高考数学绝对值不等式.docx

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高考数学绝对值不等式

第十二章　不等式选讲

第69讲　绝对值不等式

考纲要求

考情分析

命题趋势

1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：

（1）≤＋.

（2）≤＋.

2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：

≤c，≥c，＋≥c.

2017·全国卷Ⅰ，23

2016·全国卷Ⅰ，24

2016·全国卷Ⅲ，24

2016·江苏卷，21（D）

解绝对值不等式是本部分在高考中的重点考查内容，其中以解含有两个绝对值的不等式为主.

分值：

5～10分

1．绝对值三角不等式

定理1：

如果a，b是实数，那么≤＋，当且仅当__ab≥0__时，等号成立．

定理2：

如果a，b，c是实数，那么≤＋，当且仅当__（a－c）（c－b）≥0__时，等号成立．

2．含绝对值不等式的解法

（1）含绝对值的不等式＜a，＞a的解集

不等式

a＞0

a＝0

a＜0

＜a

__{x|－a＜x＜a}__

__∅__

__∅__

＞a

__{x|x＞a或x＜－a}__

__{x|x∈R且x≠0}__

__R__

（2）≤c（c＞0）和≥c（c＞0）型不等式的解法

①≤c⇔－c≤ax＋b≤c；

②≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.

1．思维辨析（在括内打“√”或打“×”）．

（1）对≥－当且仅当a＞b＞0时等号成立．（　×　）

（2）对－≤当且仅当＞时等号成立．（　×　）

（3）对≤＋当且仅当ab≤0时等号成立．（　√　）

（4）≤c的解等价于－c≤ax＋b≤c.（　√　）

（5）不等式＋＜2的解集为∅.（　√　）

2．设ab＜0，a，b∈R，那么正确的是（　C　）

A．＞　　B．＜＋

C．＜　　D．＜

解析由ab＜0，得a，b异号，

易知|a＋b|＜|a－b|，|a－b|＝|a|＋|b|，|a－b|＞||a|－|b||，

∴C项成立，A，B，D项均不成立．

3．不等式1＜＜3的解集为（　D　）

A．（0,2）　　B．（－2,0）∪（2,4）

C．（－4,0）　　D．（－4，－2）∪（0,2）

解析1＜|x＋1|＜3⇔1＜x＋1＜3或－3＜x＋1＜－1⇔0＜x＜2或－4＜x＜－2.

4．不等式|2x－1|＜2－3x的解集是（　C　）

A．　　　　B．

C．　　　　D．

解析|2x－1|＜2－3x⇔3x－2＜2x－1＜2－3x⇔⇔⇔x＜.

5．若不等式|3x－b|＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b的取值范围为__（5,7）__．

解析由|3x－b|＜4得－4＜3x－b＜4，即＜x＜，

∵不等式|3x－b|＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，

则⇒∴5＜b＜7.

一　绝对值不等式的解法

解含绝对值的不等式时，若两个绝对值中x的系数为1（或可化为1），可选用几何法或图象法求解较为简单．若x的系数不全为1，则选用零点分段讨论法求解，同时注意端点值的取舍．

【例1】解不等式|x－1|＋|x＋2|≥5.

解析将原不等式转化为|x－1|＋|x＋2|－5≥0，

令f（x）＝|x－1|＋|x＋2|－5，

则f（x）＝

作出函数的图象，如图所示．

由图可知，当x∈（－∞，－3]∪[2，＋∞）时，y≥0，∴原不等式的解集为（－∞，－3]∪[2，＋∞）．

二　绝对值不等式的证明

（1）利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明．

（2）利用三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|进行证明．

（3）转化为函数问题，数形结合进行证明．

【例2】设a∈R，函数f（x）＝ax2＋x－a（－1≤x≤1），若|a|≤1，求证：

|f（x）|≤.

证明方法一　∵－1≤x≤1，∴|x|≤1.

