广西柳州市届高三第三次模拟考试数学文试题含答案解析Word下载.docx
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11．已知函数
是定义域为
的奇函数，且
，若对任意的
，且
，都有
成立，则不等式
的解集为（
C．
12．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明．经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明，他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线：
当
时，轨迹为椭圆；
时，轨迹为抛物线；
时，轨迹为双曲线．现有方程
表示的曲线是双曲线，则m的取值范围为（
二、填空题
13．已知平面向量
，若
_________．
14．函数
在点
处的切线的斜率为_________．
15．已知数列
的前n项和为
16．已知对棱相等的四面体被称为“等腰四面体”，它的四个面是全等的锐角三角形.设等腰四面体的三组对棱长分别为a、b、c，则该四面体的体积计算公式为，
，其中
．在等腰四面体A－BCD中，
，则该四面体的内切球表面积为_________．
三、解答题
17．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知
．
（1）求角A的大小；
（2）若b，a，c成等比数列，判断△ABC的形状．
18．某公司拟对某种材料进行应用改造，产品的成本由原料成本及非原料成本组成，每件产品的非原料成本y（元）与生产该产品的数量x（千件）有关，经统计得到如下数据：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
y
112
61
44.5
35
60.5
28
25
24
对历史数据对比分析，考虑用函数模型①
，②
分别对两个变量的关系进行拟合，令模型①中
，模型②中
，对数据作了初步处理，已计算得到如下数据：
0.34
45
0.115
22385.5
1.53
183.4
61.4
0.135
（1）设u和y的样本相关系数为
，x和w的样本相关系数为
，已经计算得出
，请从样本相关系数（精确到0.01）的角度判断，哪个模型拟合效果更好？
（2）根据
（1）的选择及表中数据，建立y关于x的非线性回归方程，并用其估计当每件产品的非原料成本为21元时，产量约为多少千件？
参考公式：
对于一组数据
，…，
其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
，相关系数
19．已知四棱锥
中，
平面
，点
为
三等分点（靠近
点），
.
（1）求证：
；
（2）求三棱锥
的体积．
20．已知函数
（1）讨论函数
的单调性；
（2）若
为函数
的极值点，当
，不等式
恒成立，求实数m的取值范围．
21．已知点
，点M与y轴的距离记为d，且点M满足：
，记点M的轨迹为曲线W．
（1）求曲线W的方程；
（2）设点P为x轴上除原点O外的一点，过点P作直线
交曲线W于点C，D，
交曲线W于点E，F，G，H分别为CD，EF的中点，过点P作x轴的垂线交GH于点N，设CD，EF，ON的斜率分别为
的，求证：
为定值．
22．如图，在极坐标系中，已知点
，曲线
是以极点O为圆心，以OM为半径的半圆，曲线
是过极点且与曲线
相切于点
的圆．
（1）求曲线
、
的极坐标方程；
（2）直线
与曲线
分别相交于点A，B（异于极点），求△ABM面积的最大值．
23．已知函数
（1）若
，求不等式
的解集；
使得
能成立，求实数m的取值范围．
参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
根据集合的并集运算即可得到结果
【详解】
故选：
A
2．C
根据复数的运算法则和几何意义即可判断.
z对应的点为
，在第三象限.
C.
3．D
根据函数解析式结合初等函数的单调性，直接判断函数在（0,+∞）上是否为增函数，由此判断出选项.
选项A.函数
在
上只有单调增区间，但不是一直单调递增，故不满足；
选项B.由复合函数的单调性可知函数
上单调递减，故不满足；
选项C.函数
选项D.函数
上单调递增，故满足，
D
4．A
根据任意角三角函数定义先求出
的值，再利用三角恒等变换得到
代入数值计算即可求解.
当角
的终边落在直线
上时，由任意角三角函数定义得，
所以
A.
5．D
根据频率分布直方图可求出成绩在区间
的频率，从而判断选项A；
根据频率分布直方图可得众数，由平均数的计算公式可得平均分数，从而判断选项B，C；
成绩的中位数在
之间，设为
，由面积可得答案.
选项A.成绩在区间
的频率为
，则人数为
，故正确
选项B.由频率分布直方图可知，学生成绩的众数为85，故正确.
选项C.全校学生成绩的平均分数为
故正确.
选项D.成绩在区间
成绩在区间
成绩在区间
由
所以这100名学生成绩的中位数在
则
，解得
，故不正确
6．D
根据等差数列通项和求和公式列出方程组分别求出公差和首项，代入计算即可.
由题意得，
，即
D.
7．B
利用三角函数、对数函数与指数函数的相邻特殊值进行比较
因为
即
B
8．B
根据切线长
，由圆心C向准线作垂线，垂足为M，此时准线上的点到圆心的距离最小求解.
如图所示：
由圆心C向准线作垂线，垂足为M，此时准线上的点到圆心的距离最小，最小值为
所以切线长的最小值为
，
9．D
根据正视图和俯视图得到该几何体的直观图，然后确定侧视图即可.
