人教版 八年级上册 第十二章轴对称全章Word格式.docx
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求证:
(1)FC=AD;
(2)AB=BC+AD.
(二)判定定理:
到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
引申——垂直平分线的判定要满足的条件:
1、直线过线段的中点
2、直线垂直于已知线段
1.如图,△ABC中,AB=AC,PB=PC,连AP并延长交BC于D,求证:
AD垂直平分BC
2.如图,AD是△ABC的角平分线,DE、DF分别是△ABD和△ACD的高,求证:
AD垂直平分EF.
考点三:
作轴对称图形
(一)作轴对称图形
1.(2012•凉山州)如图,梯形ABCD是直角梯形.
(1)直接写出点A、B、C、D的坐标;
(2)画出直角梯形ABCD关于y轴的对称图形,使它与梯形ABCD构成一个等腰梯形.
(3)将
(2)中的等腰梯形向上平移四个单位长度,画出平移后的图形.(不要求写作法)
(二)利用轴对称求最短距离
1.(2011•济宁)去冬今春,济宁市遭遇了200年不遇的大旱,某乡镇为了解决抗旱问题,要在某河道建一座水泵站,分别向河的同一侧张村A和李村B送水.经实地勘查后,工程人员设计图纸时,以河道上的大桥O为坐标原点,以河道所在的直线为x轴建立直角坐标系(如图).两村的坐标分别为A(2,3),B(12,7).
(1)若从节约经费考虑,水泵站建在距离大桥多远的地方可使所用输水管道最短?
(2)水泵站建在距离大桥多远的地方,可使它到张村、李村的距离相等?
考点四:
关于坐标轴对称
点P(x,y)关于x轴对称的点
坐标为
点P(x,y)关于y轴对称的点
引申:
关于坐标轴夹角平分线对称
点P(x,y)关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y=x对称的点的坐标是(y,x)
点P(x,y)关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y=-x对称的点的坐标是(-y,-x)
1.知点A(a,﹣3)与B(
,b)关于x轴对称,则a+b= _________ .
2.P(2,﹣3)关于直线y=1的对称点的坐标是 _________ .
3.知M(5,2)与关于直线y=x对称,则N点的坐标为 _________ .
【配套练习】
一.选择题
1.(2012•丽水)如图是一台球桌面示意图,图中小正方形的边长均相等,黑球放在如图所示的位置,经白球撞击后沿箭头方向运动,经桌边反弹最后进入球洞的序号是( )
A.
①
B.
②
C.
⑤
D.
⑥
第1题第2题第7题
2.(2006•巴中)如图,是一个经过改造的台球桌面的示意图,图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔,如果一个球按图中所示的方向被击出,该球最后落入1号袋,经过反射的次数是( )
4次
5次
6次
7次
3.(2012•沈阳)在平面直角坐标系中,点P(﹣1,2)关于x轴的对称点的坐标为( )
(﹣1,﹣2)
(1,﹣2)
(2,﹣1)
(﹣2,1)
4.(2012•深圳)已知点P(a﹣1,2a﹣3)关于x轴的对称点在第一象限,则a的取值范围是( )
a<﹣1
1<a<
﹣
<a<1
a>
5.(2007•怀化)已知点P(﹣2,3)关于y轴的对称点为Q(a,b),则a+b的值是( )
1
﹣1
5
﹣5
6.(2012•孝感)如图,△ABC在平面直角坐标系中第二象限内,顶点A的坐标是(﹣2,3),先把△ABC向右平移4个单位得到△A1B1C1,再作△A1B1C1关于x轴对称图形△A2B2C2,则顶点A2的坐标是( )
(﹣3,2)
(2,﹣3)
(3,﹣1)
7.(2011•台湾)坐标平面上有一个轴对称图形,
、
两点在此图形上且互为对称点.若此图形上有一点C(﹣2,﹣9),则C的对称点坐标为何( )
A.(﹣2,1)B.
C.
D.(8,﹣9)
二.填空题
8.如图,在一个规格为6×
12(即6×
12个小正方形)的球台上,有两个小球A,B.若击打小球A,经过球台边的反弹后,恰好击中小球B,那么小球A击出时,应瞄准球台边上的点 _________ .(P1至P4点)
第8题第9题
9.(2012•江西)如图,已知正五边形ABCDE,请用无刻度的直尺,准确地画出它的一条对称轴(保留作图痕迹). _________ .
10.如图,在2×
2的正方形格纸中,有一个以格点为顶点的△ABC,请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且以格占为顶点的三角形,这样的三角形共有 _________ 个,请在下面所给的格纸中一一画出.(所给的六个格纸未必全用).
