《机械制图》模块二正投影法基础Word下载.docx

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如图2-2a所示。

2、正投影法

在平行投影法中，相互平行的投射线与投影面垂直时，称为正投影法。

按正投影法得到的投影称为正投影。

如图2-2b所示。

由于用正投影法得到的投影能够表达物体的真实形状和大小，具有较好的度量性，绘制也较简便，故而在工程上得到了普遍采用。

三、平行投影的基本性质

平行投影具有如下的基本性质：

1、同素性点的投影仍是点,直线的投影一般仍然是直线,这一性质称为同素性。

如图2-3所示。

2、从属性若点在直线上,则该点的投影一定在该直线的投影上。

如图2-4所示。

图2-3同素性图2-4从属性

3、平行性若空间两直线平行,则投影一般仍平行。

如图25所示,AB//CD则投影ab//cd。

4、定比性直线上一点若把线段分成两断,则两断长度之比等于其投影长度之比。

如图26所示。

AC/CB=ac/cb。

图2--5平行性图2--6定比性

任务二三视图的形成及投影规律

物体都有长、宽、高三个方向的大小。

我们先来看看如图2-7所示,不同的物体在同一个投影面上的投影，从图中可以看出，虽然物体的形状不同，但是其投影是一样的,于是一个投影不能确定物体的形状。

因此我们要认识它，就应该从上、下、左、右、前、后各个方面去观察它，才能对其有一个完整的了解。

一般情况下，为了确切地表达物体的形状，可以从物体的前、上、左三个方向分别向三个投影面进行投射。

图2—7不同物体在同一投影面上的投影相同

一、三投影面体系及三视图的形成

1.三投影面体系

1）三投影面体系的建立

为了准确地表达物体的形状和大小，我们采用物体在三个互相垂直的投影面上的投影来反映物体的形状和大小。

如图2-8所示。

图2—8三投影面体系

2）三投影面的名称及代号

当物体用正投影法分别向三个投影面投射时，三投影面的位置、名称及代号如下：

正对观察者的投影面称为正立投影面（简称正面投影），代号用“V”表示（V面投影）。

右边侧立的投影面称为侧立投影面（简称侧面投影），代号用“W”表示（W面投影）。

水平位置的投影面称为水平投影面（简称水平面投影），代号用“H”表示（H面投影）。

3）三投影轴的名称及代号

由于三投影面彼此垂直相交,故形成三根投影轴,他们分别为：

V面与H面的交线称为OX轴；

H面与W面的交线称为OY轴；

V面与W面的交线称为OZ轴；

三投影轴的交于一点O,称为原点。

2.三视图的形成

用正投影法绘制出物体的图形称为视图。

如图2-9所示，首先将物体由前向后向V面投射，在V面上得到一个视图，称为主视图；

然后再把物体由上向下向H面投射，在H面得到第二个视图，称为俯视图；

最后将物体由左向右向W面投射，在W面得到第三个视图，称为左视图，于是物体的三个视图从三个不同的方向反映了垫块的形状。

（a）（b）

图2—9三视图的形成

为了将物体的三个视图画在一张图纸上，须将三个投影面展开到一个平面上。

如图2-9b所示，展开方法:

