最新人教版中考数学 《 圆证明题》 专项复习及答案.docx

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最新人教版中考数学《圆证明题》专项复习及答案

2018年中考数学圆证明题专项复习

1、如图，点A，B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，OC⊥OB，连接AB交OC于点D．求证：

AC=CD．

2、如图，AD是⊙O的切线，切点为A，AB是⊙O的弦．过点B作BC∥AD，交⊙O于点C，连接AC，过点C作CD∥AB，交AD于点D．连接AO并延长交BC于点M，交过点C的直线于点P，且∠BCP=∠ACD．

（1）判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；   

（2）若AB=9，BC=6．求PC的长．   

3、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB上一点，以BD为直径的⊙O和AB相切于点P．

（1）求证：

BP平分∠ABC；   

（2）若PC=1，AP=3，求BC的长．   

4、已知：

如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，∠PBA=∠C．

（1）求证：

PB是⊙O的切线．

（2）若OP∥BC，且OP=8，∠C=60°，求⊙O的半径．

5、如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点M，MN⊥AC于点N．

求证：

MN是⊙O的切线．

6、如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E．

（1）求证：

∠BDC=∠A；

（2）若CE=4，DE=2，求⊙O的直径．

7、已知：

AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB=AC，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．

（1）求证：

DC=BD

（2）求证：

DE为⊙O的切线．

8、如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的直线与AB的延长线交于点D，连接AC，BC，∠BCD=∠CAB．E是⊙O上一点，弧CB=弧CE，连接AE并延长与DC的延长线交于点F．

（1）求证：

DC是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为3，sinD=，求线段AF的长．

9、如图，已知MN是⊙O的直径，直线PQ与⊙O相切于P点，NP平分∠MNQ．

（1）求证：

NQ⊥PQ；

（2）若⊙O的半径R=2，NP=，求NQ的长．

10、已知：

AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB=AC；连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．  

