数学建模D题的答案1Word文档下载推荐.docx
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层次分析法matlab采光比方案评价
1.问题重述
学生宿舍是学校教育的重要组成部分，直接或间接地影响到学生的生活、学习和健康成长。
学生宿舍的使用面积、布局和设施配置等的设计既要让学生生活舒适，也要方便管理,同时要考虑成本和收费的平衡,这些还与所在城市的地域、区位、文化习俗和经济发展水平有关。
可知本文是对学生宿舍评价问题，主要任务是根据给出的四种学生宿舍设计方案进行评价，并且学生宿舍的设计必须考虑经济性、舒适性和安全性等问题。
经济性：
建设成本、运行成本和收费标准等。
舒适性：
人均面积、使用方便、互不干扰、采光和通风等。
安全性：
人员疏散和防盗等。
附件是四种比较典型的学生宿舍的设计方案。
请你们用数学建模的方法就它们的经济性、舒适性和安全性做出综合量化评价和比较。
2.问题分析
由于学生宿舍的设计必须考虑经济性、舒适性和安全性等因素。
将整个问题分为四个部分进行分析，
（1）.确定评价目标，
（2）.对附图量化处理，（3）.根据数据对分量做出评价，（4）.运用层次分析法确定权重，对设计方案做出综合性评价。
基本流程图如下：
确定评价目标
影响因素
量化处理
建立层次分析模型
各因素评价
综合评价
求出权向量
经济性方面，考虑到土地成本、建房成本、运行成本和收费标准对经济性的影响。
从网上搜集相关的建筑学的有关知识，计算出平均每平方米的土地和建设单价，在计算出水电，管理等费用，进行量化处理，利用matlab软件求出年与利润的关系，根据得到的关系进行综合评价，先盈利者为最佳方案。
舒适性方面，考虑到人均占有面积、使用方便、互不干扰、采光通风等因素对舒适性的影响，人均占有面积越大则越方便，寝室人数与寝室面积比越大则互不干扰性越好，窗户的面积越大则采光通风越好，根据附图对以上因素进行量化处理，并列出表格进行比较，选出最优方案。
安全性方面，考虑到人员疏散、防盗对安全性的影响，影响人员疏散的因素为人员疏散宽度，从网上搜集相关资料可知各楼层的疏散系数，通过疏散系数得出人员疏散宽度，疏散宽度越大则人员疏散越快，影响防盗的因素为寝室人员个数和窗户与窗户之间的距离，寝室人数越少，窗户与窗户之间的距离越远则防盗性就越好。
最后根据经济性、舒适性和安全性三个影响宿舍评价方案的因素进行综合考虑建立层次分析法模型，求出权重并最终做出综合量化评价和比较，选出最优方案。
3.模型假设
1.假设所在城市的地域、区位、文化习俗和经济发展水平对四种方案不影响。
2.假设楼房各层结构相同，高度相同。
3.假设单位面积的土地成本相同。
4.假设互不干扰只考虑一间寝室，与其它无关。
5.假设每栋楼的窗户大小相同。
6.假设采光比与窗户的位置无关。
7.假设考虑单一因素时其他因素不影响。
4.符号说明
学生宿舍设计方案评价
经济性
舒适性
安全性
建设成本
运行成本
收费标准
人均居住面积
使用方便
互不干扰
采光通风
人员疏散
防盗
方案1
方案2
方案3
方案4
正互反矩阵的特征值
一致性指标
一致性比率
随机一致性指标
经济、舒适、安全的权向量
综合权向量
5.模型的建立与求解
5.1针对综合指标建立层次分析法模型[1]
5.1.1模型结构如下图所示：
目标层
准则层
方案层
学生宿舍设计方案A
5.1.2模型求解
根据网上对经济性、舒适性、安全性进行调查得到下图
根据图知安全性占得比重最大，其次是舒适性、经济性。
综合考虑对经济性、舒适性、安全性三个方面，我们得到了如下的成对比较矩阵为：
第二层对第一层的成对比较矩阵为：
根据以下对子因素的评价列出第三层对第二层的成对比较矩阵为：
随机一致性指标：
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
RI
0.58
0.9
1.12
1.24
1.32
1.41
1.45
1.49
1.51
一致性指标：
一致性比率：
通过MATLAB编程计算可得两两判断矩阵在单一准则下的权向量
、最大特征根
一致性指标
与一致性比率CR，具体结果见下表
0.1365
0.2385
0.6250
0.5406
0.1082
0.0470
0.3042
0.0692
0.3251
0.1280
