版高中数学 第一章 集合与函数概念章末复习课学案 新人教A版必修1Word下载.docx

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5．函数的单调性

（1）函数的单调性主要涉及求函数的单调区间，利用函数的单调性比较函数值的大小，利用函数的单调性解不等式等相关问题．深刻理解函数单调性的定义是解答此类问题的关键．

（2）函数单调性的证明

根据增函数、减函数的定义分为四个步骤证明，步骤如下：

①取值：

任取x1，x2∈D，且x1<

x2，得x2－x1>

0；

②作差变形：

Δy＝y2－y1＝f（x2）－f（x1）＝…，向有利于判断差的符号的方向变形；

③判断符号：

确定Δy的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论；

④下结论：

根据定义得出结论．

（3）证明函数单调性的等价变形：

①f（x）是单调递增函数⇔任意x1<

x2，都有f（x1）<

f（x2）⇔>

0⇔[f（x1）－f（x2）]·

（x1－x2）>

②f（x）是单调递减函数⇔任意x1<

x2，都有f（x1）>

f（x2）⇔<

（x1－x2）<

0.

6．函数的奇偶性

判定函数奇偶性，一是用其定义判断，即先看函数f（x）的定义域是否关于原点对称，再检验f（－x）与f（x）的关系；

二是用其图象判断，考察函数的图象是否关于原点或y轴对称去判断，但必须注意它是函数这一大前提．

要点一　集合的基本概念

解决集合的概念问题的两个注意点

（1）研究一个集合，首先要看集合中的代表元素．然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清元素表示的意义是什么．

（2）对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．

【例1】　集合M＝{x|ax2－3x－2＝0，a∈R}中只有一个元素，求a的取值范围．

解　由题意可知若集合M中只有一个元素，则方程ax2－3x－2＝0只有一个根，当a＝0时，方程为－3x－2＝0，只有一个根x＝－；

当a≠0时，Δ＝（－3）2－4×

a×

（－2）＝0，得a＝－.综上所述，a的取值范围是.

【训练1】　已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．

解析　因为3∈A，则m＋2＝3或2m2＋m＝3，当m＋2＝3，即m＝1时，m＋2＝2m2＋m，不符合题意，故舍去；

当2m2＋m＝3，即m＝1或m＝－，m＝1不合题意，若m＝－，m＋2≠2m2＋m，满足题意，故m＝－.

答案　－

要点二　集合间的基本关系

两集合间关系的判断

（1）定义法．

①判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A⊆B，否则A不是B的子集；

②判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B⊆A，否则B不是A的子集；

若既有A⊆B，又有B⊆A，则A＝B.

（2）数形结合法．

对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取值．

【例2】　已知集合A＝{x|2x－3≥3x＋5}，B＝{x|x≤2m－1}，若A⊆B，则实数m的取值范围是________．

解析　解不等式2x－3≥3x＋5得x≤－8，即A＝{x|x≤－8}，因为A⊆B，所以2m－1≥－8，解得m≥－.

答案　m≥－

【训练2】　已知集合A＝{x|＝，x∈R}，B＝{1，m}，若A⊆B，则m的值为（　　）

A．2　　　B．－1C．－1或2　　D．2或

解析　由＝，可得解得x＝2，∴A＝{2}，又∵B＝{1，m}，A⊆B，∴m＝2.

答案　A

考查方向

　要点三　集合的基本运算

集合基本运算的方法及注意点

（1）一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；

集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．

（2）进行集合的运算时要看集合的组成，并且要对有的集合进行化简．

（3）涉及含字母的集合时，要注意该集合是否可能为空集．

方向1　集合的运算

【例3－1】　设全集U＝{x∈N*|x<

6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则∁U（A∪B）等于（　　）

A．{1,4}　　　B．{1,5}　　　C．{2,5}　　D．{2,4}

解析　U＝{1,2,3,4,5}，A∪B＝{1,3,5}，所以∁U（A∪B）＝{2,4}．

答案　D

方向2　利用集合运算求参数

【例3－2】　

（1）已知集合A＝{1,3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于（　　）

A．0或　　　B．0或3C．1或　　D．1或3

（2）设集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x>

a}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是（　　）

A．a≤1　　　B．a≥1　　　C．a≥0　　D．a≤0

解析　

（1）由A∪B＝A知B⊆A，所以m＝3或m＝，若m＝3，A＝{1,3，}，B＝{1,3}，满足A∪B＝A；

若m＝，即m＝1或0，当m＝1时，＝1，不合题意，舍去，当m＝0时，A＝{1,3,0}，B＝{1,0}，满足A∪B＝A，故选B．

（2）因为A∩B＝∅，所以0∉B，且1∉B，所以a≥1.

