高中数学选修11疑难规律方法1第一章 常用逻辑用语Word格式.docx
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a≤-1.
(2)命题p转化为当x∈[1,2]时,(x2-a)max≥0,
即4-a≥0,即a≤4.命题q同
(1).
综上所述:
a≤-1或2≤a≤4.
[答案]
(1)a≤-1
(2)a≤-1或2≤a≤4
点评 认真比较两题就会发现,两题形似而神异,所谓失之毫厘,谬之千里,需要我们抓住这类问题的本质——量词,有的放矢.
3.挖掘等价转化思想,提高解题速度
在四种命题的关系、充要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词中,时时刻刻渗透着等价转化思想,例如互为逆否命题的两个命题(原命题与逆否命题或逆命题与否命题)一定同真或同假,它们就是等价的;
但原命题与逆命题不等价,即原命题为真,其逆命题不一定为真.
例3 设p:
,q:
x2+y2≤r2(r>
0),若q是綈p的充分不必要条件,求r的取值范围.
分析 “q是綈p的充分不必要条件”等价于“p是綈q的充分不必要条件”.设p、q对应的集合分别为A、B,则可由A⊆∁RB出发解题.
解 设p、q对应的集合分别为A、B,将本题背景放到直角坐标系中,则点集A表示平面区域,点集∁RB表示到原点距离大于r的点的集合,也即是圆x2+y2=r2外的点的集合.
∵A⊆∁RB表示区域A内的点到原点的最近距离大于r,
∴直线3x+4y-12=0上的点到原点的最近距离大于等于r,
因为原点O到直线3x+4y-12=0的距离
d=
=
,所以r的范围为0<
r≤
点评 若直接解的话,q是綈p的充分不必要条件即为圆x2+y2≤r2(r>
0)在p:
所对应的区域的外部,也是可以解决的.但以上解法将“q是綈p的充分不必要条件”等价转化为“p是綈q的充分不必要条件”,更好地体现了相应的数学思想方法.
2 辨析命题的否定与否命题
否命题与命题的否定是逻辑关系中的两个相似知识点,但又有着本质的区别,应注意弄清它们的区别和正确表述,下面从以下两个方面来看一下它们的区别.
1.否命题与命题的否定的概念
设命题“若A,则B”为原命题,那么“若綈A,则綈B”为原命题的否命题,“若A,则綈B”为原命题的否定.所以从概念上看“否命题”是对原命题的条件和结论同时否定后得到的新命题,而且否定的条件仍为条件,否定的结论仍为结论.“命题的否定”是对原命题结论的全盘否定,即“命题的否定”与原命题的条件相同,结论相反.
例1 写出下列命题的否命题及否定:
(1)若|x|+|y|=0,则x,y全为0;
(2)函数y=x+b的值随x的增加而增加.
分析 问题
(1)直接依据格式写出相应的命题;
问题
(2)先改写成“若A,则B”的形式,然后再写出相应的命题.
解
(1)原命题的条件为“|x|+|y|=0”,结论为“x,y全为0”.
写原命题的否命题需同时否定条件和结论,所以原命题的否命题为:
若|x|+|y|≠0,则x,y不全为0.
写原命题的否定只需否定结论,所以原命题的否定为:
若|x|+|y|=0,则x,y不全为0.
(2)原命题可以改写为:
若x增加,则函数y=x+b的值也随之增加.
否命题为:
若x不增加,则函数y=x+b的值也不增加;
命题的否定为:
若x增加,则函数y=x+b的值不增加.
点评 如果所给命题是“若A,则B”的形式,则可以依据否命题和命题的否定的定义,直接写出相应的命题.如果不是“若A,则B”的形式,则需要先将其改写成“若A,则B”的形式,便于写出命题的否定形式及其否命题.
2.否命题与命题的否定的真假
从命题的真假上看,原命题与其否命题的真假没有必然的关系,原命题为真,其否命题可能为真,也可能为假;
原命题为假,其否命题可能为真,也可能为假.但是原命题与其否定的真假必相反,原命题为真,则其否定为假;
原命题为假,则其否定为真.这也可以作为检验写出的命题是否正确的标准.
