湖南省长沙市届上学期高三统一检测理科数学文档格式.docx

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的充分不必

要条件.

【点睛】本道题考查了充分必要条件判定以及等比数列的性质，难度中等。

4.下列函数中，图象关于原点对称且单调递增的是（）

A.

选项，

B.C.D.

，函数单调递减不符合条件；

选项，定义域不关于原点对称，不符合条件；

选项，函

数图象先减后增，在

时，函数取得最小值，不符合条件；

选项中，因为，

所以函数

合条件，故选D.

为奇函数，将函数式变为，随着增大函数值也增大，

是单调递增函数，符

5.已知一种元件的使用寿命超过年的概率为

则这个元件使用寿命超过年的概率为（）A.B.C.D.

，超过年的概率为，若一个这种元件使用到年时还未失效，

结合条件概率计算公式

，代入数据，即可。

【详解】，

【点睛】本道题考查了条件概率计算公式，难度中等。

6.已知，是双曲线

的面积为（）

A.B.C.D.【答案】C

的上、下焦点，点是其一条渐近线上一点，且以

为直径的圆过点，则

本道题结合双曲线的性质，计算渐近线方程以及圆的方程，计算面积，即可。

【详解】渐近线方程为所以

，该圆的方程为

，故选C。

，则其中一个点P的坐标为，

【点睛】本道题考查了双曲线性质以及圆方程计算方法，难度中等。

7.在

中，，，

，且是

的外心，则（）

A.B.C.

D.

建立坐标系，分别计算出B,A,O坐标，代入，结合向量数量积坐标表示，即可。

【详解】建立坐标系，以C为原点，

则

所以，故选D。

【点睛】本道题考查了向量数量积坐标表示，难度中等。

8.我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：

“缘幂势即同，则积不容异也”.“幂”是截

面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等.已知某不规则几何体与如图三视图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（）

正视图

侧视图

俯视图

A.B.C.D.【答案】B

本道题结合三视图，还原直观图，利用正方体体积，减去半圆柱体积，即可。

结合三视图，还原直观图，故，故选B。

【点睛】本道题考查了三视图还原直观图以及空间几何体体积计算方法，难度较小。

9.已知

是函数

图象的一个最高点，

是与相邻的两个最低点.

设，

若

，则

B.

的图象对称中心可以是（）

结合题意，分别计算各个参数，代入特殊值法，计算对称中心，即可。

【详解】结合题意,绘图

，，所以周期，解得，所以

，令k=0，得到

所以，对称中心的，令m=3,得到对称中心坐标为，故选D。

【点睛】本道题考查了三角函数解析式求法，以及三角函数性质，难度中等。

10.已知

，若函数

有三个零点，则实数的取值范围是

本道题将零点问题转化成交点个数问题，利用数形结合思想，即可。

有三个零点，

有一个零点，故

，有两个零点，代入

的解析式，得到

，构造新函数

，绘制这两个函数的图像，如图可知

因而

介于A,O之间，建立不等关系，解得a的范围为，故选A。

【点睛】本道题考查了函数零点问题，难度加大。

11.已知抛物线

的焦点为，点

在上，

.

若直线

与交于另一点，则

的值

是（）

A.B.C.D.

【答案】C

本道题结合抛物线性质，分别计算A,B的坐标，结合两点距离公式，即可。

【详解】结合抛物线的性质可得，所以抛物线方程为，所以点A坐标为，所以直线AB

的方程为，代入抛物线方程，计算B的坐标为，所以，故选C。

【点睛】本道题考查了抛物线性质以及两点距离公式，难度中等。

12.设正方体

的棱长为，为

的中点，为直线

上一点，为平面

内一点，则，两

点间距离的最小值为（）

【答案】B

本道题结合直线与平面平行判定，证明距离最短即为计算【详解】结合题意，绘制图形

与OE的距离，计算，即可。

结合题意可知OE是三角形

中位线，题目计算距离最短，即求OE与

两平行线的距离，

，所以距离d，结合三角形面积计算公式可得

，解得，故选B。

【点睛】本道题考查了直线与平面平行的判定，难度较大。

二、填空题：

本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把各题答案的最简形式写在题中的横线上.

