完整必修5解三角形知识点和练习题含答案推荐文档Word下载.docx
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⎪c2=b2+a2-2bacosC
3.
(1)两类正弦定理解三角形的问题:
⎪
⎪cosC=
2ac
b2+a2-c2
2ab
1、已知两角和任意一边,求其他的两边及一角.
2、已知两角和其中一边的对角,求其他边角.
(2)两类余弦定理解三角形的问题:
1、已知三边求三角.
2、已知两边和他们的夹角,求第三边和其他两角.
4.判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形。
5.解题中利用∆ABC中A+B+C=,以及由此推得的一些基本关系式进行三
角变换的运算,如:
sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tan(A+B)=-tanC,
sinA+B=cosC,cosA+B=sinC,tanA+B=cotC.
222222
一.正、余弦定理的直接应用:
1、ΔABC中,a=1,b=,∠A=30°
则∠B等于()
A.60°
B.60°
或120°
C.30°
或150°
D.120°
2、在ΔABC中,角A,B,C对应的边分别是a,b,c,若sinA=1,sinB=,
22
求a:
c
3、在ΔABC中,若SΔABC=
1
4
(a2+b2-c2),那么角∠C=.
4.若△ABC的周长等于20,面积是103,A=60°
,则BC边的长是()
A.5B.6C.7D.8
π1
5.
在△ABC中,C-A=2,sinB=3.
(1)求sinA的值;
(2)设AC=6,求△ABC的面积.
6.在△ABC中,若(a+b+c)(a-b+c)=3ac,且tanA+tanC=3+,AB边上的高为4,求角A,B,C的大小与边a,b,c的长
二.判断三角形的形状
7、在锐角三角形ABC中,有()A.cosA>
sinB且cosB>
sinAB.cosA<
sinB且cosB<
sinAC.cosA>
sinAD.cosA<
sinA
8、若(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且sinA=2sinBcosC,那么ΔABC是()A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形
9、钝角ΔABC的三边长分别为x,x+1,x+2,其最大角不超过120°
则实数x的取值范围是:
10.已知a、b、c分别是∆ABC的三个内角A、B、C所对的边
(1)若∆ABC面积S
∆ABC
=3,c=2,A=60︒,求a、b的值;
2
(2)若a=ccosB,且b=csinA,试判断∆ABC的形状.
三.测量问题
11.在200m高的ft顶上,测得ft下塔顶和塔底的俯角分别为30°
,60°
,则塔高为()
400
A.3mB.3mC.3mD.
200
3m
12.测量一棵树的高度,在地面上选取给与树底共线的A、B两点,从A、B
两点分别测得树尖的仰角为30°
,45°
,且AB=60米,则树的高度为多少米?
13.
如图,四边形ABCD中,∠B=∠C=120°
,AB=4,BC=CD=2,则该四边形的面积等于()
A.B.5C.6D.7
14.一缉私艇发现在北偏东45方向,距离12mile的海面上有一
走私船正以10mile/h的速度沿东偏南15方向逃窜.缉私艇的速度为14mile/h,
若要在最短的时间内追上该走私船,缉私艇应沿北偏东45+的方向去追,求追及所需的时间和角的正弦值.
B
A
15.如图,某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C.景区管委会又开发了风景优美的景点D.经测量景点D位于景点A的北偏东30°
方向上8km处,位于景点B的正北方向,还位于景点C的北偏西75°
方向上,已知AB=5km.
(1)景区管委会准备由景点D向景点B修建一条笔直的公路,
不考虑其他因素,求出这条公路的长;
(2)求景点C和景点D之间的距离.
四.正、余弦定理与三角函数,向量的综合应用
16、设A、B、C为三角形的三内角,且方程(sinB-sinA)x2+(sinA-sinC)x
+(sinC-sinB)=0有等根,那么三边a,b,c的关系是
17.在Rt△ABC中,C=900,则sinAsinB的最大值是。
18.在△ABC中,∠C是钝角,设x=sinC,y=sinA+sinB,z=cosA+cosB,则
x,y,z的大小关系是。
19.△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a,b,c成等比数列,
cosB=3.
(Ⅰ)求1+1的值;
(Ⅱ)设BA⋅BC=3,求a+c的值。
tanAtanC2
20(2010浙江文数)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设S为
△ABC的面积,满足S=
(Ⅰ)求角C的大小;
(a2+b2-c2)。
(Ⅱ)求sinA+sinB的最大值。
21、(2010安徽理数)设∆ABC是锐角三角形,a,b,c分别是内角A,B,C所对
边长,并且sin2A=+-B)+sin2B。
(Ⅰ)求角A的值;
33
(Ⅱ)若AB⋅AC=12,a=2,求b,c(其中b<
c)。
22.在锐角△ABC中,已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,向量
m=(2sin(A+C),3),n=(cos2B,2cos22-1),且向量m、n共线.