例2 写出下列命题的否命题与命题的否定,并判断原命题、否命题和命题的否定的真假:
(1)若x2<
4,则-2<
x<
2;
(2)若m>
0且n>
0,则m+n>
0.
分析 依据定义分别写出否命题与命题的否定.根据不等式及方程的性质逐个判断其真假.
解
(1)否命题:
“若x2≥4,则x≥2或x≤-2”.
命题的否定:
“若x2<
4,则x≥2或x≤-2”.
通过解不等式可以知道,原命题为真,否命题为真,命题的否定为假.
(2)否命题:
“若m≤0或n≤0,则m+n≤0”.
“若m>
0,则m+n≤0”.
由不等式的性质可以知道,原命题为真,否命题为假,命题的否定为假.
3 判断条件四策略
1.应用定义
如果p⇒q,那么称p是q的充分条件,同时称q是p的必要条件.判定时的关键是分清条件与结论.
例1 设集合M={x|x>
2},P={x|x<
3},那么“x∈M或x∈P”是“x∈P∩M”的________条件.
[解析] 条件p:
x∈M或x∈P;
结论q:
x∈P∩M.
若x∈M,则x不一定属于P,
即x不一定属于P∩M,所以pD/⇒q;
若x∈P∩M,则x∈M且x∈P,所以q⇒p.
综上知,“x∈M或x∈P”是“x∈P∩M”的必要不充分条件.
[答案] 必要不充分
2.利用传递性
充分、必要条件在推导的过程当中具有传递性,即:
若p⇒q,q⇒r,则p⇒r.
例2 如果A是B的必要不充分条件,B是C的充要条件,D是C的充分不必要条件,那么A是D的________条件.
[解析] 依题意,有A⇐B⇔C⇐D且AD⇒/B⇔CD⇒/D,由命题的传递性可知D⇒A,但AD⇒/D.于是A是D的必要不充分条件.
3.利用集合
运用集合思想来判断充分条件和必要条件是一种行之有效的方法.若p以非空集合A的形式出现,q以非空集合B的形式出现,则①若A⊆B,则p是q的充分条件;
②若B⊆A,则p是q的必要条件;
③若AB,则p是q的充分不必要条件;
④若BA,则p是q的必要不充分条件;
⑤若A=B,则p是q的充要条件.
例3 已知p:
x2-8x-20≤0,q:
x2-2x+1-m2≤0(m>
0),若p是q的充分不必要条件,则m的取值范围是________.
[解析] 设p、q分别对应集合P、Q,
则P={x|-2≤x≤10},Q={x|1-m≤x≤1+m},
由题意知,p⇒q,但qD⇒/p.故PQ,
所以
解得m≥9.即m的取值范围是[9,+∞).
[答案] [9,+∞)
4.等价转化
由于互为逆否命题的两个命题同真同假,所以当由p推q较困难时,可利用等价转化,先判断由非q推非p,从而得到p⇒q.
例4 已知p:
x+y≠2,q:
x,y不都是1,则p是q的________条件.
[解析] 因为p:
x≠1或y≠1,
所以綈p:
x+y=2,綈q:
x=1且y=1.
因为綈pD⇒/綈q,但綈q⇒綈p,
所以綈q是綈p的充分不必要条件,
即p是q的充分不必要条件.
[答案] 充分不必要
4 例析逻辑用语中的常见误区
误区1 所有不等式、集合运算式都不是命题
例1 判断下列语句是不是命题,若是命题,判断其真假.
(1)x+2>
0;
(2)x2+2>
(3)A∩B=A∪B;
(4)A⊆A∪B.
错解
(1)、
(2)、(3)、(4)都不是命题.
剖析
(1)中含有未知数x,且x不定,所以x+2的值也不定,故无法判断x+2>
0是否成立,不能判断其真假,故
(1)不是命题;
(2)x虽为未知数,但x2≥0,所以x2+2≥2,故可判断x2+2>
0成立,故
(2)为真命题.
(3)若A=B,则A∩B=A∪B=A=B;
若AB,则A∩B=AA∪B=B.
由于A,B的关系未知,所以不能判断其真假,故(3)不是命题.
(4)A为A∪B的子集,故A⊆A∪B成立,故(4)为真命题.
正解
(2)、(4)是命题,且都为真命题.
