数理学院函授教学大纲浙江师范大学继续教育学院Word格式.docx
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2、测度的性质
1、不可测集
2、有关可测集的性质的证明
三、勒贝格可测函数（第四章）（面授10学时,自学25学时）
1、掌握可测函数的概念,理解可测函数的特征性质,掌握简单函数的有关性质.
2、掌握“几乎处处收敛”与“测度收敛”以及“近一致收敛”的概念，并了解它们之间的关系．
1、可测函数的概念与性质
2、可测函数的构造
1、可测函数的概念
2、可测函数的特征性质
1．概念与概念之间的关系，特别是各种收敛之间的关系
四、勒贝格积分（第五章）（面授12学时,自学30学时）
1、掌握L积分的概念,理解L积分和R积分的关系.
2、掌握L积分的性质,对有关L积分的三个极限定理要理解,特别是Levi定理.
1、勒贝格积分的概念与勒贝格控制收敛定理.
2、勒维定理与勒贝格控制收敛定理.
3、黎曼积分与勒贝格积分的比较.
4、黎曼可积的充要条件.
1、L积分的定义。
2、L积分的性质。
3、黎曼可积的充要条件。
1、定理的证明。
2、黎曼积分与勒贝格积分的比较.
教材和参考书：
教材:
《实变函数与泛函分析基础》，程其襄，张奠宙，魏国强，阎革兴，钱自强，高等教育出版社。
参考书：
①《实函数论》，陈建功，科学出版社
②《实变函数与泛函分析》，夏道行等，人民教育出版社
③《实变函数与泛函分析》，张一鸣等，上海科学技术出版社
④《实变函数与泛函分析概要》，王声望、郑维行，高等教育出版社
⑤《实变函数与泛函分析》，薛昌兴，高等教育出版社
常微分方程
一、说明
常微分方程既是数学专业的一门基础课，同时也是该学科在近代发展方向的重要基础。
在长期不断的发展中，常微分方程日益成为人类研究自然界变化规律的有力工具，它体现了理论科学与应用科学相结合的特点，一直以来被认为是数学科学中最富有生命力的数学分支之一。
学习本课程，一般应具有数学分析、高等代数、解析几何、普通物理等基础知识。
通过本课程的学习，使学员理解常微分方程的基本概念，掌握重要的基本理论，如解的存在唯一性定理、解对初值的连续依赖性定理、定性与稳定性定理、线性方程的通解结构定理等。
在学习过程中，学生应掌握本学科理论证明中所运用的一些重要思想方法。
如常数变易法、逐步逼近法等。
同时应培养学员如何从实际问题中建立常微分方程的分析问题和解决问题的能力，使学员认识到数学来源于实践又服务于实践，从而拓广数学视野，提高数学素质，有助于学员能胜任中学数学的教学及更深层次的进修。
本课程总学时为140学时，其中面授42学时，自学98学时。
通过第一章的学习，应掌握微分方程的基本概念，如，什么是微分方程，什么是微分方程的解，如何从实际问题建立微分方程（组）模型；
着重掌握如何判断方程的类型以及初等解法，特别是一阶性方程的常数变易法。
通过第二章的学习，应掌握重要的基本定理，如解的存在唯一定理，应理解解对初值的连续依赖定理，解对初值的可微性定理，尤为重要的是解的存在唯一性定理，要着重掌握用逐次逼近法证明该定理的思想方法及全过程。
通过第三章的学习，要求掌握线性方程组的解的结构定理及常系数方程组的解法，通过第四章的学习要求掌握线性方程解的结构定理和常系数方程的解法。
学习第三章和第四章时，应联系两章中相应的一些定义、性质、定理等内容，应该掌握第四章中的某些内容可由第五章推证，如定理4.1—定理4.7，可以说这些内容是第三章的特殊情形。
通过第五章的学习，应掌握有关常微分方程的定性理论和稳定性的初步知识，掌握奇点的
类型，及用李雅普诺夫方法（V函数方法）解决稳定性的思想方法。
二、大纲内容
第一章初等积分法（面授12学时，自学26学时）
1.微分方程的基本概念与实例（可再补充几例）
2.变量可分离方程，齐次方程
3.一阶线性方程，常数变易法
4.贝努利方程与黎卡提方程
5.全微分方程，积分因子
6.一阶隐式方程中的几类特殊类型的解法
7.几种可降阶的高阶方程的求解