答案　

（1）B　

（2）B

【训练3】　

（1）已知集合A＝{x∈R||x|≤2}，B＝{x∈R|x≤1}，则A∩B等于（　　）

A．{x∈R|x≤2}　　　B．{x∈R|1≤x≤2}

C．{x∈R|－2≤x≤2}　　D．{x∈R|－2≤x≤1}

（2）设集合M＝{x|－3≤x＜7}，N＝{x|2x＋k≤0}，若M∩N≠∅，则实数k的取值范围为________．

解析　

（1）A＝{x∈R||x|≤2}＝{x∈R|－2≤x≤2}，∴A∩B＝{x∈R|－2≤x≤2}∩{x∈R|x≤1}＝{x∈R|－2≤x≤1}．

（2）因为N＝{x|2x＋k≤0}＝{x|x≤－}，

且M∩N≠∅，所以－≥－3⇒k≤6.

答案　

（1）D　

（2）k≤6

要点四　求函数的定义域

　求函数定义域的类型与方法

（1）已给出函数解析式：

函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．

（2）实际问题：

求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义．

（3）复合函数问题：

①若f（x）的定义域为[a，b]，f（g（x））的定义域应由a≤g（x）≤b解出；

②若f（g（x））的定义域为[a，b]，则f（x）的定义域为g（x）在[a，b]上的值域．

注意：

①f（x）中的x与f（g（x））中的g（x）地位相同；

②定义域所指永远是x的范围．

【例4】　

（1）函数f（x）＝＋（2x－1）0的定义域为（　　）

A．　　　B．

C．　　D．∪

（2）已知函数y＝f（x－1）的定义域是[－1,2]，则y＝f（1－3x）的定义域为（　　）

C．[0,1]　　D．

解析　

（1）由题意知解得x<

1且x≠，即f（x）的定义域是∪.

（2）由y＝f（x－1）的定义域是[－1,2]，则x－1∈[－2,1]，即f（x）的定义域是[－2,1]，令－2≤1－3x≤1解得0≤x≤1，即y＝f（1－3x）的定义域为[0,1]．

答案　

（1）D　

（2）C

【训练4】　已知函数f（x）＝－2x＋3的值域为[－5,5]，则它的定义域为（　　）

A．[－5,5]　　　B．[－7,13]C．[－1,4]　　D．[－4,1]

解析　可以画出函数y＝－2x＋3的图象，再根据图象来求；

还可以运用观察法来求，当f（x）＝－5时，x＝4；

当f（x）＝5时，x＝－1，所以定义域为[－1,4]．

答案　C

要点五　求函数的解析式

　求函数解析式的题型与相应的解法

（1）已知形如f（g（x））的解析式求f（x）的解析式，使用换元法或配凑法．

（2）已知函数的类型（往往是一次函数或二次函数，使用待定系数法）．

（3）含f（x）与f（－x）或f（x）与f，使用解方程组法．

（4）已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法．

【例5】　

（1）已知f（2x－3）＝2x2－3x，则f（x）＝________.

（2）已知f（x）－3f（－x）＝2x－1，则f（x）＝________.

解析　

（1）令2x－3＝t，得x＝（t＋3），则f（t）＝2×

（t＋3）2－（t＋3）＝t2＋t，所以f（x）＝x2＋x.

（2）因为f（x）－3f（－x）＝2x－1，以－x代替x得f（－x）－3f（x）＝－2x－1，两式联立得f（x）＝x＋.

答案　

（1）x2＋x　

（2）x＋

【训练5】　已知f（x）是一次函数，且满足3f（x＋1）－2f（x－1）＝2x＋17，求f（x）的解析式．

解　设f（x）＝ax＋b（a≠0），则3f（x＋1）－2f（x－1）＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b，即ax＋5a＋b＝2x＋17，不论x为何值都成立，所以解得所以f（x）＝2x＋7.

要点六　函数的概念与性质

函数单调性与奇偶性应用的常见题型

（1）用定义判断或证明函数的单调性和奇偶性．

（2）利用函数的单调性和奇偶性求单调区间．

（3）利用函数的单调性和奇偶性比较大小，解不等式．

（4）利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围．

【例6】　已知函数f（x）＝是奇函数，且f

（2）＝.

（1）求实数m和n的值；

（2）求函数f（x）在区间[－2，－1]上的最值．

解　

（1）∵f（x）是奇函数，

∴f（－x）＝－f（x），

∴＝－＝.

比较得n＝－n，n＝0.

又f

（2）＝，∴＝，解得m＝2.

因此，实数m和n的值分别是2和0.

（2）由

（1）知f（x）＝＝＋.

任取x1，x2∈[－2，－1]，且x1＜x2，

则f（x1）－f（x2）＝（x1－x2）

＝（x1－x2）·

.

∵－2≤x1＜x2≤－1，

∴x1－x2＜0，x1x2＞1，x1x2－1＞0，

∴f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．

∴函数f（x）在[－2，－1]上为增函数，

∴f（x）max＝f（－1）＝－，f（x）min＝f（－2）＝－.

【训练6】　设f（x）是定义在R上的函数，且满足f（－x）＝f（x），f（x）在（－∞，0）上单调递增，且f（2a2＋a＋1）<

f（2a2－4a＋3），求a的取值范围．

解　∵f（x）是定义在R上的函数，且f（－x）＝f（x），