规定正面不动，将水平面和侧面沿OY轴分开，并将水平面绕OX轴向下旋转90°

（随水平面旋转的OY轴用OYH表示）；

将侧面绕OZ轴向右旋转90°

（随侧面旋转的OY轴用OYW表示）,使他们和正面处于同一个平面上。

旋转后，俯视图在主视图的下方，左视图在主视图的右方（图2-10a）。

画三视图时不必画出投影面的边框，所以取掉边框，得到图2-10b所示的三视图。

图2—10三视图的展开

二、三视图的关系及投影规律

从上述三视图的形成过程中,可以归纳总结出三视图之间的以下关系：

1、投影关系

任何一个物体都有长、宽、高三个方向的尺寸。

通常规定：

物体左右之间的距离为长，前后之间的距离为宽，上下之间的距离为高。

从图2-11a可以看出，一个视图只能反映物体两个方向的大小。

●主视图反映物体的长度和高度。

●俯视图反映物体的长度和宽度。

●左视图反映物体的高度和宽度。

可以看出三个视图反映的是同一个物体，其长、宽、高是一致的，所以每两个视图之间必有一个相同的度量，即

●主、俯视图反映了物体的同样长度（等长）——长对正。

●主、左视图反映了物体的同样高度（等高）——高平齐。

●俯、左视图反映了物体的同样宽度（等宽）——宽相等。

（a）图与物的关系（b）视图与视图的关系

图2—11三视图的投影关系和方位关系

“长对正、高平齐、宽相等”的投影对应关系是三视图的重要特征。

对于任何一个物体，无论是整体，还是局部，这个投影对应关系都保持不变。

“长对正、高平齐、宽相等”的“三等”关系，反映出三个视图之间的重要规律，即三视图的投影规律，它是我们识图、绘图和检查图样的依据。

2、方位关系

我们来看看三视图反映物体的上、下、左、右、前、后六个方位的位置关系。

从图2-11a中，我们可以得出：

●主视图反映了物体的上、下、左、右方位。

●俯视图反映了物体的前、后、左、右方位。

●左视图反映了物体的上、下、前、后方位。

任务三点的投影

点、线、面是构成物体形状的基本几何元素,要完整、准确地绘制物体的三视图。

研究物体的投影问题应从点开始,所以我们必须学习和熟练掌握它们的投影特性和规律，才能够透彻理解机械图样所表达的内容。

一、点的投影特性

1、点的投影永远是点。

2、点的单面投影的不确定性（如图2-12）

图2-12点的单面投影的不确定性

二、点的投影标记

由于点的单面投影的不确定性,所以研究点的投影规律应将它放置在三面投影体系中,如图2-13（a）所示，将空间点A置于三投影面体系中，自A点分别向三个投影面作垂线（即投射线），交得的三个垂足a、a'

、a'

'

即分别为A点的H面投影、V面投影和W面投影。

（a）（b）（c）

图2—13点的三面投影

为了准确地区分空间点和投影点，按统一规定，空间点用大写字母A、B、C……标记；

空间点在H面上的投影用相应的小写字母a、b、c……标记；

在V面上的投影用小写字母a'

、b'

、c'

……标记；

在W面上的投影用a'

……标记。

将图2-13a按投影法展开如图2-13b，并去掉投影面的边框线，便得到如图2-13c所示点的三面投影图。

为了便于进行投影分析，用细实线将相邻两点的投影连起来，如图2-13c所示。

aa'

和a'

a'

之间的连线称为投影连线，视图的右下角所示的两种辅助线是为了实现a'

联系。

三、点的投影规律及坐标

1.点的投影规律

从图2-14a中可见,由投射线Aa和Aa'

组成的平面AaaXa'

既垂直于H面,又垂直于V面,则该平面也垂直于OX轴。

所以aaX┴OX,a'

aX┴OX。

因此,在H面旋转以后得到的投影图上有aa'

┴OX。

同理可得a'

⊥OZ.。

通过以上对点的投影规律分析，得规律如下:

点的正面投影与水平投影的连线一定垂直于ox轴,即aa'

点的正面投影与侧面投影的连线一定垂直于oz轴。

即a'

点的水平投影到ox轴的距离等于点的侧面投影到oz轴的距离。

即aaX=a'

az。

2.点的坐标

点的空间位置可用其直角坐标值确定。

如图2-14a所示，如果把三投影面体系看作是直角坐标系，则投影面H、V、W面和投影轴X、Y、Z轴可分别看作是坐标面和坐标轴，三轴的交点O可看作是坐标原点。

点到三个投影面的距离可以用直角坐标系的三个坐标x、y、z表示。

点的坐标值的意义如下：

A点到W面的距离：

Aa'

=aaY=a'

aZ=oaX，以坐标x标记。

（横标）

A点到V面的距离：

=aaX=a'

aZ=oaY，以坐标y标记。

（纵标）

A点到H面的距离：

Aa=a'

aX=a'

aY=oaZ，以坐标z标记。

（高标）

（a）（b）（c）

图2-14点的投影与坐标

直角坐标值的书写形式，通常采用A（x，y，z）；

A（22，17，30）；

A（xA，yA，zA）；

B（xB，yB，zB）等。

如A（22，17，30）。

即表示A点x坐标（oaX）为20mm；

y坐标（oaY）为15mm；

z坐标（oaZ）为30mm。

通常把x坐标称为横标，y坐标称为纵标，z坐标称为高标。

四、运用举例

例2-1如图2-15a所示，已知A点的V面投影a'