11.(2007•钦州)动手折一折:
将一张正方形纸片按下列图示对折3次得到图④,在AC边上取点D,使AD=AB,沿虚线BD剪开,展开△ABD所在部分得到一个多边形,则这个多边形的一个内角的度数是 _________ 度.
12.小强拿了一张正方形的纸如图
(1),沿虚线对折一次得图
(2),再对折一次得图(3),然后用剪刀沿图(3)中的虚线(虚线与底边平行)剪去一个角,再打开后的形状应是 _________ .
27.如图所示,在△ABC中,DE是AC的垂直平分线,AE=3cm,△ABD的周长为13cm,则△ABC的周长为 _________ cm.
三.解答题(共3小题)
13.(2012•凉山州)在学习轴对称的时候,老师让同学们思考课本中的探究题.
如图
(1),要在燃气管道l上修建一个泵站,分别向A、B两镇供气.泵站修在管道的什么地方,可使所用的输气管线最短?
你可以在l上找几个点试一试,能发现什么规律?
聪明的小华通过独立思考,很快得出了解决这个问题的正确办法.他把管道l看成一条直线(图
(2)),问题就转化为,要在直线l上找一点P,使AP与BP的和最小.他的做法是这样的:
①作点B关于直线l的对称点B′.
②连接AB′交直线l于点P,则点P为所求.
请你参考小华的做法解决下列问题.如图在△ABC中,点D、E分别是AB、AC边的中点,BC=6,BC边上的高为4,请你在BC边上确定一点P,使△PDE得周长最小.
(1)在图中作出点P(保留作图痕迹,不写作法).
(2)请直接写出△PDE周长的最小值:
_________ .
14.如图,甲、乙两个单位分别位于一条封闭式街道的两旁,现准备合作修建一座过街天桥.问:
(1)桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短?
(注:
桥必须与街道垂直).
(2)桥建在何处才能使甲、乙到桥的距离相等?
15.如图,某市区南北走向的解放路AB,龙潭路CD与东西走向的人民路交会于B,C两点,现想建造一加油站P,使得加油站到三条公路的距离相等.请你用所学的知识确定P点的位置(用直尺、圆规作图,不写作法,保留作图痕迹).
16.附加题:
如图,在四边形ABCD中,点E是BC的中点,点F是CD的中点,且AE⊥BC,AF⊥CD.
(1)求证:
AB=AD;
(2)请你探究∠EAF,∠BAE,∠DAF之间有什么数量关系?
并证明你的结论.
17.(2011•株洲)如图,△ABC中,AB=AC,∠A=36°
,AC的垂直平分线交AB于E,D为垂足,连接EC.
(1)求∠ECD的度数;
(2)若CE=5,求BC长.
18.(2008•广安)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,E为CD中点,连接AE并延长AE交BC的延长线于点F
CF=AD;
(2)若AD=2,AB=8,当BC为多少时,点B在线段AF的垂直平分线上,为什么?
19.(2006•益阳)如图,平面上的四边形ABCD是一只“风筝”的骨架,其中AB=AD,CB=CD.
(1)九年级王云同学观察了这个“风筝”的骨架后,他认为四边形ABCD的两条对角线AC⊥BD,垂足为E,并且BE=ED,你同意王云同学的判断吗?
请充分说明理由;
(2)设对角线AC=a,BD=b,请用含a,b的式子表示四边形ABCD的面积.
20.(2003•河南)如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,AC=BC,D为BC边上的中点,CE⊥AD于点E,BF∥AC交CE的延长线于点F,求证:
AB垂直平分DF.
考点五:
等腰三角形的性质
1.有两条边相等
2.“等边对等角”
3.“三线合一”——等腰三角形底边上的中线、高、角平分线互相重合。
4.是轴对称图形(底边上的高或中线、角分线所在的直线是它的对称轴)
1.(2009•内江)如图,已知AB=AC,AD=AE.求证:
BD=CE.
2.(2007•宜宾)已知;
如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90度.F为AB延长线上一点,点E在BC上,BE=BF,连接AE、EF和CF.
AE=CF;
(2)若∠CAE=30°
,求∠EFC的度数.
3.(2006•余姚市)如图,已知D、E是等腰△ABC底边BC上两点,且BD=CE.求证:
∠ADE=∠AED.
4.(2006•广东)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,∠ABC的平分线BG,交AD于点E,EF⊥AB,垂足为F.
EF=ED.
5.(2002•徐州)已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分为9cm和15cm两部分,求这个等腰三角形的底边长和腰长.
