北京市朝阳区高三一模数学文试题解析版.docx
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北京市朝阳区高三一模数学文试题解析版
2018年北京市朝阳区高三一模数学（文）数学试题
第I卷
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.已知全集为实数集,集合,
则（）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】集合,集合，所以或,所以,故选.
2.在复平面内,复数所对应的点位于（）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】A
【解析】,在复平面内对应的点为,在第一象限,故选.
3.已知平面向量,且,则实数的值是（）
A.B.C.D.或
【答案】D
【解析】由,且,可以得到,即,所以或,故选.
4.已知直线平面,则“直线”是“”的（）
A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】当且时,我们可以得到或（因为直线与平面的位置关系不确定）,所以充分性不成立;当时,过直线可做平面与平面交于直线,则有.又有,则有,即.所以必要性成立,故选.
5.已知为抛物线的焦点,过点的直线交抛物线于两点,若,则线段的中点到直线的距离为（）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
如图,抛物线的焦点为,准线为,即，分别过作准线的垂线,垂足为,则有，过的中点作准线的垂线,垂足为,则为直角梯形中位线,则,即到准线的距离为.故选.
6.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于（）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
抠点法，在长方体中抠点,1.由正视图可知:
上没有点;
2.由侧视图可知:
上没有点;3.由俯视图可知:
上没有点;4.由正（俯）视图可知:
处有点,由虚线可知处有点,点排除.由上述可还原出四棱锥,如右图所示,,，故选.
【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.
7.函数的零点个数为（）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】定义域为,通分得:
设,,
时,,画出大致图象如下.
易发现,即与交于点,又,,即点为公切点,点为内唯一交点,又均为偶函数,
点也为公切点,为交点,有两个零点，故选
8.某学校举办科技节活动,有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛,该项目只设置一个一等奖.在评奖揭晓前,小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下:
小张说:
“甲或乙团队获得一等奖”；小王说:
“丁团队获得一等奖”；
小李说:
“乙、丙两个团队均未获得一等奖”；小赵说:
“甲团队获得一等奖”.
若这四位同学中只有两位预测结果是对的,则获得一等奖的团队是（）
A.甲B.乙C.丙D.丁
【答案】D
【解析】1.若甲获得一等奖,则小张、小李、小赵的预测都正确,与题意不符;
2.若乙获得一等奖,则只有小张的预测正确,与题意不符;
3.若丙获得一等奖,则四人的预测都错误,与题意不符;
4.若丁获得一等奖,则小王、小李的预测正确,小张、小赵的预测错误,符合题意，故选D.
【思路点睛】本题主要考查演绎推理的定义与应用以及反证法的应用，属于中档题.本题中，若甲获得一等奖,则小张、小李、小赵的预测都正确,与题意不符；若乙获得一等奖,则只有小张的预测正确,与题意不符；若丙获得一等奖,则四人的预测都错误,与题意不符；若丁获得一等奖,则小王、小李的预测正确,小张、小赵的预测错误,符合题意.
第Ⅱ卷
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.执行如图所示的程序框图,若输入则输出的值为__________．
【答案】
【解析】
初始
5
0
第一次
9
1
第二次
17
2
第三次
33
3
第四次
65
4
第四次时,,所以输出.
【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题.解决程序框图问题时一定注意以下几点：
（1）不要混淆处理框和输入框；
（2）注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；（3）注意区分当型循环结构和直到型循环结构；（4）处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；（5）要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.
10.双曲线的焦距为__________；渐近线方程为__________．
【答案】
（1）.
（2）.
【解析】由双曲线可知，故,焦距,渐近线:
故答案为
（1），
（2）.
11.已知圆内有一点经过点的直线与圆交于两点,当弦恰被点平分时,直线的方程为__________．
【答案】
【解析】圆,弦被平分,故,由得，可得,所以直线方程为，故答案为.
12.已知实数满足若取得最小值的最优解有无数多个,则的值为__________．
【答案】
【解析】
可化为,,取得最小值,则直线的截距最小,最优解有无数个,即与边界重合,故，故答案为.
【方法点晴】本题主要考查可行域、含参数目标函数最优解及直线的斜率，属于难题.含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度，此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键.
13.函数的部分图象如图所示,则__________；__________．
【答案】
（1）.
（2）.
【解析】由图可知且，结合解得，故答案为
（1）
（2）.
14.许多建筑物的地板是用正多边形的砖板铺成的（可以是多种正多边形）.如果要求用这些正多边形的砖板铺满地面,在地面某一点（不在边界上）有块砖板拼在一起,则的所有可能取值为__________．
【答案】
【解析】由题意知只需这块砖板的角度之和为即可，显然,因为任意正多边形内角小于;且,因为角度最小的正多边形为正三角形,.当时,个正六边形满足题意;当时,个正方形满足题意;当时,个正三角形与个正方形满足题意;当时,个正三角形满足题意.综上,所以可能为3,4,5,6，故答案为.
