经济数学基础思考题答案.docx
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经济数学基础思考题答案
经济数学基础思考题答案
经济数学基础 一微分学 填空题 221.若函数f=x2+4x+5,则f=(x?
2)?
4(x?
2)?
5?
x?
12..若函数f=x2+2,g(x)=sinx,则f(g(x))=sin2x?
23.函数f(x)?
4..lim3?
x的定义域是(1,2)?
(2,3] ln(x?
1)x?
sinx?
___________________.答案:
0 x?
0x?
x2?
1,x?
05..设f(x)?
?
,在x?
0处连续,则k?
________.答案:
1 ?
k,x?
0?
116..曲线y?
x在(1,1)的切线方程是 .答案:
y?
x?
22__.答案:
2x7..设函数f(x?
1)?
x2?
2x?
5,则f?
(x)?
__________ππ8..设f(x)?
xsinx,则f?
?
()?
__________.答案:
?
229.函数f(x)=—lnx在区间内单调减少 10.函数y=x2+1的单调增加区间为[0,?
?
). 11.设需求量q对价格p的函数为q(p)=100e?
p2,则需求弹性为EP?
?
p212已知需求函数为q?
202p?
p,其中p为价格,则需求弹性Ep=33p?
1013.已知某商品的需求函数为q=180–4p,其中p为该商品的价格,则该商品的收入函数R(q)=?
?
45q 2单项选择题 1.下列各对函数中,中的两个函数相同。
x?
11A.f(x)?
2,g(x)?
B.f(x)?
sin2x?
cos2x,g(x)?
1 x?
1x?
1C.f(x)?
lnx2,g(x)?
2lnx D.f(x)?
x,g(x)?
(x)2 2.下列函数为奇函数是。
A.xsinx B.lnxC.ln(x?
1?
x2) D.x+x2..3.下列函数中为奇函数的是. x?
1 D.y?
xsinxx?
1.A.y?
x2?
x B.y?
ex?
e?
x C.y?
ln4...极限limx?
01?
x?
1=(D).xA.0 B.1 .C.?
.D. 125.下列极限计算正确的是答案:
B xx1sinxlimxsin?
1lim?
1?
1 C. D.?
1x?
0x?
?
x?
0xx?
0?
xxx6..当x?
0时,下列变量是无穷小量的是.答案:
C sinxA.2x B. C.ln(1?
x) D.cosx7 x7..当x?
1时,下列变量中的无穷小量是。
1?
x21?
x1?
xA.e?
1. B.2… C.2 D.ln(1+x)x?
1x?
18.当x?
0时,下列变量中是无穷大量. x1?
2xA. B. C. 函数y?
x?
1的连续区间是答案:
D2x?
x?
2x D.2?
x A.(?
?
1)?
(1,?
?
) B.(?
?
?
2)?
(?
2,?
?
) C.(?
?
?
2)?
(?
2,1)?
(1,?
?
) D.(?
?
?
2)?
(?
2,?
?
)或(?
?
1)?
(1,?
?
)10.若f(x)在点x0有极限,则结论成立。
A.f(x)在点x0可导 B.f(x)在点x0连续 C.f(x)在点x0有定义D.f(x)在点x0可能没有定义 1?
?
xsin?
k,x?
011.函数f(x)?
?
在x=0处连续,则k=。
x?
1,x?
0?
A.-2 B.-1 C.1 D.2 12.若函数f(x)在点x0处可导,则( )是错误的.答案:
B A.函数f(x)在点x0处有定义 B.limf(x)?
A,但A?
f(x0) x?
x0C.函数f(x)在点x0处连续 D.函数f(x)在点x0处可微 13.曲线y=sinx在点(0,0)处的切线方程为. 1A.y=x B.y=2x C.y=2x D.y=-x 14.函数f=lnx在x=1处的切线方程是。
A.x-y=1B.x-y=-1 C.x+y=1 D.x+y=-115.若f=x2+2x+4,则f?
(x)?
。
A.2x . B.2x+2… C.x2+3 D.216.设y?
lg2x,则dy?
