最全高数基本初等函数概念图像及性质完整版Word文档格式.docx

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该抛物线与

x轴有两个不同的交点；

（2）过点P（0，n）作

y轴的垂线交该抛物线于点

A和点B（点A在点P的左边），是否存在

实数m，n，使得AP

2PB？

若存在，则求出

m，n满足的条件；

若不存在，请说明理由．

答案：

解：

（1）证法1：

2

9m2，

yx2

mx2m2

x

m

4

当m

0时，抛物线顶点的纵坐标为

9m2

0，

顶点总在x轴的下方．

而该抛物线的开口向上，

该抛物线与x轴有两个不同的交点．

（或者，当m0时，抛物线与y轴的交点（0，2m2）在x轴下方，而该抛物线的开口向上，

该抛物线与x轴有两个不同的交点．）

证法2

：

m2

41（2m2）9m2，

时，9m2

（2）存在实数m，n，使得AP

2PB．

设点B的坐标为（t，n），由AP

2PB知，

y

①当点B在点P的右边时，t

，点A的坐标为（

2t，n），

A

PB

且t，2t

是关于x的方程x2

mx

2m2

n的两个实数根．

O

4（2m2

n）9m2

4n0，即n

9m2．

且t（2t）

m（I），t

（2）t

（II）

mn

由（I）得，tm，即m0

将tm代入（II）得，n

0．

且n

0时，有AP

②当点B在点P的左边时，t

，点A的坐标为（2t，n），

且t，2t是关于x

的方程x

2m

ABP

且t2t

m（I），t2t

n（II）

由（I）得，t

3

，即m

将t

m代入（II）得，n

20m2

且满足n

20

9

0且n

m2时，有AP

2PB

第11题一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，滑下的距离

S（米）与时间

t（秒）间的关系式为

S10tt2，若滑到坡底的时间为

2秒，则此人下滑的

高度为（

）

Ａ．24米

Ｂ．12米

Ｃ．12

3米

Ｄ．6米

Ｂ

第12题我市英山县某茶厂种植“春蕊牌”绿茶，由历年来市场销售行情知道，从每年的

月25

日起的180天内，绿茶市场销售单价

y（元）与上市时间

t（天）的关系可以近似地用

如图

（1）中的一条折线表示．绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外，其种植的成本单价

z（元）与上市时间

t（天）的关系可以近似地用如图（

2）的抛物线表示．

y（天）

z（元）

160

60

140

（180，92）

50

120

40

100

85

80

10

204060

80100120150180

t（天）

6080

110

160180

t（天）

（1）直接写出图（

1）中表示的市场销售单价

t（天）（t

）的函数关

图

（1）

图

（2）

系式；

（2）求出图

（2）中表示的种植成本单价z（元）与上市时间

t（天）（t0）的函数关系式；

（3）认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价最

大？

（说明：

市场销售单价和种植成本单价的单位：

元／

500克．）

（1）依题意，可建立的函数关系式为：

t

160（0

120）

y80（120

≤

150）

20（150

180）

5

（2）由题目已知条件可设

z

a（t110）2

20．

图象过点（60，），

a（60110）2

20．a

1

300

zz1（t110）220（t0）．300

（3）设纯收益单价为

W元，则W=销售单价

成本单价．

110）

20（0

（t

故

W80

（120

≤．

（t110）

化简得

（0

（t10）

t120）

W1（t110）260（120≤t150），300

56（150

170）

①当W

10）2

100（0t

120）时，有t10时，W最大，最大值为100；

②当W

60（120≤t

150）时，由图象知，有t120时，W最大，最大

值为59

2；

③当W

56（150≤t≤180）时，有t170时，W最大，最大值为56．

综上所述，在t10时，纯收益单价有最大值，最大值为100元．

第13题如图，足球场上守门员在

O处开出一高球，球从离地面

1米的

A处飞出（

A在

y轴

上），运动员乙在距

O点

6米的

B处发现球在自己头的正上方达到最高点

M

，距地面约

4米

高，球落地后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．

（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．

（2）足球第一次落地点C距守门员多少米？

（取

437）

（3）运动员乙要抢到第二个落点

D，他应再向前跑多少米？

265）

1A

B

C

Dx

（1）（3分）如图，设第一次落地时，

抛物线的表达式为

a（x

6）2

4．

由已知：

当x0时y

1．

即136a4，a

1．

12

E

F

N

表达式为y

（x6）

（或y

1）

（2）（3分）令y

0，

（x

6）2

0．

（x

48．x

6≈13，x

436

0（舍去）．

足球第一次落地距守门员约

13米．

（3）（4分）解法一：

如图，第二次足球弹出后的距离为

CD

根据题意：

CD

EF（即相当于将抛物线

AEMFC向下平移了

2个单位）

1（x6）2

4解得x

626，x

626．

x1

6≈10．

BD

13

610

17（米）．

解法二：

令

40．

解得x1643（舍），x2

64

3≈13．

点C坐标为（13，0）．

设抛物线CND为y

1（x

k）2

2．