又∵|a|≤1，∴|f（x）|＝|a（x2－1）＋x|≤|a（x2－1）|＋|x|≤|x2－1|＋|x|＝1－|x|2＋|x|＝－2＋≤.

方法二　设g（a）＝f（x）＝ax2＋x－a＝（x2－1）a＋x.

∵－1≤x≤1，

当x＝±1，即x2－1＝0时，|f（x）|＝|g（a）|＝1≤；

当－1

∵|a|≤1，∴－1≤a≤1，

∴g（a）max＝g（－1）＝－x2＋x＋1＝－2＋；

g（a）min＝g

（1）＝x2＋x－1＝2－.

∴－≤g（a）≤，∴|f（x）|＝|g（a）|≤.

三　绝对值不等式的综合应用

对于求y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x＋a|－|x－b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如y＝|x－a|＋|x－b|的函数只有最小值，形如y＝|x－a|－|x－b|的函数既有最大值又有最小值．

【例3】已知函数f（x）＝|2x＋1|＋|2x－3|＋a.

（1）当a＝0时，解不等式f（x）≥6；

（2）若不等式f（x）≥3a2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．

解析

（1）当a＝0时，求得f（x）＝

由f（x）≥6⇒x≤－1或x≥2.

所以不等式的解集是（－∞，－1]∪[2，＋∞）．

（2）因为|2x＋1|＋|2x－3|≥|（2x＋1）－（2x－3）|＝4.

所以f（x）min＝4＋a，要使f（x）≥3a2对一切实数x恒成立，

只要4＋a≥3a2，解得－1≤a≤.

所以实数a的取值范围为.

【例4】（2017·全国卷Ⅰ）已知函数f（x）＝－x2＋ax＋4，g（x）＝|x＋1|＋|x－1|.　

（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；

（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[－1,1]，求a的取值范围．

解析

（1）当a＝1时，不等式f（x）≥g（x）等价于

x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.　①

当x<－1时，①式化为x2－3x－4≤0，无解；

当－1≤x≤1时，①式化为x2－x－2≤0，从而－1≤x≤1；

当x>1时，①式化为x2＋x－4≤0，从而1

所以f（x）≥g（x）的解集为.

（2）当x∈[－1,1]时，g（x）＝2.

所以f（x）≥g（x）的解集包含[－1,1]，等价于当x∈[－1,1]时，f（x）≥2.

又f（x）在[－1,1]的最小值必为f（－1）与f

（1）之一，

所以f（－1）≥2且f

（1）≥2，得－1≤a≤1.

故a的取值范围是[－1,1]．

1．解不等式|x＋3|－|2x－1|＜＋1.

解析①当x＜－3时，原不等式化为－（x＋3）－（1－2x）＜＋1，解得x＜10，∴x＜－3.

②当－3≤x＜时，原不等式化为（x＋3）－（1－2x）＜＋1，

解得x＜－，∴－3≤x＜－.

③x≥，原不等式化为（x＋3）－（2x－1）＜＋1，解得x＞2，∴x＞2.

故原不等式的解集为.

2．（2016·全国卷Ⅲ）已知函数f（x）＝|2x－a|＋a.

（1）当a＝2时，求不等式f（x）≤6的解集；

（2）设函数g（x）＝|2x－1|，当x∈R时，f（x）＋g（x）≥3，求a的取值范围．

解析

（1）当a＝2时，f（x）＝|2x－2|＋2，

解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.

因此f（x）≤6的解集为.

（2）当x∈R时，f（x）＋g（x）＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a，

当x＝时等号成立，所以当x∈R时，

f（x）＋g（x）≥3等价于|1－a|＋a≥3.①

当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解．

当a＞1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.

所以a的取值范围是[2，＋∞）．

3．（2018·陕西西安模拟）已知函数f（x）＝|2x－1|，x∈R.

（1）解不等式f（x）<|x|＋1；

（2）若对于x，y∈R，有|x－y－1|≤，|2y＋1|≤，求证：

f（x）<1.　