和W面的投影a'

求其H面投影a。

分析根据点的投影规律，要做点的第三面投影,a'

a一定垂直于OX轴,过a'

作OX轴的垂线a'

ax，所求a点一定在a'

ax的延长线上。

再由aax=a'

az,确定a点在a'

ax延长线上的位置。

（a）（b）

图2-15求点的H面投影

作图步骤如图2-15a、b所示。

（1）过a'

作a'

ax⊥OX,并延长。

（2）量取aax=a'

az,，得a点。

例2-2已知点A的坐标x=20,y=10,z=15，即A为（20，10，15），求点A的三面投影a、a′和a″。

分析从点A的三个坐标值可知，点A到W面的距离为20，到V面的距离为10，到H面的距离为15。

根据点的投影规律和点的三面投影与三个坐标的关系，即可求得点A的三面投影。

作图方法见图2-16所示。

作图：

（a）在OX轴上取（b）过ax作OX轴的垂直线，（c）根据a和a′求出a″。

Oax=20mm。

使aax=10mm．、a′ax=15mm，得a和a′。

图2-16求点的三面投影

四、点在三投影面体系中的投影特性

根据点在投影体系中的位置，我们可以将空间点分为四大类：

空间点位于原点、一般位置、某一投影面和某一投影轴上。

各种位置点的投影特征如表2-1

表2-1各种位置点的投影特征

通过以上表分析，我们得出点的三个坐标完全确定了点在三个投影面体系中的空间位

置，因而也就完全确定了点的三面投影，同时也得出点的任一面的投影，都由该点的两个坐标值确定。

即水平面投影由x、y两坐标确定，用坐标表示则为a（x、y）；

正面投影由x、z确定，坐标为a'

（x、z）；

侧面投影由y、z确定，坐标为a'

（y、z）。

五、两点的相对位置和重影点

1.两点的相对位置

根据两点相对于投影面的距离,即可确定的相对位置。

两点的相对位置是以一点为基准，判别其他点相对于这一点的左右，、高低、前后位置关系。

图2—17两点的相对位置

在三投影面体系中，两点的相对位置是由两点的坐标值决定的。

如图2-17所示，已知空间两点A（xA、yA、zA）和B（xB、yB、zB）。

A、B两点的左右位置，由x坐标差（xA－xB）决定，由于xA＞xB，因此A点在左、B点在右；

A、B两点的前后位置，由y坐标差（yB－yA）决定，由于yB＞yA，因此B点在前，A点在后；

A、B两点的上下位置，由z坐标差（zB－zA）决定，由于zB＞zA，因此B点在上，A点在下。

概括的说，就是B点在A点的右、前、上方。

2.重影点

当空间两点位于对某投影面的同一条投射线上时,这两点在该面上的投影重合,就称这两点为对该投影面的重影点。

如图2-18所示。

图2-18重影点

重影点分可见点和不可见点。

对于不可见点的投影,在标记时,可加括号括起来,如（b）（a//）。

六、运用举例

例2-3作出图2-19a所示形体的三视图，标记指定点的投影，并判断A、B两点的相对位置。

分析：

先按投影作图方法画出三视图,然后在视图上完成点的投影标记及相对位置。

图2-19形体上点的投影分析

作图步骤：

（1）画出形体的三视图，如图2-19b所示。

（2）按图2-19a中指定点的位置，在视图中确定其投影，并按规定标记。

其中B、C两点的x、z坐标值均相等，只有y坐标值不同，因yc>

yb，所以c'

可见，b’不可见，用（b’）表示。

（3）比较AB两点的坐标可判断其相等位置。

即

Xa<

Xb，A点在右，B点在左。

Ya>

Yb，A点在前，B点在后。

Za>

Zb，A点在上，B点在下。

试一试请判断A与C和B与C的相对位置。

任务四直线的投影

一般情况下，直线的投影仍为直线。

直线的投影应包括无限长直线的投影和直线线段的投影。

本书提用直线线段的投影来讨论直线的投影特性。

一、直线的三面投影

根据“两点决定一直线”的几何定理，在绘制直线段的投影图时，只要作出直线段两端点的投影，再将两端点的同面投影连接起来，即得到直线段的三面投影。

如图2-20a、b所示，直线上两端点A、B的投影分别为a、a'