考点六:
等腰三角形的判定
1、证两边等
2、证两角等——等角对等边
6.(2004•十堰)如图,已知△ABC中,AB=AC,D、E分别是AB和BC上的点,连接DE并延长与AC的延长线交于点F,若DE=EF,求证:
BD=CF.
7.(2002•娄底)如图所示:
点D、E在△ABC的AC边上,已知AD=CE,∠A=∠C,求证:
∠ABD=∠CBE.
8.(2012•牡丹江)如图①,△ABC中.AB=AC,P为底边BC上一点,PE⊥AB,PF⊥AC,CH⊥AB,垂足分别为E、F、H.易证PE+PF=CH.证明过程如下:
如图①,连接AP.
∵PE⊥AB,PF⊥AC,CH⊥AB,
∴S△ABP=
AB•PE,S△ACP=
AC•PF,S△ABC=
AB•CH.
又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC,
∴
AB•PE+
AC•PF=
∵AB=AC,
∴PE+PF=CH.
(1)如图②,P为BC延长线上的点时,其它条件不变,PE、PF、CH又有怎样的数量关系?
请写出你的猜想,并加以证明:
(2)填空:
若∠A=30°
,△ABC的面积为49,点P在直线BC上,且P到直线AC的距离为PF,当PF=3时,则AB边上的高CH= _________ .点P到AB边的距离PE= _________ .
9.(2008•内江)如图,在△ABC中,点E在AB上,点D在BC上,BD=BE,∠BAD=∠BCE,AD与CE相交于点F,试判断△AFC的形状,并说明理由.
10.(2006•南充)已知:
如图,OA平分∠BAC,∠1=∠2.
△ABC是等腰三角形.
11.如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点O,过点O作EF∥BC,交AB于E、交AC于F.
(1)请写出图中的一个等腰三角形,并说明理由;
(2)若AB=8,AC=6,求△AEF的周长.
12.(2008•乌鲁木齐)在一次数学课上,王老师在黑板上画出图,如图,并写下了四个等式:
①AB=DC,②BE=CE,③∠B=∠C,④∠BAE=∠CDE.要求同学从这四个等式中选出两个作为条件,推出△AED是等腰三角形.请你试着完成王老师提出的要求,并说明理由.(写出一种即可)
13.如图,△ABC中,∠ACB=90°
,CD⊥AB于D,AE平分∠CAB交CD于F,交BC于E,请判断CF与CE相等吗?
为什么?
14.(2006•莱芜)两个全等的含30°
,60°
角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置,E,A,C三点在一条直线上,连接BD,取BD的中点M,连接ME,MC.试判断△EMC的形状,并说明理由.
15.(2002•河南)如图所示,在Rt△ABC中,AB=AC,∠A=90°
,点D为BC上任一点,DF⊥AB于F,DE⊥AC于E,M为BC的中点,试判断△MEF是什么形状的三角形,并证明你的结论.
16.如图①,△ABC中,AB=AC,∠B、∠C的平分线交于O点,过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F.试回答:
(1)图中等腰三角形是 _________ .猜想:
EF与BE、CF之间的关系是 _________ .理由:
(2)如图②,若AB≠AC,图中等腰三角形是 _________ .在第
(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?
(3)如图③,若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O,过O点作OE∥BC交AB于E,交AC于F.这时图中还有等腰三角形吗?
EF与BE、CF关系又如何?
说明你的理由.
考点七:
等边三角形的性质
1.三边相等
2.三角相等,每一个角都等于60°
;
3.每条边上的中线、高、角平分线都互相重合;
4.是轴对称图形,有三条对称轴。
1.(2012•凉山州)如图,一个等边三角形纸片,剪去一个角后得到一个四边形,则图中∠α+∠β的度数是( )
180°
220°
240°
300°
第1题第2题第3题
2.(2012•深圳)如图,已知:
∠MON=30°
,点A1、A2、A3…在射线ON上,点B1、B2、B3…在射线OM上,△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形,若OA1=1,则△A6B6A7的边长为( )
6
12
32
64
3.(2005•济宁)如图,木工师傅从边长为90cm的正三角形木板上锯出一正六边形木块,那么正六边形木板的边长为( )
34cm
32cm
30cm
28cm
4.(2009•丽水)如图,图①是一块边长为1,周长记为P1的等边三角形纸板,沿图①的底边剪去一块边长为
的等边三角形纸板后得到图②,然后沿同一底边依次剪去一块更小的等边三角形纸板(即其边长为前一块被剪掉等边三角形纸板边长的
)后,得图③,④,…,记第n(n≥3)块纸板的周长为Pn,则Pn﹣Pn﹣1= _________ .
5.(2010•衡阳)已知:
如图,在等边三角形ABC的AC边上取中点D,BC的延长线上取一点E,使CE=CD.求证:
BD=DE.