0.4768
0.0729
0.2844
0.1695
0.4729
3.0183
4.2999
4.1701
4.0511
0.0092
0.0993
0.0567
0.0170
0.0158
0.0331
0.0630
0.0189
由于上述一致性比率
均小于0.1，可以判断矩阵具有满意的一致性。
最后得出：
综合组合一致性检验：
各层的一致性检验及综合组合一致性检验全部通过。
综合组合权向量：
最终综合组合权向量为：
，所以从经济性、舒适性、安全性综合考虑：
方案4综合指标最高,其次是方案2、方案3、方案1
5.2针对经济性指标建立层次分析法模型
5.2.1建立层次分析法模型结构如下图所示：
1.对土地做网上调查[3]
2010年全国分区域不同用途地价增长率及地价水平值
各区域
地价水平值（元/平方米）
地价增长率%
综合地价
商业
居住
工业
全国
3943
6536
5766
772
10.60
11.97
12.69
7.36
华北区
3361
3463
5380
863
12.88
9.33
17.15
10.58
东北区
2113
4176
2337
521
6.65
6.36
8.97
2.93
华东区
7156
15876
10238
1001
8.37
9.14
8.93
中南区
3742
8785
5870
785
11.84
20.50
11.70
9.25
西南区
3601
7645
4548
560
12.90
10.09
18.93
1.29
西北区
1612
2717
1963
561
8.55
10.79
10.39
4.54
平均值
3646
7028
5157
723
10.26
11.17
12.68
6.19
从不同区域的地价增长率变化情况来看，2010年六大区域综合地价增长率由高到低分别为，西南区、华北区、中南区、西北区、华东区、东北区，增长率分别为12.90%、12.88%、11.84%、8.55%、8.37%、6.65%（图1），综合地价增长率分别为0.54%、3.91%和2.47%。
图1.2010年全国分区域不同用途地价环比增长率比较
所以根据综合地价可以算出平均地价为3646（元/平方米），每平方米建筑房价为1100元，地价增长率为10.2%
2.运行成本（电，水，维修，管理等费用）
水电费用：
[4]
根据网上调查，一年一人平均用水为54元。
平均用电费用为102元。
维修费用：
根据调查每人每平方米年维修费为大约30元
管理费用：
每人每月10元
3.收费标准：
根据调查：
宿舍人数
价格
1500
1200
1000
800
5.2.2模型求解：
数据分析得到表3：
4123545元
12502000元
10476300元
8864200元
420元
636元
570元
705元
800元
1200元
1000元
1500元
根据matlab绘制利润回收与年限的关系件图4：
年与利润的关系
图4
规定，越早收回成本则优越性越好，由图可以看出，方案1最先收回成本，所以从经济性上考虑方案1是最优的，其次是方案4、方案2、方案3。
5.3.针对舒适性指标建立层次分析法模型
5.3.1建立层次分析法模型结构如下图所示：
5.3.2模型求解：
1.人均面积：
（人均占总面积的大小）
人均占有面积越大优先度越高
根据附表分析与计算可得表1：
人均占有面积
4.8
12
9.8
14.3
所以从人均面积方面考虑得出方案4最有优势，其次是方案2、方案3、方案1.
2.使用方便：
（人均占公共设施面积的大小）
考虑的是公共设施人均占有面积，人均占有面积越大，说明使用方便性高。
根据附表分析与计算可得表2-4：
个数
总面积
每人占地面积
沐浴室
27.54
0.15
浣洗室
27.52
卫生间
55
178.2
0.81
54.4
0.25
活动室
115.8
0.5
自修室
55.4
简易餐厅
93.2
0.42
42.4
0.19
315.21
1.38
56.2
垃圾间
9.2
0.04
开水房
22
95.04
0.72
79.2
0.6
客厅
261.36
1.98
所以从4个表中进行统计得到公共设施人均占有面积如下表：
综合
人均占地面积
1.11
2.23
1.9
3.3
表3
所以从使用方便上考虑方案4最有优势，其次是方案2、方案1、方案3.
