上海高考数学理科试题及答案Word格式.docx

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x2

是奇函数，且

f

（1）1.若g（x）f（x）

2，则g（

1）

10.如图，在极坐标系中，过点

M（2,0）的直线l与极轴的夹

l

角

6

.若将l的极坐标方程写成

f（

）的形式，则

O

M

）

11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛

.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两

人选择的项目完好相同的概率是

（结果用最简分数表示

）.

12.在平行四边形ABCD中，∠A=3

边AB、AD的长分别为

2、1.若M、N分别是边BC、

CD上的点，且满足

|BM|

|CN|，则AM

AN的取值范围是

|BC|

|CD|

13.已知函数y

f（x）的图像是折线段ABC，若中A（0,0），B（21

5），C（1,0）.函数

y

xf（x）（0x

1）的图像与x轴围成的图形的面积为

'

14.如图，AD与BC是周围体ABCD中互相垂直的棱，BC=2.若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则周围体ABCD的体积的

最大值是

二、选择题（本大题共有

4题，满分

20分）

15.若1

2i是关于x的实系数方程

bxc0的一个复数根，则

D

C

B

A

（A）b2,c3.（B）b2,c3.（C）b2,c1.（D）b2,c1.

16.在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C，则ABC的形状是（）

（A）锐角三角形.（B）直角三角形.（C）钝角三角形.（D）不能够确定.

17.设10x1x2

x3

x4104

，x5

105

随机变量

1取值

x1、x2、x3、x4、x5的概

率均为0.2，随机变量

2取值x1

x2

、x2

、x3

x4、x4

x5

、x5

x1

的概率也为

0.2.若记D1、

D2分别为1、

2的方差，则

（）

（A）D1>

D2.

（B）D1=D2.

（C）D1<

（D）D1与D2的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关.

18.设an

n1sinn25，Sn

a1a2

an.在S1,S2,

S100中，正数的个数是

（A）25.

（B）50.

（C）75.

（D）100.

三、解答题（本大题共有

5题，满分

74分）

19.如图，在四棱锥

P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点.

已知AB=2，AD=2

2，PA=2.求：

（1）三角形PCD的面积；

（6分）

P

（2）异面直线BC与AE所成的角的大小.（6分）

E

20.已知函数f（x）lg（x1）.

（1）若0f（12x）f（x）1，求x的取值范围；

（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0x1时，有g（x）f（x），求函数

yg（x）（x[1,2]）的反函数.（8分）

21.海事救援船对一艘失事船进行定位：

以失事船的当前地址为原点，以正北方向为

y轴正

方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失

事船的正南方向

12海里A处，如图.现假设：

①失事船的搬动路径

可视为抛物线y

1249x2；

②定位后救援船立刻沿直线匀速前往救

援；

③救援船出发

t小时后，失事船所在地址的横坐标为7t.

（1）当t0.5时，写出失事船所在地址P的纵坐标.若此时两船恰好

会合，求救援船速度的大小和方向；

（6分）

（2）问救援船的时速最少是多少海里才能追上失事船

?

（8分）

22.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1:

2x2y21.

（1）过C1的左极点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成

的三角形的面积；

（4分）

（2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x2y21相切，求证：

OP⊥OQ；

（3）设椭圆C2:

4x2y21.若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：

O

到直线MN的距离是定值.（6分）

23.关于数集

X{

1,x1,x2,

xn}，其中0

x1x2

xn，n

2，定义向量集

Y{a|a

（s,t）,s

X,t

X}.

若关于任意a1

Y，存在a2

Y，使得a1

a20，则称X

拥有性质P.比方X

{

1,1,2}

拥有性质P.

（1）若x>

2，且{

1,1,2,x}，求x的值；

（4分）

（2）若X拥有性质

P，求证：

1X，且当xn>

1时，x1=1；

（3）若X拥有性质

P，且x1=1，x2=q（q为常数），求有穷数列x1,x2,

xn的通项公式.（8

分）

2012年上海高考数学（理科）试卷解答

（本大题共有14

题，满分

56分）

i=

1－2i

[解析]

3

（3

i）（1

i）

14i

2i.

（1

i）

0}，B

{x|x1

2}，则A

B=（21,3）.

A（21,

），B（1,3），A∩B=（21,3）.

25,23].

的值域是[

f（x）

sinxcosx

21sin2x

[25,23].

arctan2（结果用反三角

方向向量d（1,2）

，因此kl

2，倾斜角=arctan2.

2）6的二项张开式中，常数项等于

－160.

1）r

C6rx6

r2r

xr

（1）rC6r2rx6

2r

张开式通项Tr

，令6－2r=0，得r=3，

故常数项为

C63

23

160.

