高考导数题型总结Word文档下载推荐.docx

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　　第二步：

画两图或列表;

　　第三步：

由图表可知;

　　其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，

　　2、常见处理方法有三种：

　　第一种：

别离变量求最值-----用别离变量时要特别注意是否需分类讨论（>

0,=0,<

0）

　　第二种：

变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（谁的范围就把谁作为主元）;

　　例1：

设函数在区间D上的导数为，在区间D上的导数为，假设在区间D上，恒成立，那么称函数在区间D上为“凸函数”，实数m是常数，

（1）假设在区间上为“凸函数”，求m的取值范围;

（2）假设对满足的任何一个实数，函数在区间上都为“凸函数”，求的最大值.

　　解:

由函数得

（1）在区间上为“凸函数”，

　　那么在区间[0,3]上恒成立

　　解法一：

从二次函数的区间最值入手：

等价于

　　解法二：

别离变量法：

　　∵当时,恒成立,

　　当时,恒成立

　　等价于的最大值（）恒成立，

　　而（）是增函数，那么

（2）∵当时在区间上都为“凸函数”

　　那么等价于当时恒成立

　　变更主元法

　　再等价于在恒成立（视为关于m的一次函数最值问题）

　　请同学们参看xx第三次周考：

　　例2：

设函数

　　（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值;

　　（Ⅱ）假设对任意的不等式恒成立，求a的取值范围.

　　（二次函数区间最值的例子）

　　解：

（Ⅰ）

　　令得的单调递增区间为（a,3a）

　　令得的单调递减区间为（-，a）和（3a，+）

　　∴当x=a时，极小值=当x=3a时，极大值=b.

　　（Ⅱ）由||≤a，得：

对任意的恒成立①

　　那么等价于这个二次函数的对称轴（放缩法）

　　即定义域在对称轴的右边，这个二次函数的最值问题：

单调增函数的最值问题。

　　上是增函数.（9分）

　　∴

　　于是，对任意，不等式①恒成立，等价于

　　又∴

　　点评：

重视二次函数区间最值求法：

对称轴（重视单调区间）与定义域的关系

　　第三种：

构造函数求最值

　　题型特征：

恒成立恒成立;

从而转化为第一、二种题型

　　例3;

函数图象上一点处的切线斜率为，

　　（Ⅰ）求的值;

　　（Ⅱ）当时，求的值域;

　　（Ⅲ）当时，不等式恒成立，求实数t的取值范围。

（Ⅰ）∴，解得

　　（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减

　　又

　　∴的值域是

　　（Ⅲ）令

　　思路1：

要使恒成立，只需，即别离变量

　　思路2：

二次函数区间最值

　　二、题型一：

函数在某个区间上的单调性求参数的范围

　　解法1：

转化为在给定区间上恒成立，回归根底题型

　　解法2：

利用子区间（即子集思想）;

首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集;

　　做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别：

前者是后者的子集

　　例4：

，函数.

　　（Ⅰ）如果函数是偶函数，求的极大值和极小值;

　　（Ⅱ）如果函数是上的单调函数，求的取值范围.

.

　　（Ⅰ）∵是偶函数，∴.此时，，

　　令，解得：

　　列表如下：

　　（-∞,-2）

　　-2

　　（-2,2）

　　2

　　（2,+∞）

　　+

　　0

　　-

　　递增

　　极大值

　　递减

　　极小值

　　可知：

的极大值为，的极小值为.

　　（Ⅱ）∵函数是上的单调函数，

　　∴，在给定区间R上恒成立判别式法

　　那么解得：

　　综上，的取值范围是.

　　例5、函数

　　（I）求的单调区间;

　　（II）假设在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。

子集思想

　　（I）

　　1、

　　当且仅当时取“=”号，单调递增。

　　2、

　　单调增区间：

　　（II）当那么是上述增区间的子集：

　　1、时，单调递增符合题意

　　2、，

　　综上，a的取值范围是[0，1]。

　　三、题型二：

根的个数问题

　　题1函数f（x）与g（x）（或与x轴）的交点======即方程根的个数问题

　　解题步骤

画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”;

由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）;

主要看极大值和极小值与0的关系;

解不等式（组）即可;

　　例6、函数，，且在区间上为增函数.

　　求实数的取值范围;

　　假设函数与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围.

（1）由题意∵在区间上为增函数，

　　∴在区间上恒成立（别离变量法）

　　即恒成立，又，∴，故∴的取值范围为

（2）设，

　　令得或由

（1）知，

　　①当时，，在R上递增，显然不合题意…

　　②当时，，随的变化情况如下表：

　　—

　　↗

　　↘

　　由于，欲使与的图象有三个不同的交点，即方程有三个不同的实根，故需，即∴，解得

　　综上，所求的取值范围为

　　根的个数知道，部分根可求或。

　　例7、函数

（1）假设是的极值点且的图像过原点，求的极值;

（2）假设，在

（1）的条件下，是否存在实数，使得函数的图像与函数的图像恒有含的三个不同交点?

假设存在，求出实数的取值范围;

否那么说明理由。

高1考1资1源2网

（1）∵的图像过原点，那么，

　　又∵是的极值点，那么

（2）设函数的图像与函数的图像恒存在含的三个不同交点，

　　等价于有含的三个根，即：

　　得：

　　即：

恒有含的三个不等实根

　　（计算难点来了：

）有含的根，

　　那么必可分解为，故用添项配凑法因式分解，

　　十字相乘法分解：

　　恒有含的三个不等实根

　　等价于有两个不等于-1的不等实根。

　　题2：

切线的条数问题====以切点为数的方程的根的个数

　　例7、函数在点处取得极小值-4，使其导数的的取值范围为，求：

（1）的解析式;

（2）假设过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围.

