考研数学二真题1995年.docx
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考研数学二真题1995年
1995年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)
(1)设,则______.
(2)微分方程的通解为______.
(3)曲线在处的切线方程为______.
(4)______.
(5)曲线的渐近线方程为______.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1)设和在内有定义,为连续函数,且,有间断点,则()
(A)必有间断点(B)必有间断点
(C)必有间断点(D)必有间断点
(2)曲线与轴所围图形的面积可表示为()
(A)
(B)
(C)
(D)
(3)设在内可导,且对任意,当时,都有,则
()
(A)对任意(B)对任意
(C)函数单调增加(D)函数单调增加
(4)设函数在上,则或的大小顺序是()
(A)(B)
(C)(D)
(5)设可导,,若使在处可导,则必有()
(A)(B)
(C)(D)
三、(本题共6小题,每小题5分,满分30分.)
(1)求.
(2)设函数由方程确定,其中具有二阶导数,且,求.
(3)设,且,求.
(4)设试讨论在处的连续性.
(5)求摆线一拱()的弧长.
(6)设单位质点在水平面内作直线运动,初速度,已知阻力与速度成正比(比例常数为1),问为多少时此质点的速度为?
并求到此时刻该质点所经过的路程.
四、(本题满分8分)
求函数的最大值和最小值.
五、(本题满分8分)
设是微分方程的一个解,求此微分方程满足条件的特解.
六、(本题满分8分)
如图,设曲线的方程为,且,又分别为该曲线在点处的切线和法线,已知线段的长度为(其中
),试推导出点的坐标表达式.
七、(本题满分8分)
设,计算.
八、(本题满分8分)
设,且,证明.
1995年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题答案
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)
(1)【答案】
【解析】该函数是由两个复合函数的乘积构成,满足复合函数求导法则,
.
【相关知识点】复合函数求导法则:
的导数为.
(2)【答案】
【解析】微分方程对应的齐次方程的特征方程为,
特征根为,故对应齐次方程的通解为.
设非齐次方程的特解,则,,代入微分方程,得
比较系数得故.所以通解为
.
【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构:
设是二阶线性非齐次方程
的一个特解.是与之对应的齐次方程
的通解,则是非齐次方程的通解.
2.二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法:
对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解,可用特征方程法求解:
即中的、均是常数,方程变为.其特征方程写为,在复数域内解出两个特征根;
分三种情况:
(1)两个不相等的实数根,则通解为
(2)两个相等的实数根,则通解为
(3)一对共轭复根,则通解为其中为常数.
3.对于求解二阶线性非齐次方程的一个特解,可用待定系数法,有结论如下:
如果则二阶常系数线性非齐次方程具有形如
的特解,其中是与相同次数的多项式,而按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.
如果,则二阶常系数非齐次线性微分方程的特解可设为
其中与是次多项式,,而按(或)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为或.
(3)【答案】
【解析】切线的斜率为
.
当时,.故所求切线方程为.化简得.
【相关知识点】参数方程所确定函数的微分法:
如果,则.
(4)【答案】
【解析】应用夹逼准则求数列的极限.令
则
又,
即,
所以.
由夹逼准则,得.即
.
(5)【答案】
【解析】函数的定义域为全体实数,且
所以曲线只有一条水平渐近线.
【相关知识点】铅直渐近线:
如函数在其间断点处有,则
是函数的一条铅直渐近线;
水平渐近线:
当(为常数),则为函数的水平渐近线.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)
(1)【答案】(D)
【解析】方法一:
反证法,利用连续函数的性质,即有限多个在同一点处连续的函数之乘积,仍然在该点处连续.
设函数无间断点,因为是连续函数,则必无间断点,这与有间断点矛盾,故应选择(D).
方法二:
排除法,举出反例排除.
设
则都处处连续,排除(A),(B),(C).故应选择(D).
(2)【答案】(C)
【解析】方法一:
利用定积分的求面积公式有
应选择(C).
方法二:
画出曲线的草图,所求面积为图中两面积之和,即
故应选(C).
(3)【答案】(D)
【解析】因为对任意,当时,,则函数,即
故是单调增加的.应选择(D).
对于(A)(B)(C)可令,则对任意,当时,都有,
但,
在其定义域内单调减少.
故排除(A)(B)(C).
(4)【答案】(B)
【解析】由可知在区间上为严格的单调递增函数,故
由微分中值定理,.所以
应选择(B).
(5)【答案】(A)
【解析】函数在处可导的充分必要条件是与存在且相等.
由于,而可导,所以在处可导等价于在可导.
令,则
于是要使在处可导,当且仅当,即.故选择(A).
三、(本题共6小题,每小题5分,满分30分.)
(1)【解析】利用等价无穷小计算,即当时,.
原式.
(2)【解析】这是一个由复合函数和隐函数所确定的函数.
方法一:
将方程两边对求导,得
即,
将代入并化简,得.
两边再对求导,得
.
将代入并化简得
.
方法二:
方程两边先取对数再对求导.
方程两边取对数得,
求导得,
因为,所以.
以下同方法一.
【相关知识点】复合函数求导法则:
的导数为.
(3)【解析】首先应求出的表达式.由
令得.又
则.解得.因此
.
(4)【解析】函数在处的导函数连续的充分必要条件是与存在且必与相等.
当时,,由于
所以.
故在处连续.
(5)【解析】由弧微分公式得
所以
(6)【解析】设质点的运动速度为,由题设,阻力为,按牛顿第二定律有
其中质量,即.
这是简单变量可分离的微分方程,解之得.
另有初始条件,得.
当此质点的速度为时,有,得.
到此时刻该质点所经过的路程为
.
四、(本题满分8分)
【解析】对函数两边求导并令,得
解得驻点.
由于
所以为函数的极大值点,为函数的极小值点,且
又,
所以为函数最大值,为函数的最小值.
【相关知识点】积分上限函数的求导公式:
.
五、(本题满分8分)
【解析】把和代入所给的一阶线性微分方程,得
解得.
线性方程被确定为,即
.
这是一阶线性非齐次微分方程,通解为
.
再由得,即.
故所求的特解为.
【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程的通解公式为:
其中为常数.
六、(本题满分8分)
【解析】要求点的坐标,也就是说,要用表示出.
由,有
①
又由法线的斜率与切线斜率互为负倒数的关系,知
②
把②式,即代入①消去得到
③
由,知曲线是向上凹的,容易看出,所以③可化为,
且,
于是得
七、(本题满分8分)
【解析】方法一:
这是一个积分上限函数求定积分,可以考虑用定积分的分部积分法.
由于,
因而由分部积分法和,有
.
方法二:
对于二重积分,可以通过变换积分次序来求解.
其中
于是
.
八、(本题满分8分)
【解析】由于,所以必有,且
.
证法一:
用函数单调性证明不等式.
令,
则.
由于,所以函数单调增加,
在由负变正,所以是的极小值点也是最小值点,
即.
证法二:
用泰勒公式.
.
因为,所以.
所以.