有理数加法运算律导学案.docx

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有理数加法运算律导学案

有理数加法运算律导学案

第9时有理数加法运算律

一、学习目标1．进一步掌握有理数的加法运算法则，理解加法运算律在有理数范围内推广的合理性；

2．学会把知识运用于实践，灵活、合理地运用加法运算律简化运算；

3．经历有理数加法中运算律的探索，概括出有理数加法仍满足加法交换律和结合律；

4．通过自主探索有理数加法运算律，体会观察、实验、归纳、推理等活动在数学学习中的作用．

二、知识回顾1．有理数的加法法则：

同号两数相加，取　　相同的　　符号，并把　　绝对追　　相加．

异号两数相加，绝对值相等时，和为　　０　　；绝对值不相等时，取　　绝对值较大的加数　　的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．

一个数同　　０　　相加，仍得这个数．

2．小学里学过加法的运算律有哪些？

　　加法交换律、加法结合律　　

三、新知讲解1有理数加法交换律

加法交换律：

两个数相加，交换加数的位置，和不变．即

a+b=b+a．

（注意：

运算律式子中的字母a，b表示任意的一个有理数，可以是正数，也可以是负数或者零在同一个式子中，同一个字母表示同一个数．）

2有理数加法结合律

加法结合律：

三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．即

（a+b）+=a+（b+）或（a-b）-=a+（-b-）

四、典例探究

1．有理数加法运算律

【例1】用加法运算律转化式子（－9）+87+（－1）正确的是（）

A（－9）＋（－87）＋1B．（－9）＋（－1）＋（－87）

．（－9）＋（－1）＋87D．（－87）＋（9＋1）

总结：

根据加法的交换律和结合律可以得出：

三个以上的有理数相加，可以任意交换加数的位置，也可以先把其中的几个加数相加．

练1．计算（-）+（-12）+2时，为了简便运算，第一步应先利用的加法运算律是（）

A．交换律B．结合律．交换律和结合律D．不确定

练2．运用加法运算律简化计算

（1）（-）＋＋（-）；

（2）（-）＋3＋27＋（-8）．

2多个有理数的加法

【例2】用简便方法计算：

（1）；

（2）．

总结：

简化加法运算一般有如下技巧：

（1）凑0，互为相反数的两数结合，其结果为0；

（2）凑整，即几个非整数的有理数相加，可先把相加得整数的加数相加；

（3）同号的两数结合，即正数与正数结合，负数与负数结合；

（4）同分母或便于通分的结合．

练3．计算：

（－248）+433+（－72）+（－433）．

练4．计算：

．

3．有理数加法在生活中的应用

【例3】李华用400元批发（购买）了8套儿童服装，全部卖出，如果每套以元的价格为标准，超出的记作正数，不足的记作负数，记录如下：

+2，﹣3，+2，+1，﹣2，﹣3，0，﹣2．问：

李华在这次买卖中是盈利还是亏损，盈利或亏损多少元钱？

总结：

此类问题一般比较简单，通常直接根据题意列式并计算，再结合实际意义得到结论，在计算时，注意运算顺序和运算律的合理使用，以便简便计算．

练．为体现社会对教师的尊重，教师节这一天上午，出租车司机小王在东西向的公路上免费接送老师．如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：

千米）：

+1，﹣4，+13，﹣10，﹣12，+3，﹣13，﹣17．

（1）最后一名老师送到目的地时，小王距出车地点的距离是多少？

（2）若汽车耗油量为04升/千米，这天下午汽车共耗油多少升？

练6．食堂购进10袋大米，每袋以100千克为准，称重时，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重记录如下：