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知数列的前项和满足.
（Ⅰ）求的值;
（Ⅱ）若数列满足,求数列的通项公式.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】试题分析：
（1）得,得
得；
（2）由可得两式相减化为,根据等比数列的通项公式可得，根据累加法及等比数列的求和公式可得:
.
试题解析：
（Ⅰ）由题知得,
得
得.
（Ⅱ）当时,
所以,
得,即,
是以为首项,2为公比的等比数列,则.
当时,
经验证:
综上:
.
16.在中,已知,.
（Ⅰ）若,求的面积；
（Ⅱ）若为锐角,求的值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】试题分析：
（Ⅰ）由,根据正弦定理可得,,
因为,所以,所以,由三角形面积公式可得结果；（Ⅱ）由（Ⅰ）知,因为为锐角,所以.所以，将所需三角函数值代入即可得结果.
试题解析：
（Ⅰ）由正弦定理得,因为,
所以,,
因为,所以,
所以,
所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,因为为锐角,所以.
所以
.
17.某地区高考实行新方案,规定:
语文、数学和英语是考生的必考科目,考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目.若一名学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目,则称该学生的选考方案确定;否则,称该学生选考方案待确定.例如,学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目,则学生甲的选考方案确定,“物理、化学和生物”为其选考方案.
某学校为了了解高一年级420名学生选考科目的意向,随机选取30名学生进行了一次调查,统计选考科目人数如下表:
性别
选考方案确定情况
物理
化学
生物
历史
地理
政治
男生
选考方案确定的有6人
6
6
3
1
2
0
选考方案待确定的有8人
5
4
0
1
2
1
女生
选考方案确定的有10人
8
9
6
3
3
1
选考方案待确定的有6人
5
4
0
0
1
1
（Ⅰ）试估计该学校高一年级确定选考生物的学生有多少人？
（Ⅱ）写出选考方案确定的男生中选择“物理、化学和地理”的人数.（直接写出结果）
（Ⅲ）从选考方案确定的男生中任选2名,试求出这2名学生选考科目完全相同的概率.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）2；（Ⅲ）
【解析】试题分析：
（Ⅰ）根据表格中数据，由古典概型概率公式可得选生物的频率为，从而可得选择生物的人数约为人；（Ⅱ）根据表格数据可得选考方案确定的男生中选择“物理、化学和地理”的人数；（Ⅲ）利用列举法可得任取两名男生的基本事件有种，其中两名男生所学科目相同的基本事件共有种，根据古典概型概率公式可得两名男生所学科目相同的概率.
试题解析：
（Ⅰ）设该学校选考方案确定的学生中选考生物的学生为
因为在选考方案确定的学生的人中,
选生物的频率为
所以选择生物的概率约为
所以选择生物的人数约为人.
（Ⅱ）2人.
（Ⅲ）设选择物理、生物、化学的学生分别为
选择物理、化学、历史的学生为,
选择物理、化学、地理的学生分别为
所以任取2名男生的基本事件有
所以两名男生所学科目相同的基本事件共有四个,分别为概率为
18.如图,在梯形中,于,.将沿折起至,使得平面平面（如图2）,为线段上一点.
图1图2
（Ⅰ）求证:
；
（Ⅱ）若为线段中点,求多面体与多面体的体积之比；
（Ⅲ）是否存在一点,使得平面?
若存在,求的长.若不存在,请说明理由.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【解析】试题分析：
（Ⅰ）折起后仍有,由面面垂直的性质可得平面,
平面,；（Ⅱ）直接求出三棱锥的体积，利用分割法求出，从而可得结果；（Ⅲ）根据三角形相似可得,由线面平行的性质定理可得,由中位线定理可得,,在中,,.
试题解析：
（Ⅰ）在梯形中,因为,所以,
平面平面,平面平面,
平面,平面,
平面,.
（Ⅱ）为中点,
到底面的距离为,
在梯形中,,
.
在中,,
平面,平面,
平面平面,
平面平面,,
到平面的距离为.
.
.
（Ⅲ）连结交于,连结,
在四边形中,
平面,平面平面,
在中,,
在中,,.
19.已知椭圆的离心率为,且过点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于两点,直线过坐标原点且直线与的斜率互为相反数,直线与椭圆交于两点且均不与点重合,设直线的斜率为,直线的斜率为,证明:
为定值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.
【解析】试题分析：
（Ⅰ）根据椭圆的离心率为,且过点，结合性质，列出关于、、的方程组，求出、、，即可得结果；（Ⅱ）设,联立,消去得,,利用斜率公式以及韦达定理，化简可得则，所以为定值.
试题解析：
（Ⅰ）由题可得,解得.
所以椭圆的方程为.
（Ⅱ）由题知直线斜率存在,设.
联立,消去得,
由题易知恒成立,由韦达定理得,
因为与斜率相反且过原点,
设,,
联立,
消去得,
由题易知恒成立,
由
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