误区2 原命题为真,其否命题必为假
例2 判断下列命题的否命题的真假:
(1)若a=0,则ab=0;
(2)若a2>
b2,则a>
b.
错解
(1)因为原命题为真命题,故其否命题是假命题;
(2)因为原命题为假命题,故其否命题为真命题.
剖析 否命题的真假与原命题的真假没有关系,否命题的真假不能根据原命题的真假来判断,应先写出命题的否命题,再判断.
正解
(1)否命题为:
若a≠0,则ab≠0,是假命题;
(2)否命题为:
若a2≤b2,则a≤b,是假命题.
误区3 搞不清谁是谁的条件
例3 使不等式x-3>
0成立的一个充分不必要条件是( )
A.x>
3B.x>
4
C.x>
2D.x∈{1,2,3}
错解 由不等式x-3>
0成立,
得x>
3,显然x>
3⇒x>
2,
又x>
2D⇒/x>
3,因此选C.
剖析 若p的一个充分不必要条件是q,则q⇒p,pD⇒/q.本题要求使不等式x-3>
0成立的一个充分不必要条件,又x>
4⇒x-3>
0,而x-3>
0D⇒/x>
4,所以使不等式x-3>
0成立的一个充分不必要条件为x>
4.
正解 B
误区4 考虑问题不周
例4 如果a,b,c∈R,那么“b2>
4ac”是“方程ax2+bx+c=0有两个不等实根”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
错解 判别式Δ=b2-4ac>
0,即方程ax2+bx+c=0有两个不等实根;
若方程ax2+bx+c=0有两个不等实根,则判别式Δ=b2-4ac>
0,即b2>
4ac.综上可知“b2>
4ac”是“方程ax2+bx+c=0有两个不等实根”的充要条件,选C.
剖析 判别式Δ=b2-4ac只适用于一元二次方程的实数根存在情况的判断.对于方程ax2+bx+c=0,当a=0时,原方程为一次方程bx+c=0(b≠0),一次方程不存在判别式,所以当b2>
4ac时不能推出方程ax2+bx+c=0有两个不等实根;
若方程ax2+bx+c=0有两个不等实根,则它的判别式Δ=b2-4ac>
4ac.由上可知,“b2>
4ac”是“方程ax2+bx+c=0有两个不等实根”的必要不充分条件.
误区5 用“且”“或”联结命题时只联结条件或结论
例5
(1)已知p:
方程(x-11)(x-2)=0的根是x=11;
q:
方程(x-11)(x-2)=0的根是x=2,试写出“p∨q”.
(2)p:
四条边相等的四边形是正方形;
四个角相等的四边形是正方形,试写出“p∧q”.
错解
(1)p∨q:
方程(x-11)(x-2)=0的根是x=11或x=2.
(2)p∧q:
四条边相等且四个角相等的四边形是正方形.
剖析
(1)
(2)两题中p,q都是假命题,所以“p∨q”,“p∧q”也都应是假命题.而上述解答中写出的两命题却都是真命题.错误原因是:
(1)只联结了两个命题的结论;
(2)只联结了两个命题的条件.
正解
(1)p∨q:
方程(x-11)(x-2)=0的根是x=11或方程(x-11)(x-2)=0的根是x=2.
四条边相等的四边形是正方形且四个角相等的四边形是正方形.
误区6 不能正确否定结论
例6 p:
方程x2-5x+6=0有两个相等的实数根,试写出“綈p”.
错解 綈p:
方程x2-5x+6=0有两个不相等的实数根.
剖析 命题p的结论为“有两个相等的实数根”,所以“綈p”应否定“有”,而不能否定“相等”.
正解 綈p:
方程x2-5x+6=0没有两个相等的实数根.
误区7 对含有一个量词的命题否定不完全
例7 已知命题p:
存在一个实数x0,使得x
-x0-2<
0,写出綈p.
错解一 綈p:
-x0-2≥0.
错解二 綈p:
对任意的实数x,都有x2-x-2<
剖析 该命题是特称命题,其否定是全称命题,但错解一中得到的綈p仍是特称命题,显然只对结论进行了否定,而没有对存在量词进行否定;
错解二中只对存在量词进行了否定,而没有对结论进行否定.
对任意的实数x,都有x2-x-2≥0.