+，﹣3，+7，0，0，+2，﹣4，﹣1，+8，﹣2．

食堂共购进大米多少千克？

五、后小测一、填空题

1．计算－127＋78+（－23）的结果为　　　　．

2．绝对值不大于10的所有整数的和是　　　．

3．在括号内填写算式中这一步运算的根据：

（＋）＋（－）＋（＋）＋（－）

=（＋）＋（＋）＋（－）＋（－）（）

=[（＋）＋（＋）]＋[（－）＋（－）]（　　　）

=（＋11）＋（－7）（　　　　）

=4（　　　　）．

4．某商店去年四个季度盈亏情况如下（盈余为正）：

128万元，-140万元，-28万元，280万元，这个商店去年总的盈亏情况为：

　　　　．

二、解答题

．运用加法运算律简化计算

（1）（—）＋＋（—）；

（2）（—）＋3＋27＋（—8）．

6．计算：

（﹣2）+（+）+（﹣3）+（+112）+（+4）．

7．计算：

31+（﹣28）+28+69．

8．简便计算：

（1）2+（﹣2）+（﹣1）+2+（﹣3）；

（2）（﹣37）++（﹣2）+（﹣4）+3+（﹣1）．

9．阅读下列第

（1）题中的计算方法，再计算第

（2）题中式子的值．

（1）﹣+（﹣9）++（﹣3）

解：

原式=[（﹣）+（﹣）]+[（﹣9）+（﹣）]+[（+17）+（+）]+[（﹣3）+（﹣）]

=[（﹣）+（﹣9）+（+17）+（﹣3）]+[（﹣）+（﹣）+（+）+（﹣）]

=0+（﹣1）

=﹣．

上面这种方法叫拆项法．仿照上述方法计算：

（2）（﹣2008）+（﹣2007）++（﹣）．

10．有五袋薯片，以每袋00克为准，超过的克数记为正，不足的克数记为负，称重记录如下：

+3克，－176克，－3克，+2克，+276克，这五袋薯片的总质量超过或不足多少克?

11．8筐白菜，以每筐2千克为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重的记录如下：

1，﹣3，2，﹣0，1，﹣2，﹣2，﹣2，8筐白菜的总重量是多少？

12．2008年9月，受台风“韦帕”影响，我市某水库某天8：

00的水位为﹣03（以警戒线为基准，记高于警戒线的水位为正），在以后的6个时刻测得的水位升降情况如下（记上升为正，单位：

）：

04，﹣02，0，﹣02，﹣01，﹣02．

经这6次水位升降后，水库的水位超过警戒线了吗？

高于或低于警戒线多少米？

13．蜗牛妈妈在一条笔直的暗沟里回爬行寻找食物，先从家（即点）出发，假定向右爬行的路程为正数，向左爬行的路程为负数，爬行的各段路程依次为（单位：

）：

＋，－3，＋10，－8，－6，＋12，－10．

（1）蜗牛妈妈最后是否回到出发点？

（2）离开出发点的最远距离是多少？

（3）在爬行的过程中，如果每爬行1能寻到一份食物，则蜗牛妈妈一共得到多少份食物？

例题详解：

【例1】用加法运算律转化式子（－9）+87+（－1）正确的是（）．

A（－9）＋（－87）＋1B．（－9）＋（－1）＋（－87）

．（－9）＋（－1）＋87D．（－87）＋（9＋1）

解析：

观察式子可知先运用交换律把87与－1交换可使计算简便，注意交换时要连同符号一起交换．

答案：

．

【例2】用简便方法计算：

（1）；

（2）．

解析：

（1）原式=

=20+0

=20．

（2）原式=

=

=

=-3．

【例3】李华用400元批发（购买）了8套儿童服装，全部卖出，如果每套以元的价格为标准，超出的记作正数，不足的记作负数，记录如下：

+2，﹣3，+2，+1，﹣2，﹣3，0，﹣2．问：

李华在这次买卖中是盈利还是亏损，盈利或亏损多少元钱？

分析：

把记录的所有的数相加，根据有理数的加法运算法则进行计算，如果是正数，则盈利，是负数，则亏损．

解答：

解：

（+2）+（﹣3）+（+2）+（+1）+（﹣2）+（﹣3）+0+（﹣2）

=2﹣3+2+1﹣2﹣3+0﹣2

=﹣，

故李华在这次买卖中亏损，亏损元钱．

点评：

本题考查了有理数的加法运算，以及正负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．

练习答案：

练1．计算（-）+（-12）+2时，为了简便运算，第一步应先利用的加法运算律是（）

A．交换律B．结合律．交换律和结合律D．不确定

解：

观察算式，可知先利用加法结合律交换把-12与2结合可简便运算．故选B．

练2．运用加法运算律简化计算

（1）（-）＋＋（-）；

（2）（-）＋3＋27＋（-8）．

解：

（1）原式=-（）＋

=-＋

=-；

（2）原式=（＋3＋27）＋[（-）＋（-8）]

