学年最新高中数学求函数零点近似解的一种计算方法二分法同步测试新人教B版必修1Word格式文档下载.docx

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[解析]　本题考查用二分法求函数零点的一般步骤以及零点存在性定理．由f（1.25）<

0,f（1.5）>

0得f（1.25）·

f（1.5）<

0，根据零点存在性定理，函数f（x）的一个零点x0∈（1.25,1.5），即方程x3＋3x－7＝0的根落在区间（1.25,1.5），故选B．

4．（2014～2015学年度黑龙江省哈尔滨市第三十二中学高一期中测试）若函数f（x）＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：

f

（1）＝－2

f（1.5）＝0.625

f（1.25）＝－0.984

f（1.375）＝－0.260

f（1.438）＝0.165

f（1.4065）＝－0.052

那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根（精确到0.1）为（　　）

A．1.2　　B．1.3　　

C．1.4　　D．1.5

[解析]　∵f（1.4065）<

0,f（1.438）>

∴f（1.4065）·

f（1.438）<

又1.4∈（1.4065,1.438），故选C．

5．已知函数y＝f（x）的图象是连续不断的，有如下的对应值表：

x

1

2

3

4

5

6

y

123.56

21.45

－7.82

11.45

－53.76

－128.88

则函数y＝f（x）在区间[1,6]上的零点至少有（　　）

A．2个　　B．3个　　

C．4个　　D．5个

[解析]　由表可知，f

（2）·

f（3）<

0,f（3）·

f（4）<

0，f（4）·

f（5）<

0，由函数零点存在性定理得，函数y＝f（x）在区间（2,3）、（3,4）、（4,5）各应至少存在一个零点，所以函数y＝f（x）在区间[1,6]上的零点至少有3个．故选B．

6．下列命题中正确的是（　　）

A．方程（x－2）（x－5）＝1有两个相异实根，且一个大于5，一个小于2

B．函数y＝f（x）的图象与直线x＝1的交点个数是1

C．零点存在性定理能用来判断函数零点的存在性，也能用来判断函数零点的个数

D．利用二分法所得方程的近似解是惟一的

[答案]　A

[解析]　设函数f（x）＝（x－2）（x－5）－1，有f（5）＝－1,f

（2）＝－1.又因为函数f（x）的图象是开口向上的抛物线，所以抛物线与x轴在（5，＋∞）内有一个交点，在（－∞，2）内也有一个交点，从而方程（x－2）（x－5）＝1有两个相异实根，且一个大于5，一个小于2，故A正确；

由函数的定义知，函数y＝f（x）的图象与直线x＝1的交点个数为1或0，故B错误；

零点存在性定理能用来判断函数零点的存在性，但不能用来判断函数零点的个数，故C错误；

由于精确度的不同，所得方程的近似解是不一样的，但精确度确定后，所得方程的近似解是惟一的，故D错误．

二、填空题

7．已知二次函数f（x）＝x2－x－6在区间[1,4]上的图象是一条连续的曲线，且f

（1）＝－6<

0，f（4）＝6>

0.由零点存在性定理可知函数在[1,4]内有零点．用二分法求解时，取（1,4）的中点a，则f（a）＝________.

[答案]　－2.25

[解析]　区间[1,4]的中点为2.5，f（2.5）＝2.52－2.5－6＝－2.25.

8．已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的，且有如下部分对应值表：

f（x）

136.1

15.6

－3.9

10.9

－52.5

－232.1

则f（x）的零点至少有________个．

[答案]　3

[解析]　因为f

（2）>

0，f（3）<

0，f（4）>

0，f（5）<

∴f

（2）·

0，f（3）·

故f（x）的零点至少有3个．

三、解答题

9．求方程x5－x3－3x2＋3＝0的无理根．（精确到0.01）．

[分析]　若令f（x）＝x5－x3－3x2＋3，则f（x）＝（x2－1）·

（x3－3），则方程的无理根就是x3－3＝0的根．

[解析]　令f（x）＝x5－x3－3x2＋3，则f（x）＝（x2－1）·

（x3－3）．显然方程f（x）＝0有两个有理根，即x1＝1，x2＝－1，则无理根就是方程x3－3＝0的根．

令g（x）＝x3－3，以下用二分法求函数g（x）的零点．

由于g

（1）＝－2<

0，g

（2）＝5>

0，故可以取[1,2]作为计算的初始区间，列表如下：

端点或中点横坐标

计算端点或中点的函数值

定区间

a0＝1，b0＝2

g

（1）＝－2，g

（2）＝5

[1,2]

x0＝1.5

g（x0）＝0.375

[1,1.5]

x1＝1.25

g（x1）≈－1.0469

[1.25,1.5]

x2＝1.375

g（x2）≈－0.4004

[1.375,1.5]

x3＝1.4375

g（x3）≈－0.0295

[1.4375,1.5]

x4＝1.46875

g（x4）≈0.1684

[1.4375,1.46875]

x5＝1.453125

g（x5）≈0.0684

[1.4375,1.453125]

x6＝1.4453125

g（x6）≈0.0192

[1.4375,1.4453125]

x7＝1.44140625

g（x7）≈－0.0053

[1.44140625,1.4453125]

由于区间[1.44140625,1.4453125]的长度1.4453125－1.44140625＝0.00390625<

0.01，因此可取1.44为所求函数的一个零点的近似值，因此原方程的无理根是1.44.