3.互不干扰:
（寝室人数与寝室面积的比）
每个宿舍的占地面积与人数之比越大，则学生之间互不干扰度越高。
根据附表可得表4：
宿舍面积/m²
寝室人数
人均占有面积/m²
25.5
3.19
25
6.25
26.9
4.48
52.5
8.75
表4
所以从互不干扰方面考虑方案4的互不干扰度最高,其次是方案2、方案3、方案1。
4.采光通风：
（采光比）
采光比等于窗户总面积与寝室总面积之比。
采光比越大采光通风性越好（
为窗户总面积，
为寝室总面积，采光比为
）。
根据附图统计得到下表：
单一窗户面积/m²
窗户总面积/m²
寝室总面积/m²
采光比
45.54
586.5
0.0776
1.76
96.8
1375
0.0704
3.534
134.3
1022.2
0.1318
1155
通过上表，所以从采光通风方面考虑，方案3的采光最好，其次是方案1、方案2、方案4。
根据优先选择程度越大的准则以上所有表（人均面积方面方案4更有优势，使用方便上方案4更有优势，互不干扰方面方案4更有优势，采光通风方面方案3最有优势）对舒适性方面综合得出：
方案4是舒适度最高的，其次是，方案2、方案3、方案1。
5.4针对安全性指标建立层次分析法模型
5.4.1建立层次分析法模型结构如下图所示：
5.4.2模型求解：
1.人员疏散：
（疏散宽度）
对人员疏散方面分析，人员疏散影响因素有：
楼梯个数，楼梯宽度，走廊宽度及人流密度
根据附图得出下表：
总人数
（人）
每层楼房总面积（m²
）
楼梯个数
（个）
楼梯宽度
（米）
走廊宽度（米）
184
877.35
1.55
2.4
220
2660
1.80
1.8
228
2229
132
1886.64
根据网上调查可知，每层楼的疏散人数换算系数：
公共场所
层数
一二层
三层
四层及以上
系数
0.85
0.77
0.60
走廊楼道出口门
0.65
0.75
1.00
地上的面积折算值为50%-70%
根据公式:
[5]
疏散宽度=楼层面积×
土地面积折算值×
疏散系数/总人数
根据公式计算得到下表：
一、二层
四层
平均疏散宽度
1.317
1.377
1.43
1.375
3.34
3.491
3.627
3.486
2.7
2.823
2.933
2.819
3.948
4.127
4.288
4.121
所以从人员疏散方面考虑方案4人员疏散最快，其次是方案2、方案3、方案1.
2.防盗：
根据附图可得以下数据：
窗与窗的距离
0.7
0.3
2.1
无
寝室人数越少，窗户与窗户之间的距离越大说明防盗越安全，由附表可知方案4没有窗户，寝室人数最少，所以防盗最安全。
根据表格从安全性上考虑方案4安全性最好。
根据以上对经济性、舒适性、安全性的评价绘制如下图：
根据综合权向量的权值和上图可得方案4综合指标最高,其次是方案2、方案3、方案1
6.模型的评价与推广
6.1模型的评价：
本题给出四个附图，对宿舍的经济性、舒适性、安全性做出科学合理的决策，此类决策是多目标、多因素、多层次的复杂问题。
而层次分析模型就是处理多目标、多准则、多因素、多层次问题的，还可进行定性与定量系统分析、决策分析、综合评价等。
通过建立层次分析模型，将复杂的难于定性分析的问题转化为简捷明晰的定量分析问题，并运用成对比较法和1—9比较尺度构造成对比较阵,利用MATLAB计算得到最大特征根和特征向量，根据附图进行计算与比较还列出大量表格，使得到的结果非常直观，易于理解，让问题很明了，思路很清晰。
本模型的弊端：
由于定量数据较少，定性成分多，不能形成比较严格的数学论证和完善的定量方法。
6.2模型的推广：
此模型具有系统性、实用性、简洁易懂性等优点，因此它可用于经济计划、管理决策、教育评估等领域。
7.参考文献
[1]许树柏，层次分析法原理，天津：
天津大学出版社，1988年。
[2]刘卫国，MATLAB程序设计教程，北京：
中国水利水电出版社,2005年。
[3]地价信息
2011年8月8日。
[4]陕西省水.电费用
2011年8月8日
[5]疏散宽度计算方法2011年8月9日。
8.附录
附录一.求经济性：
=53360t-4123545
=190080t-12502000
=143640t-10476300
=144540t-8864200
附录二.人员疏散：
根据公式：
根据以上表格得到如下函数：
Design1（一，二层）的疏散宽度=877.35×
0.85×
0.65×
0.5÷
184=1.317
Design1（三层）的疏散宽度=877.35×
0.77×
0.75×
184=1.377
Design1（四层以上）的疏散宽度=877.35×
0.60×
1.00×
184=1.430
Design2（一，二层）的疏散宽度=2660×
220=3.340
Design2（三层）的疏散宽度=2660×
220=3.491
Design2（四层以上）的疏散宽度=2660×
220=3.627
Design3（一，二层）的疏散宽度=2229×
228=2.700
Design3（三层）的疏散宽度=2229×
228=2.823
Design3（四层以上）的疏散宽度=2229×
228=2.933
Design4（一二层）的疏散宽度=1886.64×
132=3.948
Design4（三层）的疏散宽度=1886.64×
132=4.127
Design4（四层以上）的疏散宽度=1886.64×
132=4.288
平均疏散宽度越大说明人员疏散越快,每个方案平均疏散宽度如下表：
设计方案
Design1
Design2
Design3
Design4
附录三.绘制经济.舒适.安全调查图的程序：
clear
x=[563014];
explode=[100];
pie（x,explode）
legend（'
安全'
'
舒适'
经济'
title（'
经济性、舒适性、安全性在宿舍设计方案中的比重'
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