（1）由题意得：

　　∴在上;

在上;

在上

　　因此在处取得极小值

　　∴①，②，③

　　由①②③联立得：

，∴

（2）设切点Q，

　　过

　　令，

　　求得：

，方程有三个根。

　　需：

　　故：

;

因此所求实数的范围为：

　　题3：

在给定区间上的极值点个数那么有导函数=0的根的个数

　　解法：

根分布或判别式法

　　例8、

函数的定义域为（Ⅰ）当m=4时，f（x）=x3-x2+10x，

　　=x2-7x+10，令，解得或.

　　令，解得

　　可知函数f（x）的单调递增区间为和（5，+∞），单调递减区间为.

　　（Ⅱ）=x2-（m+3）x+m+6,

　　要使函数y=f（x）在（1，+∞）有两个极值点,=x2-（m+3）x+m+6=0的根在（1，+∞）

　　根分布问题：

　　那么，解得m>

3

　　例9、函数，

（1）求的单调区间;

（2）令=x4+f（x）（x∈R）有且仅有3个极值点，求a的取值范围.

（1）

　　当时，令解得，令解得，

　　所以的递增区间为，递减区间为.

　　当时，同理可得的递增区间为，递减区间为.

（2）有且仅有3个极值点

　　=0有3个根，那么或，

　　方程有两个非零实根，所以

　　或

　　而当或时可证函数有且仅有3个极值点

　　其它例题：

　　1、（最值问题与主元变更法的例子）.定义在上的函数在区间上的最大值是5，最小值是-11.

　　（Ⅰ）求函数的解析式;

　　（Ⅱ）假设时，恒成立，求实数的取值范围.

　　令=0,得

　　因为，所以可得下表：

　　极大

　　因此必为最大值,∴因此，，

　　即，∴，∴

　　（Ⅱ）∵，∴等价于，

　　令，那么问题就是在上恒成立时，求实数的取值范围，

　　为此只需，即，

　　解得，所以所求实数的取值范围是[0，1].

　　2、（根分布与线性规划例子）

（1）函数

　　（Ⅰ）假设函数在时有极值且在函数图象上的点处的切线与直线平行,求的解析式;

　　（Ⅱ）当在取得极大值且在取得极小值时,设点所在平面区域为S,经过原点的直线L将S分为面积比为1:

3的两部分,求直线L的方程.

（Ⅰ）.由,函数在时有极值,

　　∵∴

　　又∵在处的切线与直线平行,

　　∴故

　　∴…………………….7分

　　（Ⅱ）解法一:

由及在取得极大值且在取得极小值,

　　∴即令,那么

　　∴∴故点所在平面区域S为如图△ABC,

　　易得,,,,,

　　同时DE为△ABC的中位线,

　　∴所求一条直线L的方程为:

　　另一种情况设不垂直于x轴的直线L也将S分为面积比为1:

3的两部分,设直线L方程为,它与AC,BC分别交于F、G,那么,

　　由得点F的横坐标为:

　　由得点G的横坐标为:

　　∴即

　　解得:

或（舍去）故这时直线方程为:

　　综上,所求直线方程为:

或.…………….………….12分

　　（Ⅱ）解法二:

　　同时DE为△ABC的中位线,∴所求一条直线L的方程为:

　　另一种情况由于直线BO方程为:

设直线BO与AC交于H,

　　由得直线L与AC交点为:

　　∵,,

　　∴所求直线方程为:

或

　　3、（根的个数问题）函数的图象如下列图。

　　（Ⅱ）假设函数的图象在点处的切线方程为，求函数f（x）的解析式;

　　（Ⅲ）假设方程有三个不同的根，求实数a的取值范围。

由题知：

　　（Ⅰ）由图可知函数f（x）的图像过点（0,3），且=0

　　得

　　（Ⅱ）依题意=–3且f

（2）=5

　　解得a=1,b=–6

　　所以f（x）=x3–6x2+9x+3

　　（Ⅲ）依题意f（x）=ax3+bx2–（3a+2b）x+3（a>

　　=3ax2+2bx–3a–2b由=0b=–9a①

　　假设方程f（x）=8a有三个不同的根，当且仅当满足f（5）<

8a

　　由①②得–25a+3<

8a<

7a+3

　　所以当

　　4、（根的个数问题）函数

（1）假设函数在处取得极值，且，求的值及的单调区间;

（2）假设，讨论曲线与的交点个数.

　　………………………………………………………………………2分

　　令得

　　∴的单调递增区间为，，单调递减区间为…………5分

（2）由题得

　　即

　　令……………………6分

　　令得或……………………………………………7分

　　当即时

　　此时，，，有一个交点;

…………………………9分

　　当即时，

　　,

　　∴当即时,有一个交点;

　　当即时，有两个交点;

　　当时，，有一个交点.………………………13分

　　综上可知，当或时，有一个交点;

　　当时，有两个交点.…………………………………14分

　　5、（简单切线问题）函数图象上斜率为3的两条切线间的间隔为，函数.

　　（Ⅰ）假设函数在处有极值，求的解析式;

　　（Ⅱ）假设函数在区间上为增函数，且在区间上都成立，求实数的取值范围.