.答案:
B 11ln101dx C.dx D.dxA.dx B. 2xxln10xx17.下列函数在区间上单调减少的是。
A.cosx B.x2 C.2x D.3-x18.函数f=x2-1在区间[0,1]上是。
A.单调增加 B.单调减少 C.先增加后减少 D.先减少后增加19.下列函数中的单调减函数是。
A.y=x3 B.y= x1 C.y=-x D.y=ex20.下列等式中正确的是。
A.e?
xdx=d B.sinxdx=dC.x3dx=d D.— 11dx=dxx21.设函数f(x)满足以下条件:
当xx0时,f?
(x)?
0,则x0是函 数f(x)的. A.驻点 B.极大值点 C.极小值点 D.不确定点三、计算题 x2?
3x?
51?
1.lim2x?
?
3x?
2x?
43x2?
2x?
32..lim x?
?
3x2?
9x2?
2x?
3(x?
1)(x?
3)?
lim解:
lim2x?
?
3x?
?
3x?
9(x?
3)(x?
3)?
limx?
12?
x?
?
3x?
33x?
?
3.lim(1?
1x?
1)2x1?
1?
2x?
111x?
11x12)(1?
)?
lim[(1?
)](1?
)?
e2解:
lim(1?
)?
lim(1?
x?
?
x?
?
x?
?
2x?
2x?
2x?
2x?
2xx?
2x?
[(1?
)x?
2]x?
02x?
41?
2x1x?
2xx?
2x?
2x解:
lim[(1?
)?
2]?
lim(1?
)?
lim2x?
0x?
0x?
02x?
42x?
41?
?
1?
x?
?
x?
2x?
2?
e2?
?
lim?
(1?
)?
(1?
)?
lim2x?
0x?
0x?
4222?
?
1?
2x?
125.lim(x?
0sin2xx?
1?
1sin2x?
cosx)?
cosx)?
limx?
0解:
lim(x?
0x?
1?
1sin2x?
limcosx x?
1?
1x?
02sin2x(x?
1?
1)sin2x(x?
1?
1)?
1?
4?
1?
5?
1?
limx?
0x?
0(x?
1?
1)(x?
1?
1)2xx?
1xlim()x?
?
x?
36 ?
lim解:
lim(x?
?
x?
1xx?
3?
4x)?
lim() x?
?
x?
3x?
3?
lim(1?
x?
?
4x4x?
343)?
lim(1?
)(1?
) x?
?
x?
3x?
3x?
3?
34x443?
lim[(1?
)]4(1?
)?
e4x?
?
x?
3x?
3cos2xe?
xx,求dy.7.设函数y= 解:
y’?
ecos2x31(?
sin2x)?
2?
x2 2cos2xdy?
(?
?
31?
x2)dx2 x?
xex,求y?
1?
(x?
1)ex答案:
y?
?
?
cosx?
e?
x,求dy答案:
dy?
(2xe?
x?
22sinx2x)dx ?
ln(x?
1?
x2),求y?
答案:
y?
?
11?
x2 11.设x2+y2+xy=e2,求y?
(x)。
解:
两边同时求导得:
2x?
2yy’?
y?
xy’?
0 (2y?
x)y’?
?
(2x?
y) y’?
?
2x?
y2y?
x12.方程cos(x?
y)?
ey?
x确定y是x的隐函数,求dy. 解:
两边同时求导得:
?
sin(x?
y)(1?
y’)?
eyy’?
1(ey?
sin(x?
y))y’?
1?
sin(x?
y)y’?
1?
sin(x?
y)ey?
sin(x?
y)1?
sin(x?
y)dxye?
sin(x?
y) ?
dy?
xy13.方程ln+e确定y是x的隐函数,求y?
(x)。
解:
两边同时求导得:
1?
exy(y?
xy’)?
2yy’1?
x(xexy?
2y)y’?
yexy?
11?
x11?
xy’?
xyxe?
2yyexy?
四、应用题 1设生产某种产品q个单位时的成本函数为:
C(q)?
100?
?
6q,求:
①当q?
10时的总成本、平均成本和边际成本;②当产量q为多少时,平均成本最小?
答案:
①C(10)?
185 C(10)?
C?
(10)?
