学年人教版数学七年级下册第5章 相交线与平行线 解答题练习一Word文件下载.docx
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如图,过点E作EF∥CD.
又∵CD∥AB( ),
∴EF∥AB( ).
∴∠CEF+∠C=180°
,∠AEF+∠A=180°
( ).
∴∠CEF=180°
﹣∠C,∠AEF=180°
﹣∠A,
∴∠AEC=∠AEF﹣∠CEF
=(180°
﹣∠A)﹣(180°
﹣∠C)( )
=180°
﹣∠A﹣180°
+∠C
=∠C﹣∠A.
即:
6.如图,在△ABC中,点D、F在BC边上,点E在AB边上,点G在AC边上,EF与GD的延长线交于点H,∠CDG=∠B,∠1+∠FEA=180°
求证:
(1)EH∥AD;
(2)∠BAD=∠H.
7.阅读下面内容,并解答问题
在学习了平行线的性质后,老师请同学们证明命题:
两条平行线被第三条直线所截,一组同旁内角的平分线互相垂直.
小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件.
已知:
如图1,AB∥CD,直线EF分别交AB,C于点E,F.∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于点G.
(1)直线EG,FG有何关系?
请补充结论:
“ ”,并写出证明过程;
(2)请从下列A、B两题中任选一题作答,我选择 题,并写出解答过程.
A.在图1的基础上,分别作∠BEG的平分线与∠DFG的平分线交于点M,得到图2,求∠EMF的度数.
B.如图3,AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于点E,F.点O在直线AB,CD之间,且在直线EF右侧,∠BEO的平分线与∠DFO的平分线交于点P,请猜想∠EOF与∠EPF满足的数量关系,并证明它.
8.如图,直线AB、CD相交于点O,OE平分∠BOD,OF平分∠COE,且∠1:
∠2=1:
4,求∠AOC和∠AOF的度数.
9.如图,直线AB、CD相交于点O,∠AOD=2∠BOD,OE平分∠BOD,OF平分∠COE.
(1)求∠DOE的度数;
(2)求∠AOF的度数.
10.如图,直线AB与CD相交于O,OE是∠AOC的平分线,OF⊥OE.
(1)若∠AOC=110°
,求∠DOE的度数;
(2)试说明OF平分∠BOC.
11.如图,直线AB和直线CF相交于点O,∠BOC=α.
(1)如图1,若α=60°
,射线OD平分∠AOC,∠DOE=90°
,试求∠EOF的度数;
(2)如图2,若∠AOD=
∠AOC,∠DOE=60°
(3)如图3,若∠AOD=
∠AOC,∠DOE=
(n≥2,n为整数),那么∠EOF与α的度数有何数量关系?
(直接写出结果,不写过程)
12.已知:
如图1,DE∥AB,DF∥AC.
(1)求证:
∠A=∠EDF.
(2)点G是线段AC上的一点,连接FG,DG.
①若点G是线段AE的中点,请你在图2中补全图形,判断∠AFG,∠EDG,∠DGF之间的数量关系,并证明.
②若点G是线段EC上的一点,请你直接写出∠AFG,∠EDG,∠DGF之间的数量关系.
13.填空或填理由,完成下面的证明.
如图,CD分别交AD、AE、BE于点D、F、C,连接AB、AC,AD∥BE,∠1=∠2,∠3=∠4.
AB∥CD.
∵AD∥BE(已知)
∴∠3=∠CAD( )
∵∠3=∠4(已知)
∴∠4= (等量代换)
∵∠1=∠2(已知)
∴∠1+∠CAE=∠2+∠CAE(等式的基本性质)
即∠BAE=
∴AB∥CD.
14.实验证明,平面镜反射光线的规律是:
射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等.
(1)如图,一束光线m射到平面镜上,被a镜反射到平面镜b上,又被b镜反射,若被b镜反射出的光线n与光线m平行,且∠1=50°
,则∠2= °
,∠3= °
(2)在
(1)中,若∠1=55°
,则∠3= °
,若∠1=40°
;
(3)由
(1)
(2)请你猜想:
当两平面镜ab的夹角∠3= °
时,可以使任何射到平面镜a上的光线m与反射光线n平行,请说明理由.
15.如图,已知射线CD∥AB,∠C=∠ABD=110°
,E,F在CD上,且满足∠EAD=∠EDA,AF平分∠CAE.
(1)求∠FAD的度数;
(2)若向右平行移动BD,其它条件不变,那么∠ADC:
∠AEC的值是否发生变化?
若变化,找出其中规律;
若不变,求出这个比值;
(3)在向右平行移动BD的过程中,是否存在某种情况,使∠AFC=∠ADB?
若存在,请求出∠ADB度数;
若不存在,说明理由.