误区8 忽略了隐含的量词
例8 写出下列命题的否定:
(1)不相交的两条直线是平行直线;
(2)奇函数的图象关于y轴对称.
错解
(1)不相交的两条直线不是平行直线;
(2)奇函数的图象不关于y轴对称.
剖析 以上错误解答在于没有看出这两个命题都是全称命题.对于一些量词不明显或不含有量词,但其实质只是在文字叙述上省略了某些量词的命题,要特别引起注意.
正解
(1)存在不相交的两条直线不是平行直线;
(2)存在一个奇函数的图象不关于y轴对称.
5 解“逻辑”问题的三意识
1.转化意识
(1)由于互为逆否的两个命题同真假,因此,当原命题的真假不易判断或证明原命题较困难时,可以转化为逆否命题的真假来判断或证明.
例1 证明:
若a2-b2+2a-4b-3≠0,则a-b≠1.
思路分析 本题直接证明原命题是真命题,显然不太容易,可考虑转化为证明它的逆否命题是真命题.
证明 命题“若a2-b2+2a-4b-3≠0,则a-b≠1”的逆否命题是“a-b=1,则a2-b2+2a-4b-3=0”.由a-b=1得a2-b2+2a-4b-3=(a+b)(a-b)+2(a-b)-2b-3=a-b-1=0.∵原命题的逆否命题是真命题,∴原命题也是真命题.故若a2-b2+2a-4b-3≠0,则a-b≠1.
例2 已知p:
x2-8x-20>
0,q:
x2-2x+1-a2>
0,若p是q的充分不必要条件,求正实数a的取值范围.
思路分析 将充分、必要条件转化为集合之间的关系,进而转化为集合运算问题.
解 解不等式x2-8x-20>
0,
得p:
A={x|x>
10或x<
-2};
解不等式x2-2x+1-a2>
得q:
B={x|x>
1+a或x<
1-a,a>
0}.
依题意p⇒q,但qD⇒/p,说明AB.
于是有
,解得0<
a≤3.
所以正实数a的取值范围是(0,3].
2.简化意识
判断命题真假的关键:
一是识别命题的构成形式;
二是分别将各命题简化,对等价的简化命题进行判断.
例3 已知命题p:
函数y=log0.5(x2+2x+a)的值域为R,命题q:
函数y=-(5-2a)x是R上的减函数.若p或q为真命题,p且q为假命题,则实数a的取值范围是________.
思路分析 先将命题p,q等价转化,再根据题意构建关于a的关系式,从而得到a的取值范围.
[解析] 函数y=log0.5(x2+2x+a)的值域为R,即y=x2+2x+a的值域是(0,+∞),即在方程x2+2x+a=0中,Δ=4-4a≥0⇔a≤1,即p真⇔a≤1;
函数y=-(5-2a)x是减函数⇔5-2a>
1⇔a<
即q真⇔a<
2.
由p或q为真命题,p且q为假命题,知命题p,q中必有一真一假.若p真q假,则无解;
若p假q真,则1<
a<
故满足题意的实数a的取值范围是(1,2).
[答案] (1,2)
技巧点拨 若命题“p或q”“p且q”中含有参数,求解时,可以先等价转化命题p,q,直至求出这两个命题为真时参数的取值范围,再依据“p或q”“p且q”的真假情况确定参数的取值范围.
3.反例意识
在“逻辑”中,经常要对一个命题的真假(尤其是假)作出判断,若直接从正面判断一个命题是假命题不易进行,这时可以通过举出恰当的反例来说明,这是一个简单有效的办法.
例4 设A,B为两个集合,则下列四个命题中真命题的序号是________.
①A⃘B⇔对任意x∈A,都有x∉B;
②A⃘B⇔A∩B=∅;
③A⃘B⇔B⃘A;
④A⃘B⇔存在x∈A,使得x∉B.
思路分析 画出表示A⃘B的Venn图进行判断.
[解析] 画出Venn图,如图1所示,则A⃘B⇔存在x∈A,使得x∈B,故①②是假命题,④是真命题.
A⃘B⇒B⃘A不成立的反例如图2所示.同理可得B⃘A⇒A⃘B不成立.故③是假命题.
综上知,真命题的序号是④.
[答案] ④