13.设等差数列

【答案】

的前项和为，且,则__________．

分析：

设等差数列{a}的公差为d，由S=52，可得13a+

n131

d=52，化简再利用通项公式代入a+a+a，即可

489

得出．

详解：

设等差数列{a}的公差为d，

n

∵S=52，∴13a+131

d=52，化为：

a+6d=4．

1

则a+a+a=3a+18d=3（a+6d）=3×

4=12．故填12.

48911

点睛：

本题主要考查等差数列通项和前n项和，意在考查学生等差数列基础知识的掌握能力和基本的运算能力.

14.为培养学生的综合素养，某校准备在高二年级开设，，，，，六门选修课程，学校规定每个学生必须从这门课程中选门，且，两门课程至少要选门，则学生甲共有__________种不同的选法.

本道题先计算总体个数，然后计算A,B都不选的个数，相减，即可。

【详解】总体种数有，A,B都不选的个数有，所以一共有16种。

【点睛】本道题考查了排列组合问题，难度中等。

15.在平面直角坐标系

__________.

中，角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则

结合终边过点坐标，计算出

，结合二倍角公式和余弦两角和公式，即可。

【点睛】本道题考查了二倍角公式与余弦的两角和公式，难度中等。

16.已知二次函数

，且，若不等式

恒成立，则

的取值范围是__________.

本道题利用换元法，将题目所求式子转化成二元线性规划问题，结合数形思想，计算斜率范围，得到z的范围，

即可。

【详解】结合题意,建立不等式组,

得到

处理该不等式得到

令

建立新不等式组得到

绘制可行域,得到

可行域是画虚线位置,处理目标函数

转化成直线可得

因而该直线过定点

因此该直线斜率介于1号和2号直线之间,,

设该

直线与曲线的切点为

斜率为

得到方程为

过定点

代入,解得

解得

A的坐标为

因而PA的斜率为

解得

综上所述,z的范围为

【点睛】本道题考查了线性规划以及过曲线切线斜率计算方法，难度较大。

三、解答题：

本大题共7个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答.

17.已知

（I）求；

（Ⅱ）若

的内角，，的对边分别为，，.且

的面积为，周长为，求.

（1）

（2）

（I）结合正弦定理，处理题目式子，计算角A的大小，即可。

（2）结合余弦定理，得到关于a,b,c的等式，结合题意，计算a，即可。

（I）由题设得

由正弦定理得

故

（Ⅱ）由题设得

，从而

由余弦定理

，得

又

，故，解得

【点睛】本道题考查了正弦定理与余弦定理，难度中等。

18.已知三棱锥（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形均为正三角形，在三棱锥

中：

为边长等于的正方形，

和

（I）证明：

平面

（Ⅱ）若点在棱

；

上运动，当直线

与平面

所成的角最大时，求二面角

的余弦值.

图一

图二

（1）见解析

（2）

（1）证明PO垂直AC,OB,结合平面与平面垂直判定,即可.

（2）建立直角坐标系,分别计算两相交平面的法向量,结合向量的数量积公式,计算夹角,即可.

（Ⅰ）设

由题意，得，

的中点为，连接

因为在

中，

，所以

，为

的中点，

，，

因为

平面，所以，所以平面

平面，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以

是直线

且

所成的角，

所以当

由

最短时，即是

的中点时，

，所以，

最大.

，于是以

所在直线分别为轴，轴，轴建立如图示空间直角坐标系，

设平面

的法向量为

得：

，，即

令，得

由图可知，二面角

，即

的余弦值为

【点睛】本道题考查了二面角计算以及平面与平面垂直的判定,难度较大.