参考答案
1.解:
(1)∵AE平分∠BAC,AF平分∠CAD(已知),
∴∠BAC=2∠1,∠CAD=2∠2(角平分线定义).
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=2(∠1+∠2)=116°
∴∠BAD+∠B=180°
∴AD∥BC(同旁内角互补,两直线平行).
故答案为:
2∠2,116,180,同旁内角互补,两直线平行;
(2)∵AE⊥BC,∠B=64°
∴∠AEB=90°
∴∠BAE=180°
﹣∠AEB﹣∠B=180°
﹣90°
﹣64°
=26°
∵∠BAC=2∠BAE=52°
∴∠ACB=180°
﹣∠B﹣∠BAC=180°
﹣52°
=64°
2.解:
(1)∠FAB=∠4,
理由如下:
∵AC∥EF,
∴∠1+∠2=180°
又∵∠1+∠3=180°
∴∠2=∠3,
∴FA∥CD,
∴∠FAB=∠4;
(2)∵AC平分∠FAB,
∴∠2=∠CAD,
∵∠2=∠3,
∴∠CAD=∠3,
∵∠4=∠3+∠CAD,
∴
∵EF⊥BE,AC∥EF,
∴AC⊥BE,
∴∠ACB=90°
∴∠BCD=90°
﹣∠3=51°
3.解:
【问题】∵M、N分别是线段AC、BC的中点,
∴MC=
,NC=
∵MN=MC+NC=
=
=5;
【拓展】∵M、N分别是线段AC、BC的中点,
(1)∵射线OM、ON分别平分∠AOC、∠BOC,
∴∠MOC=
∵∠MON=∠MOC+∠CON=
(2)∵AM∥BN,∠A=68°
∴∠ABN=180°
﹣68°
=112°
又∵BC、BD分别平分∠ABP、∠PBN
∴由
(1)结论可知,
∠CBD=
∵∠ACB=∠ADB+∠CBD,
∴∠ACB﹣∠ADB=∠CBD=56°
∠ACB与∠ADB的差为56°
4.解:
当AC∥DE时,如图所示:
则∠CAE=∠E=90°
当BC∥AD时,如图所示:
则∠CAE=180°
﹣∠C﹣∠DAE=180°
﹣30°
﹣45°
=105°
当BC∥AE时,
∵∠EAB=∠B=60°
∴∠CAE=∠CAB+∠EAB=90°
+60°
=150°
综上所述:
∠CAE的度数为90°
或105°
或150°
5.解:
如图,过点E作EF∥CD,
又∵CD∥AB(已知),
∴EF∥AB(平行于同一条直线的两条直线平行).
(两直线平行,同旁内角互补).
﹣∠C)(等量代换)
已知;
平行于同一条直线的两条直线平行;
两直线平行,同旁内角互补;
等量代换.
6.证明:
(1)∵∠CDG=∠B,
∴DG∥AB,
∴∠1=∠BAD,
∵∠1+∠FEA=180°
∴∠BAD+∠FEA=180°
∴EH∥AD;
(2)由
(1)得:
∠1=∠BAD,EH∥AD,
∴∠1=∠H,
∴∠BAD=∠H.
7.解:
(1)结论:
EG⊥FG;
理由:
如图1中,∵AB∥CD,
∴∠BEF+∠DFE=180°
∵EG平分∠BEF,FG平分∠DFE,
∴∠GEF=
∴∠GEF+∠GFE=
=90°
在△EFG中,∠GEF+∠GFE+∠G=180°
∴∠G=180°
﹣(∠GEF+∠GFE)=180°
∴EG⊥FG.
EG⊥GF;
(2)A.如图2中,由题意,∠BEG+∠DFG=90°
∵EM平分∠BEG,MF平分∠DFG,
∴∠BEM+∠MFD=
(∠BEG+∠DFG)=45°
∴∠EMF=∠BEM+∠MFD=45°
B.结论:
∠EOF=2∠EPF.
如图3中,由题意,∠EOF=∠BEO+∠DFO,∠EPF=∠BEP+∠DFP,
∵PE平分∠BEO,PF平分∠DFO,
∴∠BEO=2∠BEP,∠DFO=2∠DFP,
∴∠EOF=2∠EPF,
A或B.