将C点坐标代入得：

1（13

20．

解得：

k11326

13（舍去），

k264326≈67518．

y1（x18）22

令y

0，0

1（x18）2

182

6（舍去），x2

1826≈23．

BD23617（米）．

解法三：

由解法二知，k18，

所以CD

2（18

13）

10，

所以BD

（13

6）10

17．

答：

他应再向前跑17米．

第14题荆州市“建设社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚

种植蔬菜．通过调查得知：

平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费

2.7

万元；

购置滴灌

设备，这项费用（万元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为

0.9

另外每公顷种

植蔬菜需种子、化肥、农药等开支

0.3万元．每公顷蔬菜年均可卖

7.5万元．

y（万元），

（1）基地的菜农共修建大棚

x（公顷），当年收益（扣除修建和种植成本后）为

写出y关于x的函数关系式．

（2）若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得5万元收益，工作组应建议他修建多少公项大棚．（用分数表示即可）

（3）除种子、化肥、农药投资只能当年受益外，其它设施3年内不需增加投资仍可继续使用．如果按3年计算，是否修建大棚面积越大收益越大？

修建面积为多少时可以得到最大收益？

请帮

工作组为基地修建大棚提一项合理化建议．

（1）y

7.5x

2.7x0.9x2

0.3x

0.9x2

4.5x．

（2）当0.9x2

4.5x

5时，即9x2

45x

500，x1

，x2

从投入、占地与当年收益三方面权衡，应建议修建

5公顷大棚．

（3）设3

Z（万元）

年内每年的平均收益为

Z7.5x

0.9x0.3x2

0.3x2

6.3x

0.3x10.533.075（10分）

不是面积越大收益越大．当大棚面积为

10.5公顷时可以得到最大收益．

建议：

①在大棚面积不超过

10.5公顷时，可以扩大修建面积，这样会增加收益．

②大棚面积超过

10.5

公顷时，扩大面积会使收益下降．修建面积不宜盲目扩大．

③当0.3x2

0时，x1

0，x221．大棚面积超过21公顷时，不但不能收益，反

而会亏本．（说其中一条即可）

第15题一家用电器开发公司研制出一种新型电子产品，

每件的生产成本为

18元，按定价40

元出售，每月可销售20万件．为了增加销量，公司决定采取降价的办法，经市场调研，每降价1元，月销售量可增加2万件．

（1）求出月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式（不必写x的取值范围）；

（2）求出月销售利润z（万元）（利润＝售价－成本价）与销售单价x（元）之间的函数关系式（不必写x的取值范围）；

（3）请你通过

（2）中的函数关系式及其大致图象帮助公司确定产品的销售单价范围，使月销售利润不低于480万元．

略．

第16题一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m，宽为2m，隧道最高点

P位于AB的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系

（1）求抛物线的解析式；

（2）一辆货车高4m，宽2m，能否从该隧道内通过，为什么？

（3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？

P

AB

OCx

（1）由题意可知抛物线经过点

0，2，P4，6，B8，2

设抛物线的方程为

ax2

bx

c

将A，P，D三点的坐标代入抛物线方程．

解得抛物线方程为

2x2

（2）令y

4，则有

1x2

2x

解得x1

422，x2

422

x2x1

42

货车可以通过．

（3）由

（2）可知1

第17题如图，在矩形

ABCD中，AB2AD，线段EF

10．在EF上取一点M，分别以

EM，MF为一边作矩形

EMNH、矩形MFGN，使矩形MFGN∽矩形ABCD．令MN

x，当

x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值？

最大

D

值是多少？

H

G

EMF

矩形MFGN∽矩形ABCD，

MN

MF．

AD

AB

2AD，MN

x，

MF

2x．

EM

EF

102x．

S

x（10

2x）

2x2

10x

25

2x

当x

5时，S有最大值为25．

第18题某企业信息部进行市场调研发现：

信息一：

如果单独投资A种产品，则所获利润yA（万元）与投资金额x（万元）之间存在正

比例函数关系：

yAkx，并且当投资5万元时，可获利润2万元．

信息二：

如果单独投资B种产品，则所获利润yB（万元）与投资金额x（万元）之间存在二

次函数关系：

yBax2bx，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；

当投资4万元时，

可获利润3.2万元．

（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；

（2）如果企业同时对A，B两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？

（1）当x

5时，

y1

0.4，

22

5k

k

yA

0.4x，当x

2时，yB

2.4；

4时，yB3.2．

2.4

4a

2b

3.2

16a

4b

a

0.2

解得

1.6

b

yB

0.2x2

1.6x．

（2）设投资B种商品x万元，则投资

A种商品

（10

x）万元，获得利润W万元，根据题意可

得