19.已知椭圆

的离心率为，左、右焦点分别为、，为椭圆上一点，

与轴相交于

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设椭圆的左、右顶点为

、交于、两点，求证：

、，过、

分别作轴的垂线、，椭圆的一条切线

与

（2）见解析

（1）结合题意，得到

为

的中位线，进而得到

，利用椭圆性质，计算a,b值即可。

（2）将

直线l的方程，代入椭圆方程，得到

以及

，即可。

（Ⅰ）连接

，由题意得

的中位线，

又因为

，且

又，，得，，

故所求椭圆的标准方程为

（Ⅱ）由题可知，的方程为

，的方程为

直线与直线、联立得

、

联立

得

因为直线椭圆相切，所以化简得

，故

为定值.

同理

【点睛】本道题考查了直线与圆锥曲线位置关系问题，难度较大。

20.某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近个月广告投入量（单位：

万元）和收益（单位：

万元）的数据如下表：

月份

广告投入量

收益

他们分别用两种模型①

的残差图及一些统计量的值：

，②

分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示

（Ⅰ）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？

并说明理由；

（Ⅱ）残差绝对值大于的数据被认为是异常数据，需要剔除：

（ⅰ）剔除异常数据后求出（Ⅰ）中所选模型的回归方程；

（ⅱ）若广告投入量

附：

对于一组数据

时，该模型收益的预报值是多少？

，，……，，其回归直线

的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

（1）应该选择模型①，理由见解析

（2）（ⅰ）

（ⅱ）

（1）结合题意可知模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，即可。

（2）（i）利用回归直线参数计算方

法，分别得到，建立方程，即可。

（ii）把

代入回归方程，计算结果，即可。

（Ⅰ）应该选择模型①，因为模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高.

（Ⅱ）（ⅰ）剔除异常数据，即月份为的数据后，得

所以关于的线性回归方程为：

（ⅱ）把

代入回归方程得：

故预报值约为

万元.

【点睛】本道题考查了回归方程的计算方法，难度中等。

21.已知函数

，其中，设

导函数.

，若

恒成立，求的范围；

（Ⅱ）设函数

的零点为，函数

的极小值点为，当

时，求证：

（I）计算

的导函数，计算

最小值，结合恒不等式，建立不等关系，计算a的范围，即可。

（II）构造函数

，判定极小值点，进而得到

，结合单调性，即可。

的单调性，得到

（Ⅰ）由题设知，，

当

时，

在区间

上单调递减，

在

处取到最小值，且

上单调递增，

由于

恒成立，所以

（Ⅱ）设

设

故存在

上单调递增.，所以

，使得

上单调递减，在区间

故是

的极小值点，因此

由（Ⅰ）可知，当

因此，即

单调递增.

由于，即，即，

又由（Ⅰ）可知，

单调递增，因此

【点睛】本道题考查了利用导函数判定原函数的单调性以及极值问题，难度较大。

22.在平面直角坐标系

中，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线的参数方程为

（为参数），过原点且倾斜角为的直线交于、两点.（Ⅰ）求和的极坐标方程；

（Ⅱ）当

时，求

的取值范围.

（1）结合

程，得到

消去参数，得到极坐标方程，即可。

（2）将直线的极坐标方程，代入曲线的极坐标方，用表示

，结合三角函数的性质，计算范围，即可。

（Ⅰ）由题意可得，直线的极坐标方程为

曲线的普通方程为

因为，，

所以极坐标方程为

，且，均为正数，

将

代入

根据极坐标的几何意义，从而：

时，，

分别是点，的极径.

的取值范围是

【点睛】本道题考查了极坐标方程的转化以及极坐标方程的性质，难度较大。

23.已知函数

（Ⅰ）当

（Ⅱ）若，对

，求的取值范围；

，都有不等式

（2）

恒成立，求的取值范围.

（1）结合a取不同范围，去绝对值，计算a的范围，即可。

（2）结合函数性质,计算关于a的不等式，计算a的范围，即可。

的最大值,结合题意,建立

（Ⅰ）

时恒成立；

若，则，得

，此时不等式无解.

综上所述，的取值范围是

（Ⅱ）由题意知，要使不等式恒成立，

只需

于是

，解得

结合

，所以的取值范围是

【点睛】本道题考查了绝对值不等式的解法，难度较大。