11 ②当产量为20个单位时可使平均成本达到最低。
. 2.投产某产品的固定成本为36(万元),且边际成本为C?
(q)?
2q?
40(万元/百台).试求产量4百台增至6百台时总成本的增量,及产量为多少时,可使平均成本达到最低.解:
当产量4百台增至6百台时,总成本的增量为答案:
?
C?
100 当x?
6时可使平均成本达到最低.
3.已知某产品的边际成本C?
(q)=2,固定成本为0,边际收益 R?
(q)?
12?
,求:
①产量为多少时利润最大?
②在最大利润产量的基础上再生产50件,利润将会发生什么变化?
答案:
①当产量为500件时,利润最大. ②?
L?
-25即利润将减少25元. 4厂家生产一种产品的需求函数为q=720-80p(单位:
件),而生产q件该产品时的成本函数 为C=4q+160(单位:
元),问生产多少件产品时厂家获得的利润最大?
解:
L?
R?
C?
pq?
(4q?
160)?
720?
q11q?
4q?
160?
?
q2?
5q?
160 故L’?
?
q?
5808040所以当q?
200时,L’?
0.实际问题可知:
当q?
200件时利润最大为:
340元 5..某厂家生产某种产品q件时的总成本函数为C=20+4q+(元),单位销售价格为p=(元/件),问产量为多少时可使利润达到最大?
此时的最大利润是多少。
解:
L?
R?
C?
pq?
(20?
4q?
)?
(24?
)q?
20?
4q?
?
?
?
20q?
20故L’?
?
?
20 所以当q?
500时,L’?
0.实际问题可知:
当q?
500件时利润最大为:
4980元 6.已知某产品的边际成本函数为C(q)?
4q,边际收入为R?
(q)?
60?
2q,如果该产品的固定成本为10万元,求:
(1)产量为多少时总利润L最大?
(2)从最大利润产量的基础上再增产200台,总利润会发生什么变化解:
L’(q)?
R’(q)?
C’(q)?
60?
2q?
4q?
60?
6q 当q?
10时L’(q)?
0.实际问题可知:
当q?
10(百台)时利润最大。
?
L?
L(12)?
L(10)?
12?
1210L’(q)dq?
?
(60?
6q)dq 10121012?
?
(60?
6q)dq?
60q?
3q210?
?
12 总利润下降12万元。
7.生产某产品的边际成本为C?
(x)=8x(万元/百台),边际收入为R?
(x)=100-2x,其中x为 产量,问产量为多少时,利润最大?
从利润最大时的产量再生产2百台,利润有什么变化?
解:
L’(x)?
R’(x)?
C’(x)?
100?
2x?
8x?
100?
10x 当x?
10时L’(x)?
0.实际问题可知:
当x?
10(百台)时利润最大。
(12)?
L(10?
) ?
L?
L?
(100x?
5x)21210?
1210Lx’(dx)?
?
1210(1?
00x1d0x)?
?
20 再生产2百台,利润将下降20万元。
8.投产某产品的固定成本为36(万元),且边际成本为C?
(x)=2x+40(万元/百台).试求产量4百台增至6百台时总成本的增量,及产量为多少时,可使平均成本达到最低. 22解:
C(x)?
(2x?
40)dx?
x?
40x?
c ?
C(x)?
x6?
40x?
3?
C(6)?
C(4)?
?
(2x?
40)dx?
(x2?
40x)?
36?
240?
(16?
160)?
100(万元) 4466即产量4百台增至6百台时总成本的增量为100万元。
平均成本C(x)?
C(x)3636?
’?
1?
2 当x?
?
6时,?
C(x)?
’?
0?
x?
40?
C(x),?
?
?
?
?
xxx实际问题可知:
当x?
6百台时平均成本达到最低. 9.设生产某商品固定成本是20元,边际成本函数为C(q)?
?
2,求总成本函数C。
如果该商品的销售单价为22元且产品可以全部售出,问每天的产量为多少个单位时可使利润达到最大?
最大利润是多少?
22解:
C(q)?
(?
2)dq?
?
2q?
c ?
C(q)?
?
2q?
20?
L?
R?
C?
pq?
(?
2q?
20)?
22q?
?
2q?