8.一阶微分方程应用举例
第二章基本定理（面授8学时，自学22学时）
1.解的存在唯一性定理
2.解的延展及例
3.一阶微分方程的几何意义（积分曲线与线素场的关系）
4.奇解与包络，克莱罗方程
5.解对初值的连续依赖性和可微性
第三章一阶线性微分方程组（面授8学时，自学20学时）
1.一阶线性方程组的记号和定义，及解的存在唯一性叙述
2.一阶线性齐次方程组的一般理论
3.一阶线性非齐次方程组的一般理论，常数变易法求解
4.常系数线性齐次方程组的求解
第四章n阶线性方程（面授8学时，自学16学时）
1.n阶线性微分方程的一般理论
2.n阶常系数方程的解法
3.可化为常系数的变系数线性方程
4.二阶常系数线性方程的物理意义
5.幂级数解法大意
第五章稳定性与定性理论初步（面授6学时，自学14学时）
1.解的稳定性定义
2.基本定理（李雅普诺夫第二方法），线性近似理论
3.定性理论初步（相平面、轨线、奇点类型）
4.极限环
教材：
《常微分方程》魏俊杰潘家齐蒋达清编高等教育出版社
教学参考书：
《常微分方程》王高雄等编高等教育出版社1978
《应用常微分方程》金福临、阮炯、黄振勋编著复旦大学出版社1990
近世代数
说明：
近代数学是研究各种代数结构的一门学科，是现代数学的一个重要分支。
它的理论和方法已渗透到数学的很多方面，作为一种数学工具，它在近代物理、近代化学等科技领域中有着广泛的应用。
作为本科函授，主要是使学员获得一定的抽象代数的基本知识，拓广知识面，培养学生分析问题和解决问题的能力。
本课程主要讲授群、环、域等代数学中的一些基本概念，基本理论和研究代数的基本方法；
课程中若干内容以中学代数和高等代数方面的许多模型为背景，拓广了原有的概念，理论上更趋于完善，从而对中学代数起着指导作用。
通过本课程的学习，使学生在数学思维和逻辑论证方面接受严格的训练，提高其数学素质。
本大纲是根据部颁《中学教师进修高等师范数学专业本科教学计划》参照现行高等师范抽象代数教学大纲，并结合函授和业余进修的特点制定的。
本课程面授为42学时，自学100学时。
教学内容：
一、群（面授18学时，自学42学时）
群的理论是本课程的重要内容，是抽象代数的理论基础，在教学和其它自然科学中有较广泛的应用，通过本章学习，使学员对群的结构有初步的了解。
1．掌握代数运算、群、群的同态、子群、正规子群（不变子群）、陪集、商群等概念。
2．掌握用等价关系对集合的元进行分类这一重要的代数方法。
3．掌握拉格朗日（Lagrange）定理，理解（Cayley）定理的作用。
4．掌握群的同态基本定理
1．代数运算
定义、结合律、交换律。
2．群的概念
群的定义及简单性质，有限群、无限群、可换群的概念，群中元的阶。
3．子群
子群的定义，子群的判定、生成元、循环群
4．群的同态和同构
5．变换群
变换群的概念、凯莱定理。
6．置换群
置换的定义、乘法及性质，置换群，n次对称群，每一个有限群都同构于一个置换群。
7．等价关系和集合中元的分类
关系、等价关系及集合中元的分类的概念，以n为模的剩余类，群中元素的共轭类。
8．子群的陪集
陪集的概念，拉格朗日定理。
9．正规子群及商群
正规子群的概念，中心，换位子，商群。
10．同态基本定理
二、环和域（面授16学时，自学36学时）
本章研究具有两个代数运算的代数结构——环和域，它是抽象代数的基本内容，在数学中应用比较广泛，对中学代数的教学有一定的指导意义。
1．掌握环、域、子环、理想、商域等概念及其基本性质。
2．理解环的同态基本定理。
3．理解扩域的概念及一些基本性质。
1．环的定义及其性质
可换环，有单位元环，无零因子环和整环的概念，多项式环。
2．除环和域
有限域，域的特征，四元数除环。
3．子环和子域、环的同态和同构
4．理想
剩余类环，环的同态基本定理。
5．商域
6．域的扩张
素域、代数元、超越元、单扩域、扩域的次数
三、整环里的因子分解（面授8学时，自学22学时）
本章讨论整环中的因子分析问题，它是整数环中唯一分解定理的推广。