(1)求角B的大小;
(2)如果b=1,求△ABC的面积S△ABC的最大值.
高二数学解三角形复习专题答案
1.B2。
1:
:
2或1:
13。
45°
4。
C
πππ
5解:
(1)由C-A=2和A+B+C=π,得2A=2-B,0<
A<
4.
13
故cos2A=sinB,即1-2sin2A=3,sinA=3.
6BCACsinA
(2)由
(1)得cosA=3.又由正弦定理,得sinA=sinB,BC=sinB·
AC=32.
∵C-A=2,∴C=2+A,sinC=sin(2+A)=cosA,
111
∴S△
ABC=2AC·
BC·
sinC=2AC·
cosA=2×
6×
32×
3=32.
6解:
(a+b+c)(a-b+c)=3ac,a2+c2-b2=ac,cosB=1,B=600
2
tan(A+C)=tanA+tanC,-=3+3,所以有tanAtanC=2+,联
1-tanAtanC1-tanAtanC
⎨
立tanA+tanC=3+得,⎪tanA=2+3或⎪⎨tanA=1,即
⎩tanC=1⎩tanC=2+
⎪A=750或⎪A=450
⎨0⎨0
⎩C=45⎩C=75
当A=750,C=450时,b=43
=4(3-
c=8(-1),a=8
当A=450,C=750时,b=43
=46,c=4(+1),a=8
∴当A=750,B=600,C=450时,a=8,b=4(3-c=8(-1),
当A=450,B=600,C=750时,a=8,b=46,c=4(+1)。
3
7.B8。
D9。
2≤a<
3.
10解:
(1)S=1bcsinA=3,∴1b⋅2sin60︒=3,得b=1
∆ABC2222
由余弦定理得:
a2=b2+c2-2bccosA=12+22-2⨯1⨯2⋅cos60︒=3,所以
a=
(2)由余弦定理得:
a=c⋅a2+c2-b2
⇒a2+b2=c2,所以∠C=90︒。
在Rt∆ABC中,sinA=a,所以b=c⋅a=a。
所以∆ABC是等腰直角三角形;
c
11.A12。
30(1+3)m
13。
B
14.解:
设A,C分别表示缉私艇,走私船的位置,设经过x小时后在B处追上,
则有
AB=14x,BC=10x,∠ACB=120.∴(14x)2=122+(10x)2-240xcos120,
x=2,AB=28,BC=20,sin==.
2814
所以所需时间2小时,sin=53.
14
15.解:
(1)在△ABD中,∠ADB=30°
,AD=8km,AB=5km,设DB=xkm,
则由余弦定理得52=82+x2-2×
8×
x·
cos30°
,即x2-83x+39=0,
解得x=43±
3.∵
3+3>
8,舍去,∴x=43-3,∴这条公路长为(43-3)km.
ABDBDB·
sin∠ADB43-3
(2)在△ADB中,sin∠ADB=sin∠DAB,∴sin∠DAB=AB=10,
33+4
∴cos∠DAB=10.在△ACD中,∠ADC=30°
+75°
=105°
,
∴sin∠ACD=sin[180°
-(∠DAC+105°
)]=sin(∠DAC+105°
)
43-32-6
=sin∠DACcos105°
+cos∠DACsin105°
=10·
4+10·
4=
20.
8CD
ADCD76-243-3
∴在△ACD中,sin∠ACD=sin∠DAC,∴20=10,∴CD=
73km.
16.a+c=2b17。
1
19.解:
(Ⅰ)由cosB=3,得sinB=
18.x<
y<
z
=7,
由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC.
于是1+1=cosA+cosC=sinCcosA+cosCsinA=sin(A+C)=sinB=1=47.tanAtanCsinAsinCsinAsinCsin2Bsin2BsinB7
(Ⅱ)由BA⋅BC=3得ca⋅cosB=3,由cosB=3,可得ca=2,即b2=2.
224
由余弦定理b2=a2+c2-2ac+cosB得a2+c2=b2+2ac·
cosB=5.
(a+c)2=a2+c2+2ac=5+4=9,a+c=3
22.解:
(1)∵m∥n,∴2sin(A+C)(2cos22-1)-3cos2B=0.
又∵A+C=π-B,∴2sinBcosB=3cos2B,即sin2B=3cos2B.
π
∴tan2B=
3,又∵△ABC是锐角三角形,∴0<
B<
2,
ππ
∴0<
2B<
π,∴2B=3,故B=6.
(2)由
(1)知:
B=6,且b=1,由余弦定理得
b2=a2+c2-2accosB,即a2+c2-3ac=1.∴1
+
3ac=a2+c2≥2ac,
6+2
即(2-3)ac≤1,∴ac≤2-3=2+3,当且仅当a=c=
20.
2时,等号成立.
21.
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