=6＋（-9）

=-3．

练3．计算：

（－248）+433+（－72）+（－433）．

解：

原式=[（－248）+（－72）]+[433+（－433）]

=-10+0

=-10．

练4计算：

；

解：

原式=

=

=．

练．为体现社会对教师的尊重，教师节这一天上午，出租车司机小王在东西向的公路上免费接送老师．如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：

千米）：

+1，﹣4，+13，﹣10，﹣12，+3，﹣13，﹣17．

（1）最后一名老师送到目的地时，小王距出车地点的距离是多少？

（2）若汽车耗油量为04升/千米，这天下午汽车共耗油多少升？

分析：

首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．

解答：

解：

（1）根据题意：

规定向东为正，向西为负：

则

（+1）+（﹣4）+（+13）+（﹣10）+（﹣12）+（+3）+（﹣13）+（﹣17）=﹣2千米，

故小王在出车地点的西方，距离是2千米；

（2）这天下午汽车走的路程为

|+1|+|﹣4|+|+13|+|﹣10|+|﹣12|+|+3|+|﹣13|+|﹣17|=87，

若汽车耗油量为04升/千米，则87×04=348升，

故这天下午汽车共耗油348升．

点评：

解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．一般情况下具有相反意义的量才是一对具有相反意义的量．

练6．食堂购进10袋大米，每袋以100千克为准，称重时，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重记录如下：

+，﹣3，+7，0，0，+2，﹣4，﹣1，+8，﹣2．

食堂共购进大米多少千克？

分析：

求出10袋大米总计超出或不足的重量，再加上10×100千克即可．

解答：

解：

（+）+（﹣3）+（+7）+0+0+2+（﹣4）+（﹣1）+8+（﹣2）

=+7+2+8+（﹣3）+（﹣4）+（﹣1）+（﹣2）

=22+（﹣10）=12，

100×10+12=1012（千克）．

答：

食堂共购进大米1012千克．

点评：

用正数表示其中一种意义的量，另一种量用负数表示；特别地，在用正负数表示向指定方向变化的量时，通常把向指定方向变化的量规定为正数，而把向指定方向的相反方向变化的量规定为负数．

后小测答案：

1．计算－127＋78+（－23）的结果为　　-72　　．

解：

－127+（－23）＋78=-72

2．绝对值不大于10的所有整数的和是　　0_　　．

解：

绝对值不大于10的所有整数是±10，±9，±8，…±1，0，它们的和为0

3．在括号内填写算式中这一步运算的根据：

（＋）＋（－）＋（＋）＋（－）

=（＋）＋（＋）＋（－）＋（－）（加法交换律）

=[（＋）＋（＋）]＋[（－）＋（－）]（　　加法结合律　　）

=（＋11）＋（－7）（　　同号两数相加法则　　）

=4（　　异号两数相加法则　　）．

解：

分析式子的过程可得出每一步的依据．答案为：

加法交换律，加法结合律，同号两数相加法则，异号两数相加法则解析．

4．某商店去年四个季度盈亏情况如下（盈余为正）：

128万元，-140万元，-28万元，280万元，这个商店去年总的盈亏情况为：

　　盈利173万元　　．

解：

128+（-140）+（-28）+280=128+（-28）+280+（-140）=100+140=240（万元）＞0，

∴这个商店去年盈利173万元．

．运用加法运算律简化计算

（1）（—）＋＋（—）；

（2）（—）＋3＋27＋（—8）．

解：

（1）原式=—（）＋

=—＋

=—；

（2）原式=（＋3＋27）＋[（—）＋（—8）]