20故L’?
?
?
20 所以当q?
50时,L’?
0.实际问题可知:
当q?
50时利润最大为:
480元 10已知某产品的边际成本C?
(q)?
4q?
3,q为产量,固定成本为18,求⑴该产品的平均成本.⑵最低平均成本. 解:
2C?
C?
(q)dq?
(4q?
3)dq?
2q?
3q?
18 ?
?
C(q)18?
2q?
3?
qq1818 C?
?
2?
2,令C?
?
2?
2?
0,解得唯一驻点x?
6 qq平均成本函数 C?
因为平均成本存在最小值,且驻点唯一,所以,当产量为600台时,可使平均成本达到最低。
最低平均成本为 C(6)?
2?
6?
3?
18?
126 二积分学 填空题1.若2. ?
xf(x)dx?
2x?
2x?
c,则f(x)?
__________.答案:
2ln2?
2_________?
(sinx)?
dx?
________.答案:
sinx?
c 3.若 ?
f(x)dx?
F(x)?
c,则?
xf(1?
x2)dx?
.答案:
?
1F(1?
x2)?
c24d?
cosxdx=cosxdx。
5函数f(x)=3x的一个原函数是3xln3。
6函数f(x)=sin2x的原函数是?
12cos2x?
c 7.ddx?
sin2xdx=sin2x。
8. ?
1sin2xdx?
?
cotx?
c 9.若f?
(x)存在且连续,则[?
df(x)]?
?
.答案f?
(x) 10设函数dedx?
1ln(1?
x2)dx?
___________.答案:
011若P(x)?
?
01x1?
t2dt,则P?
(x)?
__________.答案:
?
11?
x2?
?
12.若 ?
0ekxdx?
2,则k=?
12。
单项选择题 1.下列函数中,是xsinx2 的原函数.答案:
D A. 12cosx2 B.2cosx2 C.-2cosx2 2.下列等式成立的是. 答案:
C A.sinxdx?
d(cosx) B.lnxdx?
d(1x) C.2xdx?
1ln2d(2x) D. 1xdx?
dx 3.若?
f(x)dx?
cos2x?
2x?
c,则f(x)=. A.-2sin2x+2 B.2sin2x+2 C.-12sin2x+2 D.12sin2x+24若?
f(x)dx?
F(x)?
c,则?
xf(1?
x2)dx?
. A.12F(1?
x2)?
c B.?
12F(1?
x2)?
c D.-12cosx2C.2F(1?
x2)?
c D.?
2F(1?
x2)?
c 5.若 ?
f(x)dx?
?
ex?
2?
x2?
c?
,则f(x)=. xxx1?
21?
21?
ee?
e2A.?
e B.2 C.4 D.4 6若f(x)edx?
?
e?
c成立,则f=.?
1x1x1111A. B.2 C.?
D.?
2 xxxx7.若F是f的一个原函数,则?
e-xf(e-x)dx=.A.?
F(e?
x)?
c B.F(e?
x)?
cC.xF(e?
x)?
c D.?
xF(e?
x)?
c 8.在切线斜率为2x的积分曲线族中,通过点的曲线方程是. A.y?
x2?
1 B.y?
x2?
4 C.y?
x2?
15 D.y?
x2?
15 9下列不定积分中,常用分部积分法计算的是. 答案:
C 2A.cos(2x?
1)dx, B.x1?
xdx C.xsin2xdx D. ?
?
?
x?
1?
x2dx 10下列定积分计算正确的是.答案:
D A. C. ?
1?
12xdx?
2 B.?
16?
1dx?
15 ?
?
?
?
?
?
1?
(x2?
x3)dx?
0 D.?
sinxdx?
0 11.下列定积分中积分值为0的是. x?
x1e?
eex?
e?
xdxdx B.?
A.?
?
1?
122C. ?
?
?
?
(x3?
cosx)dx D.?
(x2?
sinx)dx ?
?
1?
12下列积分计算正确的是. 答案:
A x?
x1e?
eex?
e?
xdx?
0 B.?
dx?
0 A.?
?
1?
122C. ?
2?
1-1xsinxdx?
0 D.?
(x2?
x3)dx?