8.解:
∵OE平分∠BOD,
∴∠1=∠BOE,
∵∠1:
4,
∴设∠1=x°
,则∠EOB=x°
,∠AOD=4x°
∴x+x+4x=180,
解得:
x=30,
∴∠1=30°
,∠DOB=60°
∴∠COE=150°
∵OF平分∠COE,
∴∠EOF=75°
∴∠BOF=75°
=45°
∴∠AOF=180°
=135°
则∠AOC=180°
﹣∠2=180°
﹣4x°
=60°
9.解:
(1)∵∠AOD+∠BOD=180°
,∠AOD=2∠BOD,
∴∠AOD=180°
×
=120°
,∠BOD=180°
∴∠DOE=∠BOE=
∠BOD=30°
(2)∵∠COE+∠DOE=180°
∴∠COE=180°
﹣∠DOE=180°
∴∠COF=∠EOF=
∠COE=
150°
=75°
又∵∠AOC=∠BOD=60°
∴∠AOF=∠AOC+∠COF=60°
+75°
10.解:
(1)∵∠AOC=110°
,OE平分∠AOC,
∴∠AOE=55°
又∵∠AOD=70°
∴∠DOE=125°
(2)理由:
∵OF⊥OE,
∴∠EOF=90°
∴∠EOC+∠COF=90°
,∠AOE+∠BOF=90°
∵∠AOE=∠EOC,
∴∠BOF=∠COF,
即OF平分∠BOC.
11.解:
(1)∵∠BOC+∠AOC=180°
,∠BOC=60°
∴∠AOC=120°
∵OD平分∠AOC,
∵∠DOE=90°
∴∠AOE=90°
﹣60°
=30°
∵∠EOF+∠AOE+∠AOC=180°
∴∠EOF=180°
﹣120°
(2)∵∠AOD=
∠AOC,
∴∠AOC=3∠AOD,
∵∠BOC+∠AOC=180°
∴α+3∠AOD=180°
∴∠AOD=
∴∠AOE=∠DOE﹣∠AOD=
∴∠EOF=∠AOF﹣∠AOE=
(3)∠EOF与α的数量关系为:
设∠AOD为x,则∠AOC=nx,
∵∠AOD+∠BOC=180°
∴nx+α=180°
∴x=
∵∠AOF=∠BOC=α,∠AOE=∠DOE﹣x=
∴∠EOF=α﹣
12.解:
(1)∵DE∥AB,DF∥AC,
∴∠EDF+∠AFD=180°
,∠A+∠AFD=180°
∴∠EDF=∠A;
(2)①∠AFG+∠EDG=∠DGF.
如图2所示,过G作GH∥AB,
∵AB∥DE,
∴GH∥DE,
∴∠AFG=∠FGH,∠EDG=∠DGH,
∴∠AFG+∠EDG=∠FGH+∠DGH=∠DGF;
②∠AFG﹣∠EDG=∠DGF.
如图所示,过G作GH∥AB,
∴∠AFG﹣∠EDG=∠FGH﹣∠DGH=∠DGF.
13.解:
∴∠3=∠CAD(两直线平行内错角相等)
∴∠4=∠CAD(等量代换)
即∠BAE=∠CAD
∴∠4=∠BAE(等量代换)
故答案为(两直线平行内错角相等),∠CAD,∠CAD,∠BAE.
14.解:
(1)∵入射角与反射角相等,即∠1=∠4,∠5=∠6,
根据邻补角的定义可得∠7=180°
﹣∠1﹣∠4=80°
根据m∥n,所以∠2=180°
﹣∠7=100°
所以∠5=∠6=(180°
﹣100°
)÷
2=40°
根据三角形内角和为180°
,所以∠3=180°
﹣∠4﹣∠5=90°
100,90.
(2)由
(1)可得∠3的度数都是90°
90,90.
(3)理由:
因为∠3=90°
所以∠4+∠5=90°
又由题意知∠1=∠4,∠5=∠6,
所以∠2+∠7=180°
﹣(∠5+∠6)+180°
﹣(∠1+∠4),
=360°
﹣2∠4﹣2∠5,
﹣2(∠4+∠5),
由同旁内角互补,两直线平行,可知:
m∥n.
90.
15.解:
(1)∵射线CD∥AB,∠C=110°
∴∠CAB=70°
,∠BAD=∠EAD,
∵∠EAD=∠EDA,
∴∠EAD=∠BAD=
∠EAB.
∵AF平分∠CAE,
∴∠FAD=∠FAE+∠EAD=
∠CAB=
70°
=35°
(2)不变.
∵AB∥CD,∠C=110°
当BD向右平移时,∠EAD增大,∠CAB不变,
∵∠EAD=∠EDA,∠AEC=∠EAD+∠EDA,
∴∠ADC:
∠AEC=1:
2;
(3)存在.
设∠BAD=∠EAD=∠EDA=x°
∵由
(1)知∠FAD=35°
∴∠AFC=x°
+35°
∵AB∥CD,∠ABD=110°
∴∠BDC=70°
∴∠ADB=70°
﹣x°
∵∠AFC=∠ADB,
∴x°
=70°
,解得x=17.5°
﹣17.5°
=52.5°