1．掌握唯一分解环，主要理想环和欧氏环的概念，了解它们之间的关系。
2．了解唯一分解环上的环多项式是唯一分解环
1．唯一分解环
整环、相伴、可逆元、素元和唯一分解环的定义，整环是唯一分解环的充要条件，最大公因子的定义及其存在唯一定理。
2．主理想环
主理想环的定义，主理想环是唯一分解环。
3．欧氏环
欧氏环的定义，欧氏环是主理想环。
4．多项式环的因子分解
唯一分解环上的多项式环仍为唯一分解环。
教材：
《近世代数》，赵淼清编
《近世代数》，张禾瑞编
概率论与数理统计
一、课程特点和教学目标
概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门学科，是数学与客观世界联系最密切、应用最广泛的学科之一。
本课程区别于其他课程的一大显著特点是其对随机现象的把握与刻划充满了辩证唯物主义哲学思辩的色彩。
通过本课程的教学，学员除了可以掌握处理随机现象的基本理论与方法外，还能得到唯物主义认识观的熏陶，提升自身思维素养，处理起中学阶段的相关知识来更是游刃有余。
二、教学要求和重点、难点
第一章概率的基本概念
本章内容是概率论的入门基础，鉴于大部分学员已经对概率论初步知识有所了解，在教学中宜采取较粗线条的教学方式，集中精力处理重、难点，加深概率论基础知识的条
理化和公理化；
并会熟练利用古典概型及贝叶斯公式等解决事件概率的计算问题。
1.了解随机现象、随机事件；
掌握事件间的关系和运算。
2.了解频率，理解概率的公理化定义以及条件概率的定义。
3.熟练掌握概率的运算性质（如加法公式、乘法公式、互逆公式等）
4.掌握利用排列组合计算古典概率的基本方法和技巧。
5.熟练掌握全概率公式、贝叶斯公式。
6.理解事件独立性概念；
掌握独立交，独立并事件的概率计算。
重点：
概率的公理化定义及运算性质；
条件概率与独立性；
古典概型的计算；
全概率公式与贝叶斯公式
难点：
计算事件概率过程中，各种不同公式，各种转换技巧的综合运用；
贝叶斯公式。
第二章随机变量及其分布
本章通过随机变量及其分布函数的引入，对随机现象的研究从前面局部的单个事件过渡到整体的分布规律。
不仅扩大了视野，也极大地扩充了研究概率论的数学工具。
特别是便于使用经典分析工具如导数、积分，使得概率论真正成为一门数学学科。
通过这部分学习，要求学员初步掌握处理单个指标随机现象的基本思想和方法。
1.理解随机变量及其分布函数的概念，知道分布函数的性质。
2.熟练掌握离散型随机变量分布列的求法。
3.熟练掌握连续型随机变量概率密度的定义、性质及概率计算公式。
4.熟练掌握二项分布B（n;
p）、正态分布N（μ；
σ2）；
知道其它常见分布。
5.掌握一维连续型随机变量的函数的分布。
随机变量分布函数的概念，应用概率分布计算事件概率，二项分布、正态分布及相关应用问题，随机变量的函数的分布。
随机变量分布函数实质的把握；
跟分布相关的实际问题。
第三章多维随机变量及其分布
通过这一章的学习，学员要明了研究多维随机变量的必要性，研究多维随机变量和研究一维随机变量在方法上的区别与联系。
学员们只需要掌握二维随机变量知识。
另外，本章积分尤其是二重积分用得较多，希望学员们及早做好数学分析知识的复习工作。
1.了解二维随机变量分布函数的概念和性质。
2.掌握二维离散型联合分布列及边缘分布列。
3.熟练掌握二维连续型联合分布密度及边缘分布密度，并会用密度计算事件概率。
4.会判断二个随机变量的独立性，知道独立性概念的重要理论价值。
5.知道二维随机变量函数的分布的求解思想，熟练掌握卷积公式。
（注：
条件分布、商的分布等内容仅供选学）。
二维连续型随机变量的分布及边缘分布，随机变量独立性，和的分布。
卷积公式的应用。
第四章随机变量的数字特征
本章主要介绍一维随机变量的数学期望、方差，二维随机变量的相关系数，这些数量指标尤如人的五官反映了人的个性一般，从一些重要的侧面刻划了随机变量的本质特征。
不论在概率论本身还是在数理统计这几个量都有着重要的理论和应用价值。
因此要求学员很好地掌握他们，并能联系实际。