6.(2008•日照)如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ.
△ACD≌△BCE;
(2)求证:
△DPC≌△EQC;
(3)求证:
△PCQ为等边三角形。
变式一:
(2008•日照)如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ.以下五个结论:
①AD=BE;
②PQ∥AE;
③AP=BQ;
④DE=DP;
⑤∠AOB=60度.恒成立的结论有 _________ .(把你认为正确的序号都填上),并证明.
变式二:
如图1,已知线段AB,点P是AB上的动点(P不与A,B重合),分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD.
△APD≌△CPB;
(2)连接AD、BC,相交于点Q,设∠AQC=α,那么α的大小是否会随点P的移动面变化?
请说明理由;
(3)如图2,若点P固定,将△PBD绕点P按顺时针方向旋转(旋转角小于180°
),此时α的大小是否发生变化?
(只需直接写出你的猜想,不必证明)
考点八:
等边三角形的判定
【判定方法】
1、证三边等;
2、证三角等;
3、证有两个角是60°
4、证有一个角是60°
的等腰三角形。
【典型例题】
1.如图,E是等边△ABC中AC边上的点,∠1=∠2,BE=CD,则△ADE的形状是( )
等腰三角形
等边三角形
不等边三角形
不能确定形状
1题2题
2.如图,D,E,F分别是等边△ABC各边上的点,且AD=BE=CF,则△DEF的形状是( )
腰和底边不相等的等腰三角形
3.下列三角形:
①有两个角等于60°
②有一个角等于60°
的等腰三角形;
③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形;
④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的有( )
①②③
①②④
①③
①②③④
4.若一个三角形的两个角的平分线分别垂直对边,则这个三角形是( )
等腰直角三角形
5.下列条件中,不能得到等边三角形的是( )
有两个内角是60°
的三角形
有两边相等且是轴对称的三角形
有一个角是60°
且是轴对称的三角形
三边都相等的三角形
6.在下列结论中:
(1)有一个外角是120°
的等腰三角形是等边三角形;
(2)有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形;
(3)有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形;
(4)三个外角都相等的三角形是等边三角形.其中正确的个数是( )
4个
3个
2个
1个
7.已知:
如下图,△ABC是等边三角形,D为AC上任一点∠ABD=∠ACE,BD=CE,求证:
△ADE是等边三角形.
8.如图,已知△ABC是等边三角形,D为边AC的中点,AE⊥EC,BD=EC。
(1)说明△BCD与△CAE全等的理由;
(2)请判断△ADE的形状,并说明理由.
9.如图1,点B是线段AD上一点,△ABC和△BDE分别是等边三角形,连接AE和CD.
AE=CD;
(2)如图2,点P、Q分别是AE、CD的中点,试判断△PBQ的形状,并证明.
考点九:
含有30°
角的直角三角形的性质
性质:
30°
所对的直角边等于斜边的一半。
1.(2007•天津)如图,△ABC中,∠C=90°
,∠ABC=60°
,BD平分∠ABC,若AD=6,则CD= .
2.如图,在△ABC中,已知AB=AC=2a,∠ABC=15°
,CD是腰AB上的高,求CD的长.
3.(2004•呼和浩特)如图,在△ABC中,BA=BC,∠B=120°
,AB的垂直平分线MN交AC于D,求证:
AD=
DC.
4.如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°
,AD⊥AC交BC于点D,
BC=3AD.
5.已知:
直角三角形的一个锐角等于另一个锐角的2倍,这个角的平分线把对边分成两条线段,求证:
其中一条是另一条的2倍.
6.如图,上午8时,一艘轮船向正北方向行驶,每小时航行15海里,11轮船到达B处,从A处7点P在西偏北75°
处,从B处测得点P在北偏西30°
处,求从B处到小岛P的距离.B处望小岛,
变式练习:
如图,某轮船沿正北方向航行,在点A处测得灯塔C在北偏西30°
处.轮船以每小时20海里的速度航行,2小时到达点B后,测得灯塔C在轮船北偏西75°
处.当该轮船继续
航行到达灯塔C的正东方向时,求此时轮船与灯塔C之间的距离.(结果精确到0.1海里,参考数据:
7.如图所示,在等边⊿ABC中,D、E分别是BC,AB上一点且BD=AE,CN⊥AD于NCE交AD于M,试判断MN与CM的数量关系,并证明你的结论。
考点十:
轴对称的综合应用
一.选择题(共7小题)
1.(2012•丽水)如图是一台球桌面示意图,图中小正方形的边长均相等,黑球放在如图所示的位置,经白球撞击后沿箭头方向运动,经桌边反弹最后进入