A、B两端除外），过点P作x轴的垂线与抛物线交于点Q，线段AB上是否存在点P，使PQ的长等于6？

若存在，请求出P点坐标？

若不存在，说明理由．

[答案]

17、已知二次函数y=a（x＋m）2＋k（a≠0）的图象经过原点，当x=1时，函数y的最小值是－1．

（1）求这个二次函数的解析式，并在平面直角坐标系中画图象草图；

（2）若这个二次函数的图象与x轴交点为A、B，顶点为C，试判断△ABC的形状．

18、点A是正比例函数y=2x和反比例函数

在第一象限的交点．

（1）求点A的坐标；

（2）如果直线

经过点A且与x轴交于点C，求b及点C的坐标；

（3）如果已知点B（8，－12），求过A、B、C三点的二次函数的解析式．

19、已知抛物线

（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴；

（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．

20、抛物线y=ax2＋bx＋c过点A（－1，4），其顶点横坐标是

，与x轴分别交于B（x1，0），C（x2，0）两点（其中x1<

x2），且

（1）求抛物线的解析式及顶点E的坐标；

（2）设此抛物线与y轴交于点D，点M是抛物线上的点．若△MBO的面积为△DOC面积的

倍，求点M的坐标．

答案：

1、

2、b

3、y=x2－5x＋4

4、x=－3；

（－3，2）

5、>

6、2；

2

7、

提示：

1、由题意知：

x1，x2是方程－3（x－1）2＋k=0的两根，

即x1，x2是方程3x2－6x＋3－k=0的两根，

2、∵ax12＋b=ax22＋b，∴a（x1＋x2）（x1－x2）=0．

∵x1≠x2，∴x1－x2≠0，∴x1＋x2=0．

　　3、设第一条抛物线为

，再把点（0，4）的坐标代入求得a．

5、对称轴

，∴b=2a．

又开口向下，∴a<

0，与y轴交点在x轴上方，

∴c>

0，∴a·

c>

　　6、设交点为（x1，0），（x2，0），则x1、x2是方程x2－ax＋a－2=0的不同两根，

∴△>

0，x1＋x2=a，x1x2=a－2，

7、抛物线开口向上且与x轴无交点，

∴2x2－6x＋m=0的△<

8、A　　9、A　　10、C　　11、D　　12、C

13、C　　14、D　　15、B

解析：

8、a<

0且b>

9、由题意知

得a1=4，a2=－1（不合题意，舍去）．

10、由已知得C（0，c），B（c，0），A（－2c，0），

∴ac2＋bc＋c=0且4ac2－2bc＋c=0，

即ac＋b＋1=0且4ac－2b＋1=0，

解得

11、开口向上，∴a>

C（0，c）在x轴下方，∴c<

OA=OC，∴A（c，0），

∴ac2＋bc＋c=0，∴ac＋b＋1=0，

对称轴

，∴b<

12、y=－x2＋6x－7=－（x－3）2＋2．

当x≥3时，y随x的增大而减小．

16、解：

（1）顶点坐标为

∵顶点在坐标轴上，∴顶点在x轴或y轴上，

解得a1=4，a2=－8，a3=－2．

（2）∵a>

0，∴由

（1）知a=4，此时抛物线为y=x2－6x＋9，

∴A（0，9），B（7，16）．

（3）存在．设点P（m，m＋9），则Q（m，m＋9－6），

即Q（m，m＋3）在该抛物线上．

m2－6m＋9=m＋3，解得m1=1，m2=6，

∴P1（1，10）或P2（6，15）．

17、解：

（1）依题意得：

m=－1，k=－1．

又图象经过（0，0）点，

∴将（0，0）代入y=a（x－1）2－1中，得a=1，

∴y=x2－2x．（图象略）

（2）抛物线y=x2－2x与x轴交点A（0，0），B（2，0），顶点C（1，－1）．

由抛物线的对称性CA=CB，又tan∠CAB=

=1知∠CAB=45°

故△ABC为等腰直角三角形，其中∠ACB=90°

18、解：

（1）解方程组

∴A（2，4）．

19、解：

（1）

∴顶点坐标为（－1，－3），对称轴为x=－1．

20、解：

（1）由已知x1、x2是方程ax2＋bx＋c=0的两根，

（2）抛物线y=－x2＋x＋6与y轴交点D（0，6），与x轴交点B（－2，0），C（3，0）．

设点M（x，y），