6.有一列正方体，棱长组成以

1为首项，

21为公比的等比数列，体积分别记为

8

V,V,,V,，则lim（V1

7.

易知V1,V2,,Vn,是以

1为首项，3为公比的等比数列，因此

lim（V1

V1

8.

7

7.已知函数

e|xa|（a为常数）.若f（x）在区间[1,+

）上是增函数，则

a的取值范

围是

（－,1].

[解析]令g（x）|x

a|，则f（x）

eg（x）

，由于底数e

1，故f（x）↑

g（x）↑，

由g（x）的图像知f（x）在区间[1,+

）上是增函数时，a≤1.

如图，21

l2

l=2，又2r2=l=2

r=1，

h

3，故体积V

31

因此h=

r

rO

2r

f

（1）

1.若g（x）

－1.

是奇函数，则f（

1）（

1）2

[f

（1）

12]

4，因此f（

3，

1.

M（2,0）的直线l与极轴的夹角

6.若将l的极坐标方程写成

f（）的形式，则

）.

sin（

M（2,0）的直角坐标也是

（2,0），斜率k

1，因此其直角坐标方程为

3y

2，

化为极坐标方程为：

cos

3sin

2，（21cos

23sin

）1，

sin（6

）1

，

，即f（）

.（或f（）

sin（6）

cos（

3）

11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有

两人选择的项目完好相同的概率是23（结果用最简分数表示）.

[解析]设概率p=kn

，则nC32C32C3227，求k，分三步：

①选二人，让他们选择的

项目相同，有C32种；

②确定上述二人所选择的相同的项目，有

C31种；

③确定另一

人所选的项目，有

C21种.因此k

C32

C31C21

18

，故p=2718

32.

12.在平行四边形

ABCD中，∠A=

3,边AB、AD的长分别为

2、1.

若M、N分别

是边BC、CD上的点，且满足|BM|

|CN|，则AM

[2,5].

|BC|

|CD|

A（0,0），B（2,0），D（21,23

），C（25,

23）.

[解析]如图建系，则

N

设|BM|

|CN|

t

[0,1]，则|BM|

t，|CN|

2t

因此M（2+2t,

23t

），N（52－2t,

），

故AM

AN=（2+2t）（25－2t）+

3t

5

（t

f（t），

2=

由于t

[0,1]，因此f（t）递减，（AM

AN）max=f（0）=5，（AM

AN）min=f

（1）=2.

[评注]自然从抢分的战略上，

可冒用两个特别点：

M在B（N在C）和M在C（N在D），而本

案正是在这两点处获取最值，蒙对了，又省了时间

!

出题大虾太给蒙派一族面子了

13.已知函数y

f（x）的图像是折线段

ABC，若中

A（0,0），B（21

5），C（1,0）.

函数yxf（x）（0

45.

10x,

[解析]如图1，f（x）

10

10x,2

0x

因此y

xf（x）

10x

D1

10x2

10x,21

图1

图2

易知，y=xf（x）的分段解析式中的两部分抛物线形状完好相同，可是张口方向及极点

地址不相同，如图2，封闭图形MND与OMP全等，面积相等，故所求面积即为矩形

ODMP的面积S=2

4.

[评注]关于曲边图形，上海现行教材中不出微积分，能用微积分求此面积的考生恐是极少

的，而关于极大部分考生，等积变换是唯一的出路。

14.如图，AD与BC是周围体ABCD中互相垂直的棱，BC=2.

若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为

常数，则周围体ABCD的体积的最大值是32ca2

c2

1.

[解析]作BE⊥AD于E，连接CE，则AD⊥平面BEC，因此CE⊥AD，

由题设，B与C都是在以AD为焦距的椭球上，且

BE、CE都

垂直于焦距AD，因此BE=CE.取BC中点F，

EF

BE

1，

连接EF，则EF⊥BC，EF=2，SBEC2BC

周围体ABCD的体积V

ADSBEC

2c

1，显然，当

E在AD中点，

即

B是短轴端点时，BE有最大值为

b=

a

c

，因此Vmax

[评注]

此题把椭圆拓展到空间，对缺少联想思想的考生打击甚大

自然，作为填空押轴题，

区分度还是要的，但是，就抢分而言，胆大、灵便的考生也简单找到打破点：

AB=BD（同时AC=CD），从而致命一击，逃出生天

4题，满分20

分）

15.若

2i

是关于

x的实系数方程x2

bx

的一个复数根，则

（A）b

2,c

（B）b

（C）b

1.（D）b

实系数方程虚根成对，因此

2i也是一根，因此－

b=2，c=1+2=3，选B.

16.在

ABC中，若sin2A

sin2

sin2C，则

ABC的形状是

（A）锐角三角形.

（B）直角三角形.

（C）钝角三角形.

（D）不能够确定.

由条件结合正弦定理，得