0 -1113. ?
?
sinxdx=.?
2A.0 B.π C. ?
D.2214. ?
?
x?
333cosx?
5x?
2?
dx?
. A.0 B.2 C.6 D.12 15.下列无穷积分中收敛的是. A. ?
?
?
?
1?
?
?
?
1xdxB.?
dx C. D.edxsinxdx2?
?
101xx?
1(三)解答题 1.计算下列不定积分 3xx3xe?
xdx 答案:
?
c 3elne354222(1?
x)2?
dx 答案:
2x?
x?
x?
c 35x1x2?
4dx 答案:
x2?
2x?
c?
2x?
211dx 答案:
?
ln1?
2x?
c?
1?
2x23122?
x2?
xdx 答案:
(2?
x)2?
c 3sinx?
dx 答案:
?
2cosx?
c xxxx?
xsindx 答案:
?
2xcos?
4sin?
c 222?
ln(x?
1)dx 答案:
(x?
1)ln(x?
1)?
x?
c 2.计算下列定积分 5 答案:
1?
xdx?
?
1222 1x e ?
1x2dx 答案:
e?
ee31dx 答案:
2?
1x1?
lnx1解:
?
21(x?
)2dx x32x11122?
[?
2x?
(?
)](x?
)dx?
(x?
2?
)dx2?
1?
13x1xx81129?
?
4?
?
(?
2?
1)?
323622
?
17?
0?
117.设线性方程组AX=b的增广矩阵通过初等行变换化为?
?
00?
?
00此线性方程组解的情况是. 0?
2?
3?
5?
?
,则119?
?
00?
A.有唯一解 B.有无穷多解 C.无解 D.解的情况不定 ?
1?
2?
18.若线性方程组的增广矩阵为A?
?
,则当?
=时线性方程组?
?
210?
有无解. 1A. B.0 C.1 D.2 219.线性方程组?
?
x1?
x2?
1解的情况是. x?
x?
02?
1A.无解 B.只有0解 C.有唯一解 D.有无穷多解 三、解答题 ?
23?
1?
?
123?
?
?
,B?
?
112?
,求 11设矩阵A?
11AB。
?
?
?
?
?
?
?
0?
11?
?
?
011?
?
解因为AB?
AB 23?
1A?
110?
1123221?
112?
(?
1)2?
3(?
1)?
2 1210?
10123232B?
112?
0-1-1?
0 011011所以AB?
AB?
2?
0?
0 23?
?
?
124?
?
245?
?
1?
?
?
?
?
?
02计算?
122143?
61?
?
?
?
?
?
?
?
1?
32?
?
?
?
23?
1?
?
?
?
3?
27?
?
23?
?
?
124?
?
245?
?
7197?
?
245?
?
1?
?
?
?
?
?
?
?
7120?
?
?
610?
0解?
122143?
61?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1?
32?
?
?
?
23?
1?
?
?
?
3?
27?
?
?
?
0?
4?
7?
?
?
?
3?
27?
?
2?
?
515?
?
110 =1?
?
?
?
?
3?
2?
14?
?
?
124?
?
?
3设矩阵A?
2?
1,确定?
的值,使r(A)最小。
?
?
?
?
110?
?
答案:
当?
?
9时,r(A)?
2达到最小值。
4?
2?
532?
5?
8544.求矩阵A?
?
?
1?
742?
?
4?
112答案:
r(A)?
2。
1?
3?
?
的秩。
0?
?
3?
5解矩阵方程AX=X+B,其中A=?
?
12?
?
2?
1?
B=.?
?
?
?
0?
3?
?
3?
3?
?
1解:
AX?
X?
B得AX?
X?
B即(A?
I)X?
B故X?
(A?
I)B ?
(A?
I,I)?
?
1?
3?
1?
4100?
?
1?
?
?
1?
?
0?
11130?
?
1?
?
?
?
1?
?
00143?
1?
?
?
1?
?
4?
1?
?
4?
1?
?
12?
?
411?
(A?
I)?
1?
?
X?
?
?
3?
1?
?
0?
3?
?
?
39?
3?
1?
?
?
?
?
?
?
?
6.设矩阵A?
?
?