1.理解数学期望概念，掌握数学期望性质。
2.熟练掌握随机变量以及随机变量之函数的数学期望的计算。
3.理解方差概念；
熟练掌握方差的计算和性质。
4.知道常用分布的数学期望和方差。
5.掌握相关系数的计算；
并会判断不相关性，独立性等。
6.掌握契贝雪夫不等式。
数字特征的计算
数学期望的实际运用。
第五章大数定律及中心极限定理
这部分内容是概率论中理论性较强的部分，是前几章知识的深入与发展，也是数理统计推断的理论依据。
为了降低难度，本教材采用轻描淡写式的介绍，忽略了大部分的证明。
我们面授亦只安排了2课时，学员们主要弄清楚这些极限定理究竟说了些什么，以及它们的理论和应用价值。
1.了解依概率收敛，依分布收敛等几种收敛性的含义。
2.知道三个著名的大数定律（贝努里，契贝雪夫，辛钦）。
3.掌握DeMoivre-Laplace中心极限定理在概率近似计算中的应用。
这也就是本章的重、
难点。
第六章样本及抽样分布
这章内容是数理统计的辅垫性内容，堆砌了大量的概念、名称，其中也不乏较繁难的推导。
为减轻学员学习负担，并使其将精力投放于更重要的知识板块上，我们对本章的理论推导只作了解性的要求。
学员们尽可能做好预习，减轻教师的课堂授课容量。
1.了解总体，样本概念；
理解简单随机样本和统计量概念。
2.知道数理统计中常用的抽样分布（χ2-分布，t-分布，F-分布）。
熟悉它们的来源构造，分布曲线的性状，会查表求分位点。
3.掌握单个正态总体统计量的分布。
统计量，三个抽样分布及查表，正态总体统计量的分布。
第七章参数估计
这章内容是数理统计的核心内容之一。
因为数理统计的基本问题是根据样本来推断总体的分布信息，即所谓的统计推断。
统计推断的主要内容包括参数估计、假设检验、回归分析、方差分析等。
课时所限，我们只学习前两个内容。
1.熟练掌握参数点估计的矩法和极大似然估计法。
2.掌握单个正态总体期望和方差的区间估计，会求单、双侧置信区间。
3.了解估计量优劣的评判标准，会判断无偏性。
点估计的矩法，极大似然估计法；
单个正态总体的区间估计。
极大似然估计法，置信区间之“双侧”和“单侧”的区别。
第八章假设检验
统计假设检验作为数理统计的另一核心内容充分反映出概率论思想的辩证光芒。
通过学习，要求学员明了假设检验的基本思想和步骤，提高自身的思维素养。
1.理解假设检验的基本概念（如原假设、备择假设、显著性水平）和思想方法。
2.掌握单个正态总体均值和方差的假设检验，这也是重点。
假设检验中的两类错误（拒真、受伪）及其概率，单边检验。
三、参考学时分配
本课程面授课时36，自学课时52。
具体分配如下：
章节
一
二
三
四
五
六
七
八
讲授
6
2
5
3
自学
8
7
9
备注
第一次面授
第二次面授
四、教材与参考书
教材：
《概率论与数理统计》浙江大学盛骤等编，高教出版社
参考书：
《概率论》复旦大学编，人民教育出版社
《概率论与数理统计教程》魏宗舒编，高教出版社
组合数学《图论》教学大纲
课程编号＿＿＿总学时 64学时 其中面授 32学时 自学 32 学时
一、课程教学目标和要求
1、[教学目标]
（1）掌握图论的基本问题、理论与方法；
（2）了解图论在其它学科中的联系与应用及在中学数学竞赛中的应用；
（3）初步掌握运用图论的理论和方法解决实际问题的能力；
2、[课程要求]
学习本课程五章内容：
图的基本概念、图的连通性、树、Euler环游和Hamiltom回路、图的对集。
通过本课程的学习，了解图论的发展历史，掌握组合与图论的基本理论和方法。
掌握运用图论的理论与方法去解决中学数学中的一些竞赛问题。
二、教学内容与教学安排
1、[教学内容要点]
图的基本概念：
图的定义，度的概念，各类子图，图的矩阵表示；
重点是度与边数间的关系。
图的连通性：
路和回路，连通图及连通图的性质和判别，点、边连通度，
-连通图的特征；
重点是连通的概念，点、边连通度间的关系；
难点为
-连通图的特征。
树：
树的概念和树的性质，生成树；
重点是树的等价命题，最优生成树；