及b、b'

将水平面投影a、b相连，便得到直线AB的水平面投影ab；

同样可以得到直线的正面投影a'

b'

和直线的侧面投影a'

（图2-20c）。

（a）（b）（c）

图2—20直线的三面投影

二、直线的投影特性

直线相对投影面的位置，有以下三种情况：

1、直线平行于投影面

如图2-21所示，直线段AB在该投影面上的投影ab长度一定等于AB的实长，这种性质叫做真实性。

2、直线垂直于投影面

如图2-21所示，直线段CD在该投影面上的投影cd一定积聚为一点，这种性质叫做积聚性。

3、直线倾斜于投影面

如图2-21所示，直线段EF在该投影面上的投影ef长度一定比EF长度要短，这种性质叫作收缩性

图2—21直线的投影特性

根据上述三种情况，将直线的投影特性简单归纳为：

直线倾斜投影面，投影变短线。

直线平行投影面，投影实长现。

直线垂直投影面，投影聚一点。

三、直线在三投影面体系中的投影分析

在三投影面体系中，空间直线相对于投影面的位置可分为以下三种：

一般位置的直线：

与三个投影面都倾斜的直线。

投影面平行线：

平行于某一个投影面，倾斜于另外两个投影面直线。

投影面垂直线：

垂直于某一个投影面，平行于另外两个投影面的直线。

1、一般位置直线

如图2-22所示，直线与三个投影面均倾斜，其投影特性如下：

（1）三面投影均不反映直线的实长，即投影长度均小于实长。

（2）三面投影均与投影轴倾斜，即三个投影均是斜线。

如图2-22（b）。

简单归纳，即三面投影体现出“三斜三短”。

图2—22一般位置直线

2、投影面平行线

由于投影面平行线只平行于某一个投影面，而倾斜于其他两个投影面，所以在三投影面体系中，根据直线所平行的投影面不同，可分为以下三种位置：

正平线、水平线、侧平线。

分别平行于V面、H面、W面。

投影面平行线的投影及投影特性见表2-2。

表2-2投影面平行线的投影特性

投影面平行线的投影特性：

在所平行的投影面上的投影为一段反映实长的斜线。

在其它两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴，小于实长。

简单归纳，即投影面平行线的三个投影体现出“两平一斜线”。

3、投影面垂直线

这类直线平行于两个投影面。

根据其所垂直的投影面不同，投影面垂直线在三投影面体系中，也分为以下三种位置：

正垂线、铅垂线、侧垂线。

它们分别平行于V面、H面和W面。

投影面垂直线的投影及投影特性见表2-3。

表2-3投影面垂直线的投影特性

投影面垂直线的投影特性：

在所垂直的投影面上的投影积聚为一点；

在其他两个投影面上的投影，分别垂直于相应的投影轴，且反映实长。

简单归纳，即投影面垂直线的三个投影体现出“两垂一点”。

四、直线上的点投影

从图2-23可以看出，直线AB上的任一点C有以下投影特性：

1、从属性点在直线上，点的各面投影比在该直线的同面投影上。

2、定比性直线上的点分割线段之比，等于该点的投影分割线段的同面投影之上。

图2-23直线上的点投影

如图2-23所示，点C在直线AB上，把线段AB分成AC和CB两段，设这两段的长度之比为m：

n，由于经各点向同一投影面所引射线是互相平行的，所以AC：

CB=a’’c’’：

c’’b’’=ac：

cb=m：

n。

五、运用举例

例2-4试在直线AB上取一点C，使AC：

CB=1：

2，求分点C的投影（图2-24）。

分析分点C的投影必在直线AB的同面投影上，根据定比性，AC：

CB=a’c’：

c’b’=1：

2，可用比例作图法作图。

图2-24求分点c、c’