12?
?
12?
,求解矩阵方程XA?
B.答案:
X=,B?
?
?
?
?
35?
?
23?
?
10?
?
?
11?
?
?
7.求下列矩阵的逆矩阵:
?
1?
32?
?
113?
?
?
答案A?
1?
?
237?
1A?
?
30?
?
?
?
?
?
1?
1?
?
1?
?
349?
?
?
?
13?
6?
3?
?
?
?
1)设矩阵A=?
4?
2?
1,求A. ?
?
?
11?
?
2?
解:
?
?
13?
6?
3100?
?
114107?
?
114107?
?
?
?
?
4?
2?
1010?
?
?
001012?
(A,I)?
?
?
4?
2?
1010?
?
?
?
?
?
?
11001?
?
2?
?
?
211001?
?
?
?
211001?
?
?
114107?
?
114107?
?
1101?
4?
1?
?
?
?
0172013?
?
?
0102?
7?
1?
?
?
0?
1?
7?
20?
13?
?
?
?
?
?
?
012?
?
001?
?
?
001012?
?
?
?
001012?
?
?
100?
130?
?
?
130?
?
所以A?
1?
?
2?
7?
1?
?
?
0102?
7?
1?
?
?
?
?
?
?
001012?
?
?
012?
?
?
110?
?
100?
?
?
?
?
已知A=223,B=312,求(A?
B)?
1?
?
?
?
?
?
?
345?
?
?
442?
?
解:
?
010?
?
A?
B?
?
?
111?
?
?
?
?
103?
?
?
010100?
?
10?
300?
1?
?
?
?
?
111010?
(A?
B,I)?
?
?
111010?
?
?
?
?
?
?
103001?
?
?
?
010100?
?
?
10?
300?
1?
?
10?
300?
1?
?
10?
300?
1?
?
?
?
010100?
?
?
010100?
?
?
01?
201?
1?
?
?
?
?
?
?
?
010100?
?
?
?
01?
201?
1?
?
?
?
00?
2?
11?
1?
?
?
?
10?
3?
?
?
010?
?
001?
011200?
123?
?
100?
1?
?
2?
?
0?
?
?
01011?
?
1?
?
0012?
?
2?
32012?
1?
2?
?
0?
1?
?
2?
?
?
3?
31?
22?
所以(A?
B)?
1?
?
2?
100?
?
?
?
11?
?
2?
122?
?
?
11?
设矩阵A=?
?
0?
2?
,B=?
?
12?
3?
,计算(BA)-1?
?
?
20?
?
?
0?
12?
. ?
?
1解:
BA?
?
?
12?
3?
?
0?
12?
?
1?
?
?
0?
2?
=?
?
?
5?
3?
?
?
?
?
20?
?
?
42?
(BA,I)?
?
?
?
5?
310?
?
?
1?
111?
?
?
1?
111?
?
11?
4201?
?
?
?
?
4201?
?
?
?
?
0?
245?
?
?
?
?
0?
2 ?
11?
1?
1?
?
3?
?
13?
?
?
?
?
01?
2?
5?
?
101?
2?
?
所以(BA)?
1?
?
?
2?
?
?
2?
?
?
5?
?
?
?
01?
2?
2?
?
?
?
?
2?
5?
2?
?
7.求解下列线性方程组的一般解:
?
?
x1?
2x3?
x4?
0?
?
x1?
x2?
3x3?
2x4?
0 ?
?
2x1?
x2?
5x3?
3x4?
0答案:
?
?
x1?
?
2x3?
x4x 2?
x3?
x4?
102?
1?
A?
?
?
?
11?
32?
?
102?
1?
?
102?
1?
?
?
?
?
?
01?
11?
?
?
?
?
01?
11?
?
2?
15?
3?
?
?
?
0?
11?
1?
?
?
?
0000?
?
?
所以,方程的一般解为 ?
?
x1?
?
2x3?
x43?
x4 ?
1?
1?
45?
?
?
2x1?
x2?
x3?
x4?
1?
?
x1?
2x2?
x3?
4x4?
2 ?
x?
7x?
4x?
11x?
5234?
1164?
x?
?
x?
x?
34?
15