解析

（1）f（x）<|x|＋1⇔|x|－|2x－1|＋1>0，

当x<0时，－x＋（2x－1）＋1>0，得x>0，∴无解；

当0≤x≤时，x＋（2x－1）＋1>0，得x>0，∴0

当x>时，x－（2x－1）＋1>0，得x<2，∴

故不等式f（x）<|x|＋1的解集为{x|0

（2）证明：

f（x）＝|2x－1|＝|2（x－y－1）＋（2y＋1）|

≤2|x－y－1|＋|2y＋1|≤2×＋＝<1.

4．已知函数f（x）＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.

（1）当a＝1时，求不等式f（x）>1的解集；

（2）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．

解析

（1）当a＝1时，f（x）>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.

当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；

当－10，解得

当x≥1时，不等式化为－x＋2>0，解得1≤x<2.

所以f（x）>1的解集为.

（2）由题设可得f（x）＝

所以函数f（x）的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B（2a＋1,0），C（a，a＋1），△ABC的面积为（a＋1）2.

由题设得（a＋1）2>6，故a>2.

所以a的取值范围为（2，＋∞）．

易错点　不能正确处理好整体与个体的关系

错因分析：

先由已知求得x和y的取值范围，再代入求证，致使取值范围扩大造成错误．

【例1】已知＜，＜，求证：

＜.

证明设m（x＋y）＋n（2x－y）＝x－y，

则解得

∴＝≤＋＜＋＝.

【跟踪训练1】（2016·江苏卷）设a＞0，＜，＜，求证：

＜a.

证明因为|x－1|＜，|y－2|＜，

所以|2x＋y－4|＝|2（x－1）＋（y－2）|≤2|x－1|＋|y－2|＜2×＋＝a.

课时达标　第69讲

[解密考纲]对本考点的考查以填空题和解答题为主，填空题主要涉及绝对值不等式的解法和柯西不等式的应用等，解答题涉及含有两个绝对值的问题，难度中等．

1．已知f（x）＝|x＋1|＋|x－2|，g（x）＝|x＋1|－|x－a|＋a（a∈R）．

（1）解不等式f（x）≤5；

（2）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围．

解析

（1）f（x）＝|x＋1|＋|x－2|表示数轴上的x对应点到－1和2对应点的距离之和，而－2对应点到－1和2对应点的距离之和正好等于5,3对应点到－1和2对应点的距离之和正好等于5，故不等式f（x）≤5的解集为[－2,3]．

（2）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，即|x－2|＋|x－a|≥a恒成立．

而|x－2|＋|x－a|≥|（2－x）＋（x－a）|＝|a－2|，

∴（|x－2|＋|x－a|）min＝|a－2|，

∴|a－2|≥a，

∴a≤0或解得a≤1，故a的取值范围为（－∞，1]．

2．设f（x）＝|x－1|＋|x－a|.

（1）若a＝－1，解不等式f（x）≥3；

（2）若对任意的x∈R，f（x）≥4，求实数a的取值范围．

解析

（1）当a＝－1时，f（x）＝|x－1|＋|x＋1|＝其图象如下．

根据图象易得f（x）≥3的解集为.

（2）由于f（x）＝|x－1|＋|x－a|＝|x－1|＋|a－x|≥|a－1|，

对任意的x∈R，f（x）≥4等价于|a－1|≥4，

解得a≥5或a≤－3，

故实数a的取值范围为（－∞，－3]∪[5，＋∞）．

3．已知函数f（x）＝|x－2|－|2x－a|，a∈R.

（1）当a＝3时，解不等式f（x）>0；

（2）当x∈（－∞，2）时，f（x）<0恒成立，求a的取值范围．

解析

（1）当a＝3时，f（x）>0，

即|x－2|－|2x－3|>0，

等价于或或

解得1

∴原不等式的解集为.

（2）当x∈（－∞