作图步骤：

1、在H面投影abc，自a（或b）任作一射线，以任意长度为单位长度，从a顺次量取3个单位长，得1、2、3。

2、连3与b，再作1c∥3b，与ab交于c。

3、由c引OX的垂线，与a’b’交于c’，则c、c’即为所求分点C的投影。

例2-5已知直线CD及点M的两面投影，试判断点M是否在直线CD上。

如图2-25所示。

分析由于直线CD处于特殊位置（CD为侧平线），因此要通过作图才能判断。

作图方法有两种。

图2-25判断点是否在线上

方法一

先画出直线CD和点M的第三面投影c’’d’’和m’’，再观察m’’是否在c’d’上。

如图2-25b所示，点M第不在CD上。

方法二

1、在H面投影面上，过c（或b）任作一射线CD1。

使得cD1=c’d’截取cM1=c’m’。

2、连dD1，过M1作M1m1∥D1d，与cd交于m1。

由于与已知的m1不重合，所以点M不在CD上。

任务五平面的投影

一、平面的表示法

平面的空间位置可用下列几种方法确定（如图2-26）：

（1）不在同一直线的三点决定一个平面（如图2-26a）；

（2）一直线和直线外的一点决定一个平面（如图2-26b）；

（3）两相交直线决定一个平面（如图2-26c）；

（4）两平行直线决定一个平面（如图2-26d）；

（5）任意平面图形决定一个平面（如图2-26e）。

图2-26平面的表示法

这几种确定平面的方法是可以互相转化的，在投影图上，则用这些几何元素的投影来表示平面。

二、平面的三面投影

平面的投影是由其轮廓线投影所组成的图形。

因此，将平面进行投影时，可利用平面的几何形状特点与其对投影面的相对位置，找出能够决定平面的形状，大小和位置的一系列点来；

然后，将这些点的三面投影中同面投影的点顺次连接，即得到平面的三面投影。

（如图2-27）。

图2—27多边形平面的三面投影

由上可见，作平面图形的投影，实质上求作点的投影。

三、平面的正投影特性

平面相对于投影面的位置，有以下三种情况的投影特性：

1、平面平行于投影面

如图2-28a所示，平面A的投影与原平面的形状、大小相同，这种性质叫做真实性。

2、平面倾斜于投影面

如图2-28b所示,平面B的投影与原形相类似,且比原形面积小,这种性质叫做类似性。

3、平面垂直于投影面

如图2-28c所示，平面C的投影积聚成一条直线，这种性质叫做积聚性。

图2—28平面的投影特性

四、各种位置平面的投影分析

空间平面在三投影体系中，相对于投影面的位置的不同，可分为以下三种：

一般位置的平面对三个投影面都倾斜的平面。

投影面平行面平行于某一个投影面的平面。

投影面垂直面只垂直于某一个投影面而同时倾斜于另外两个投影面的平面。

1、一般位置平面

如图2-29所示△ABC为一般位置平面，对三个投影面均倾斜，其投影特性是：

三面投影△abc、△a'

c'

、△a"

b"

c"

都是小于实形的类似形。

可归纳为“三面三小”。

图2—29一般位置平面的投影

2、投影面平行面

平行于一个投影面,垂直于另两个投影面平行面叫投影面平行面，可分为三种：

正平面、水平面、侧平面。

它们分别平行于V面、H面、W面。

其投影面平行面的投影特性详见表2-4。

表2-4影面平行面的投影特性

投影面平行面的投影特性：

在所平行的投影面上的投影反映实形。

在其它的投影面上的投影分别积聚成直线，且平行于相应的投影轴，可归纳为“两线一面”。

表2-5投影面垂直面的投影特性

3、投影面垂直面

仅垂直于一个投影面，而倾斜于其它两个投影面，叫做投影面垂直面。

投影面垂直面可分为三种位置：

正垂面、铅垂面和侧垂面。

它们分别垂直于V面、H面和W面。

投影面垂直面的投影特性详见表2-5。

投影面垂直面的投影特性：

在所垂直的投影面上的投影积聚为一段斜线。

在其它两投影面上的投影均为缩小的类似形。

可归纳为“两面一线”。

五、平面内的点和直线

点在平面内的几何条件是：

如果点在平面内的某一条直线上，则此点必在该平面内。

直线在平面内的几何条件是：

通过平面内的两点；

过平面内的一点，且平行于平面内的一直线。

如图2—30所示D在三棱锥线SB上，故D在棱面△SBC和△SAB内；

DC经过△SBC的两点C、D，故直线CD在棱面△SBC内；

点E在DC上，故点E也在△SBC内；

直线DF过D且平行于BC，故DF在棱面△SBC。