10．求方程x3－x－1＝0在[1,1.5]的一个实根（精确到0.1）．

[解析]　设f（x）＝x3－x－1，

∵f

（1）＝－1<

0，f（1.5）＝0.875>

∴方程在[1,1.5]内有实根，用二分法逐次计算，列表如下：

第1次

第2次

第3次

第4次

第5次

左端点

1.25

1.3125

右端点

1.5

1.375

1.34375

∵1.3125≈1.3,1.34375≈1.3，∴方程在区间[1，1.5]的零点精确到0.1的近似值是1.3.

1．在用二分法求函数f（x）的一个正实数零点时，经计算，f（0.64）<

0,f（0.72）>

0,f（0.68）<

0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为（　　）

A．0.68　　B．0.72　　

C．0.7　　D．0.6

[解析]　已知f（0.64）<

0，f（0.72）>

0，则函数f（x）的零点的初始区间为[0.64,0.72]，又0.68＝（0.64＋0.72）/2，且f（0.68）<

0，所以零点在区间[0.68,0.72]上，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7，因此0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值．

2．用二分法求函数y＝f（x）在区间（2,4）上的惟一零点的近似值时，验证f

（2）·

0，取区间（2,4）的中点x1＝

＝3，计算得f

（2）·

f（x1）<

0，则此时零点x0所在的区间是（　　）

A．（2,4）B．（2,3）

C．（3,4）D．无法确定

[解析]　∵f

（2）·

0,f

（2）·

∴f（3）·

f（4）>

0，∴x0∈（2,3）．

3．二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0，x∈R）的部分对应值如下表：

－3

－2

－1

m

－4

－6

n

不求a、b、c的值，可以判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是（　　）

A．（－3，－1）和（2,4）　B．（－3，－1）和（－1,1）

C．（－1,1）和（1,2）D．（－∞，－3）和（4，＋∞）

[解析]　∵f（－3）·

f（－1）<

故选A．

4．用二分法研究函数f（x）＝x3＋3x－1的零点时，第一次计算得f（0）<

0，f（0.5）>

0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________，则横线上应填的内容分别为（　　）

A．（0.5,1）,f（0.75）B．（0,0.5）,f（0.125）

C．（0,0.5）,f（0.25）D．（0,1）,f（0.25）

[解析]　∵f（0）<

∴f（0）·

f（0.5）<

0，又函数f（x）的图象是不间断的，

∴f（x）在（0,0.5）内必有零点，利用二分法，则第二次应计算f（

）＝f（0.25）．

由f（0.25）＝－0.234375<

可以判断x0∈（0.25，0.5）．

5．给出以下结论，其中正确结论的序号是________．

①函数图象通过零点时，函数值一定变号；

②相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；

③函数f（x）在区间[a，b]上连续，若满足f（a）·

f（b）<

0，则方程f（x）＝0在区间[a，b]上一定有实根；

④“二分法”对连续不断的函数的所有零点都有效．

[答案]　②③

[解析]　零点有变号零点与不变号零点，故①不对；

“二分法”针对的是连续不断的函数的变号零点，故④不对．据零点的性质知②③都正确．

6．设函数f（x）＝

，

若f（－4）＝2,f（－2）＝－2，则关于x的方程f（x）＝x的解的个数是________．

[解析]　由已知

得

∴f（x）＝

，作图象如图所示．

由图象可知f（x）＝x的解的个数为3.

7．已知函数f（x）＝ax3－2ax＋3a－4在区间（－1,1）上有一个零点．

（1）求实数a的取值范围；

（2）若a＝

，用二分法求方程f（x）＝0在区间（－1,1）上的根．

[解析]　

（1）若a＝0，则f（x）＝－4，与题意不符，∴a≠0.

由题意得f（－1）·

f

（1）＝8（a－1）（a－2）<

即

或

∴1<

a<

2，故实数a的取值范围为1<

2.

，则f（x）＝

x3－

x＋

∴f（－1）＝

>

0,f（0）＝

0,f

（1）＝－

<

∴函数零点在（0,1），又f（

）＝0，

∴方程f（x）＝0在区间（－1,1）上的根为

.

8．已知函数f（x）＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f（0）>

0，f

（1）>

0，证明a>

0，并利用二分法证明方程f（x）＝0在[0,1]内有两个实根．

[解析]　∵f

（1）>

0，∴3a＋2b＋c>

即3（a＋b＋c）－b－2c>

∵a＋b＋c＝0，∴－b－2c>

则－b－c>

c，即a>

c.

∵f（0）>

0，∴c>

0，则a>

0.

在[0,1]内选取二等分点

则f（

）＝

a＋b＋c＝

a＋（－a）＝－

∴f（x）在区间（0，

）和（

，1）上至少各有一个零点，

又f（x）最多有两个零点，从而f（x）＝0在[0,1]内有两个实根．