=6＋（—9）

=—3．

6．计算：

（﹣2）+（+）+（﹣3）+（+112）+（+4）

解：

原式=（﹣2+112）+（﹣3+4）+

=﹣1+1+

=．

7．计算：

31+（﹣28）+28+69

解：

原式=（31+69）+（﹣28+28）

=100+0

=100．

8．简便计算：

（1）2+（﹣2）+（﹣1）+2+（﹣3）；

（2）（﹣37）++（﹣2）+（﹣4）+3+（﹣1）．

解：

（1）原式=2++（﹣2）+（﹣）+（﹣1）+（﹣）+2++（﹣3）+（﹣）

=（2﹣2﹣1+2﹣3）+（﹣﹣﹣+）

=﹣2﹣+

=﹣+

=﹣2；

（2）原式=﹣3+3++（﹣4）+（﹣2）+（﹣1）

=1﹣3﹣1

=﹣3；

9．阅读下列第

（1）题中的计算方法，再计算第

（2）题中式子的值．

（1）﹣+（﹣9）++（﹣3）

解：

原式=[（﹣）+（﹣）]+[（﹣9）+（﹣）]+[（+17）+（+）]+[（﹣3）+（﹣）]

=[（﹣）+（﹣9）+（+17）+（﹣3）]+[（﹣）+（﹣）+（+）+（﹣）]

=0+（﹣1）

=﹣

上面这种方法叫拆项法．仿照上述方法计算：

（2）（﹣2008）+（﹣2007）++（﹣）

解：

原式=（﹣2008）+（﹣）+（﹣2007）+（﹣）+4017++（﹣1）+（﹣）

=（﹣2008﹣2007+4017﹣1）+（﹣﹣+﹣）

=1﹣

=﹣．

10．有五袋薯片，以每袋00克为准，超过的克数记为正，不足的克数记为负，称重记录如下：

+3克，－176克，－3克，+2克，+276克，这五袋薯片的总质量超过或不足多少克?

解：

12+3+（－176）+（－3）+2+276=[+3+（－3）]+[（－176）+276]+2=3（克），

答：

这五袋薯片的总质量超过克

11．8筐白菜，以每筐2千克为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重的记录如下：

1，﹣3，2，﹣0，1，﹣2，﹣2，﹣2，

8筐白菜的总重量是多少？

解：

1+（﹣3）+2+（﹣0）+1+（﹣2）+（﹣2）+（﹣2）

=[1+1+（﹣2）]+[2+（﹣2）]+[（﹣3）+（﹣2）+（﹣0）]

=0+0+（﹣）

=﹣

2×8+（﹣）=194（千克），

答：

8筐白菜的总重量是194千克．

12．2008年9月，受台风“韦帕”影响，我市某水库某天8：

00的水位为﹣03（以警戒线为基准，记高于警戒线的水位为正），在以后的6个时刻测得的水位升降情况如下（记上升为正，单位：

）：

04，﹣02，0，﹣02，﹣01，﹣02．

经这6次水位升降后，水库的水位超过警戒线了吗？

高于或低于警戒线多少米？

解：

﹣03+04﹣02+0﹣02﹣01﹣02=﹣01，没有超过警戒线，低于警戒线01米．

13．蜗牛妈妈在一条笔直的暗沟里回爬行寻找食物，先从家（即点）出发，假定向右爬行的路程为正数，向左爬行的路程为负数，爬行的各段路程依次为（单位：

）：

＋，－3，＋10，－8，－6，＋12，－10．

（1）蜗牛妈妈最后是否回到出发点？

（2）离开出发点的最远距离是多少？

（3）在爬行的过程中，如果每爬行1能寻到一份食物，则蜗牛妈妈一共得到多少份食物？

解：

（1）＋（－3）＋10＋（－8）＋（－6）＋12＋（－10）

=（＋12）＋[（－3）＋（－8）＋（－6）]＋[10＋（－10）]

=17＋（－17）＋0

=0．

所以蜗牛妈妈最后回到了出发点．

（2）|＋（－3）|=2，

|＋（－3）＋10|=12，

|＋（－3）＋10＋（－8）|=4，

|＋（－3）＋10＋（－8）＋（－6）|=2，

|＋（－3）＋10＋（－8）＋（－6）＋12|=10，

|＋（－3）＋10＋（－8）＋（－6）＋12＋（－10）|=0

所以离开出发点的最远距离是12．

（3）|＋|＋|（－3）|＋10＋|（－8）|＋|（－6）|＋12＋|（－10）|

=＋10＋3＋10＋8＋6＋12＋10

＝4．

所以蜗牛妈妈一共得到4份食物．