难点为树的等价命题的证明。
Euler环游和Hamiltom回路：
Euler图，Euler图的判别，Hamilton回路，Hamilton图的必要性和充分性，图的闭包；
重点是Euler图的判别和Hamilton图的充分性；
难点为Hamilton图的充分性证明。
图的对集与独立集：
二分图，对集、完美对集和最大对集，二分图最大对集；
重点是二分图的判别，最大对集的判别，Hall定理及其应用；
难点为Hall定理证明及其应用。
2、[教学安排]
第一章图的基本概念（教学6学时，自学6学时）
1．图的定义（图论发展史、图的定义、图的表示和图的同构）
2．顶点的度（度的概念、正则图、边数与度数的关系）
3．子图与运算（子图、生成子图、导出子图、图的并、和、补等运算）
4．一些特殊的图（完全图）
第二章图的连通性（教学8学时，自学8学时）
1．路和回路（途径、迹、路、距离、回路、回路存在定理）
2．连通图（连通图、连通分支、连通图的性质及判别）
3．连通度（点、边连通度，点、边连通度和最小度的关系、
-连通图的特征）
第三章树（教学6学时，自学6学时）
1．树的基本性质（树的概念、树的性质和等价命题）
2．生成树（生成树、最优生成树、Kruskal算法）
第四章Euler环游和Hamilton图（教学6学时，自学6学时）
1．Euler环游（Euler图、Euler图的判别、中国邮路问路）
2．Hamilton图（Hamilton回路，Hamilton图的必要性、充分性，图的闭包）
第五章图的匹配与独立集（教学6学时，自学6学时）
1．二分图（二分图、二分图的判别）
2．对集（完美对集、可扩路、最大对集的判别）
3．二分图的对集（Hall定理及其应用，）
三、教材及主要参考资料
卜月华主编，图论及其应用，东南大学出版社，2002年7月第一版
主要参考资料：
[1]Bondy,J.AandMurty,U.S.R.,GraphTheoryWithApplications,TheMaclmillanPressLtd,1976
[2]宋增民，图论与网络最优化，东南大学出版社，1990
[3] 田丰，马仲蕃，图与网络流理论，科学出版社，1987
四、作业
作业1.1,1.2,1.3,1.4,1.7,1.8,1.11,2.1,2.2,2.4,2.5,2.10,2.12,2.13,2.17,2.19, 2.22,3.1,3.2,3.4,3.6,3.7,3.11,3.12,3.13,4.1,4.2,4.3,4.4,4.5,4.6,4.9,4.10,4.11,
4.12,4.14,4.16,4.17,4.18.5.1,5.2,5.3,5.7,5.10,5.11,5.12,5.14,5.15,5.16.
数学函授《高等几何》课程大纲
课程介绍
高等几何是高等院校数学类专业的重要基础课之一。
它与数学分析、高等代数一起被称为“前三高”。
本课程以变换群的观点为指导思想，以一些重要定理为主线，采用综合法与解析法并重的方法，介绍平面射影几何的基本知识。
其主要内容包括：
射影平面、射影映射、二次曲线的射影理论等。
教学目标
通过本课程的学习，可使学员较全面地了解几何学的基本思想和方法，较熟练地掌握平面射影几何的基本理论，用射影几何的观点居高临下地审视初等几何。
所用教材
周建伟，高等几何，北京：
高等教育出版社，2003年。
由于函授的特点，本课程主要介绍该教材的前三章，即射影平面、射影映射、二次曲线的射影理论等。
参考文献
[1]梅向明，刘增贤，林向岩，高等几何，北京：
高等教育出版社，2000年.
[2]梅向明，刘增贤，高等几何学习指导与习题选解，北京：
高等教育出版社，2003年.
[3]周兴和，高等几何，北京：
科学出版社，2003年.
课程内容
第1章 射影平面
平面射影几何以射影平面理论为基础。
在普通欧氏平面上添加无穷远点和无穷远直线，将之扩充为拓广平面。
以拓广平面为模型定义射影
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