由正视图和俯视图得到该几何体的直观图如下图所示：
所以该几何体的侧视图是等腰直角三角形，选项D符合，
10．A
由正弦函数性质有
最小正周期为
，根据图象求
，再由和角正切公式求
即可.
由题设，
周期为
由图知：
11．C
构造
，由题意可得
为偶函数且在
上递增，在
上递减，再由
等价于
或
，即可求解集.
上递减，又
上有
为偶函数，
根据偶函数的对称性知：
上递增，
上
，可得
C
12．B
原方程两边开平方，结合两点的距离公式和点到直线的距离公式，以及圆锥曲线的统一定义，可得
的不等式，从而可求得其范围
得
可得动点
到这点
和定直线
的距离比为常数
由双曲线的定义可知
13．
根据
求出
的值即得解.
解：
，所以
故答案为：
14．
即得解.
由题得
，所以切线的斜率
15．
##
利用
关系求数列
的通项公式，进而求
时，
，故
所以数列
是首项为1，公比为
的等比数列，即
16．
求出△ABC面积，求出四面体体积，根据等体积法即可求出内切球半径和表面积.
中，设
由余弦定理得
∴
四面体的体积
∵△ABC为锐角三角形，∴
设四面体内切球半径为r，
∵四面体的四个面全等，则
∴内切球表面积为
17．
（1）
（2）等边三角形
（1）由条件结合诱导公式和正弦定理可得
，从而得到
，得出答案.
（2）由条件可得
，结合余弦定理可得
，结合
可判断出三角形的形状.
（1）
，由诱导公式得
由正弦定理得
∵
，∴
，即∴
（2）
∵b，a，c成等比数列，则∴
又因为
又∵
，△ABC为等边三角形
18．
（1）模型①拟合效果更好；
，产量约为10千件.
（1）令
有回归方程为
，根据相关系数公式求出y与u的相关系数
，与
比较绝对值的大小，即可知模型拟合效果.
（2）利用最小二乘法求出回归直线方程，再令
估计产量
令
y与u的相关系数：
，故用模型①拟合效果更好.
所以y关于x的回归方程为
（元），解得
千件.
所以当每件产品的非原料成本为21元，预计产量约为10千件．
19．
（1）证明见解析
（1）取
三等分点
，构造平行四边形
得到
，再用线面垂直性质证明即可；
（2）因为
三等分点，得到
再根据平面
，作辅助线得到点
到平面
的距离，
再利用解三角形求出
，代入公式求体积即可.
取
且
，所以四边形
为平行四边形，
，又
三等分点，所以
，平面
且平面
，过点
作
的垂线交
延长线于
，如下图所示：
由线面垂直的性质有
，
所以点
的距离为
，记
即三棱锥
的体积为
20．
（1）答案见解析
（1）求出函数的导数，分类讨论，求出
（
）的解，即可得到单调区间；
（2）由极值点可求出
，原不等式恒成立可转化为
，令
，利用导数求出函数的最大值，建立不等式求解即可.
①当
恒成立，
只有减区间
②当
时，令
，得
的增区间为
的减区间为
的极值点，
若
上恒成立．
上为减函数，
所以有
满足题意．
，由
所以在
上存在
与题意不符合
综上所述，
【点睛】
原不等式恒成立可转化为
，研究函数
的单调性，分类讨论，求出函数的单调性，利用单调性求函数最大值是解题的关键和难点.
21．
（1）
（2）证明见解析
（1）设
，根据平面向量数量积的坐标表示化简计算即可；
（2）设
和直线GH的方程，进而求出点
的坐标，设
，利用点差法和弦中点坐标公式计算化简可得
，同理可得
，根据韦达定理可得
，代入
计算化简即可.
设
，由题意得
即M的轨迹方程为
显然GH斜率存在，设
，设GH的方程为：
由题意知CD的方程为：
联立方程
解得：
可得：
，C，D都在曲线W上，
则有
①
②
①-②得：
则有：
又G为CD中点，则有；
同理可得：
故
为关于k的方程
的两实根
由韦达定理得：
将
代入直线GH中得：
故有：
为定值
22．
（1）
（2）2.
（1）根据给定条件，利用极坐标系中求曲线方程的方法求出曲线
的极坐标方程作答.
（2）求出点A，B的极坐标，进而求出
，再求出点M到直线AB距离并列出面积函数关系，借助均值不等式求解作答.
依题意，曲线
是以极点O为圆心，以4为半径的半圆，结合图形可知，曲线
的极坐标方程为
为曲线
上的任意一点，因曲线
的圆，线段OQ是圆
的直径，
当P与点Q，O不重合时，
，则有
极点
的坐标、点
的坐标都满足
，即曲线
方程为
所以，曲线
的极坐标方程分别为：
因直线
分别相交于点A，B（异于极点），
，依题意得
于是得
，点M到直线AB的距离为
当且仅当
时取“=”，
所以△ABM面积的最大值为2.
23．
（1）
（1）讨论x的范围去绝对值符号，求不等式解集即可.
（2）由绝对值三角不等式，将不等式化为
上能成立，应用数形结合思想求m范围.
依题意得，
综上，不等式
的解集为
依题意，
又
，其函数大致图象如下，
∴m的取值范围为
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