（1）求证：

DC=BD

（2）求证：

DE为⊙O的切线

11、如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF和AD．

（1）求证：

EF是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为2，∠EAC=60°，求AD的长．

12、如图，AB是⊙O的直径，点E是上的一点，∠DBC=∠BED．

⑴求证：

BC是⊙O的切线；

⑵已知AD=3，CD=2，求BC的长．

13、如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．

（1）求∠ABC的度数；

（2）求证：

AE是⊙O的切线；

（3）当BC=4时，求劣弧AC的长．

14、已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC．

（1）求证：

AB=AC；

（2）若AB=4，BC=2，求CD的长．

15、如图，以△ABC的边AB上一点O为圆心的圆经过B、C两点，且与边AB相交于点E，D是弧BE的中点，CD交AB于F，AC=AF．

（1）求证：

AC是⊙O的切线；

（2）若EF=5，DF=，求⊙O的半径．

参考答案

1、∵直线AC与⊙O相切，∴OA⊥AC，∴∠OAC=90°，即∠OAB+∠CAB=90°，

∵OC⊥OB，∴∠BOC=90°，∴∠B+∠ODB=90°，

而∠ODB=∠ADC，∴∠ADC+∠B=90°，∴OA=OB，

∴∠OAB=∠B，∴∠ADC=∠CAB，∴AC=CD．

2、

（1）解：

PC与圆O相切，理由为：

 过C点作直径CE，连接EB，如图，

∵CE为直径，∴∠EBC=90°，即∠E+∠BCE=90°，∵AB∥DC，∴∠ACD=∠BAC，

∵∠BAC=∠E，∠BCP=∠ACD．∴∠E=∠BCP，

∴∠BCP+∠BCE=90°，即∠PCE=90°，∴CE⊥PC，∴PC与圆O相切；

（2）解：

∵AD是⊙O的切线，切点为A，∴OA⊥AD，

∵BC∥AD，∴AM⊥BC，∴BM=CM=BC=3，∴AC=AB=9，

在Rt△AMC中，AM==6，

设⊙O的半径为r，则OC=r，OM=AM﹣r=6﹣r，

在Rt△OCM中，OM2+CM2=OC2，即32+（6﹣r）2=r2，解得r=，

∴CE=2r=，OM=6﹣=，∴BE=2OM=，

∵∠E=∠MCP，∴Rt△PCM∽Rt△CEB，∴=，即=，∴PC=

3、

（1）证明：

连接OP，

∵AC是⊙O的切线，∴OP⊥AC，BC⊥AC，∴OP∥BC，∴∠OPB=∠PBC，

∵OP=OB，∴∠OPB=∠OBP，∴∠PBC=∠OBP，∴BP平分∠ABC

（2）作PH⊥AB于H．∵PB平分∠ABC，PC⊥BC，PH⊥AB，∴PC=PH=1，

在Rt△APH中，AH==2，∵∠A=∠A，∠AHP=∠C=90°，∴△APH∽△ABC，

∴=，∴=，∴AB=3，∴BH=AB﹣AH=，

在Rt△PBC和Rt△PBH中，，∴Rt△PBC≌Rt△PBH，∴BC=BH=．      

4、

（1）证明：

连接OB，∵AC是⊙O直径，∴∠ABC=90°，

∵OC=OB，∴∠OBC=∠C，∵∠PBA=∠C，∴∠PBA=∠OBC，即∠PBA+∠OBA=∠OBC+∠ABO=∠ABC=90°，

∴OB⊥PB，∵OB为半径，∴PB是⊙O的切线；

（2）解：

∵OC=OB，∠C=60°，∴△OBC为等边三角形，∴BC=OB，

∵OP∥BC，∴∠CBO=∠POB，∴∠C=∠POB，

在△ABC和△PBO中∵，∴△ABC≌△PBO（ASA），∴AC=OP=8，即⊙O的半径为4．

5、证明：

连接OM，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵OB=OM，∴∠B=∠OMB，∴∠OMB=∠C，∴OM∥AC，

∵MN⊥AC，∴OM⊥MN．∵点M在⊙O上，∴MN是⊙O的切线．

6、

（1）证明：

连接OD，

∵CD是⊙O切线，∴∠ODC=90°，即∠ODB+∠BDC=90°，

∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠ODB+∠ADO=90°，∴∠BDC=∠ADO，

∵OA=OD，∴∠ADO=∠A，∴∠BDC=∠A；

（2）∵CE⊥AE，∴∠E=∠ADB=90°，

∴DB∥EC，∴∠DCE=∠BDC，∴∠DCE=∠A，∵CE=4，DE=2

∴在Rt△ACE中，可得AE=8∴AD=6

在在Rt△ADB中 可得BD=3∴根据勾股定理可得

7、证明：

（1）连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，又∵AB=AC，∴DC=BD；

（2）连接半径OD，∵OA=OB，CD=BD，∴OD∥AC，∴∠ODE=∠CED，

又∵DE⊥AC，∴∠CED=90°，∴∠ODE=90°，即OD⊥DE．∴DE是⊙O的切线．

8、

（1）证明：

连接OC，BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，即∠1+∠3=90°．

∵OA=OC，∴∠1=∠2．∵∠DCB=∠BAC=∠1．∴∠DCB+∠3=90°．∴OC⊥DF．∴DF是⊙O的切线；

（2）解：

在Rt△OCD中，OC=3，sinD=．∴OD=5，AD=8．

∵=，∴∠2=∠4．∴∠1=∠4．∴OC∥AF．∴△DOC∽△DAF．∴．∴AF=．

9、

（1）证明：

连结OP，如图，∴直线PQ与⊙O相切，∴OP⊥PQ，

∵OP=ON，∴∠ONP=∠OPN，∵NP平分∠MNQ，∴∠ONP=∠QNP，∴∠OPN=∠QNP，∴OP∥NQ，∴NQ⊥PQ；

（2）解：

连结PM，如图，∵MN是⊙O的直径，∴∠MPN=90°，

∵NQ⊥PQ，∴∠PQN=90°，而∠MNP=∠QNP，∴Rt△NMP∽Rt△NPQ，

∴=，即=，∴NQ=3．

10、

（1）证明：

（1）连接AD；∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．

又∵AB=AC∴DC=BD

（2）连接半径OD；∵OA=OB，CD=BD，∴OD∥AC．∴∠0DE=∠CED．

又∵DE⊥AC，∴∠CED=90°．∴∠ODE=90°，即OD⊥DE．∴DE是⊙O的切线．

11、

（1）证明：

连接CE，如图所示：

∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC=90°．∴∠BEC=90°．

∵点F为BC的中点，∴EF=BF=CF．∴∠FEC=∠FCE．

∵OE=OC，∴∠OEC=∠OCE．∵∠FCE+∠OCE=∠ACB=90°，

∴∠FEC+∠OEC=∠OEF=90°．∴EF是⊙O的切线．

（2）解：

∵OA=OE，∠EAC=60°，∴△AOE是等边三角形．∴∠AOE=60°．∴∠COD=∠AOE=60°．

∵⊙O的半径为2，∴OA=OC=2在Rt△OCD中，∵∠OCD=90°，∠COD=60°，

∴∠ODC=30°．∴OD=2OC=4，∴CD=．在Rt△ACD中，∵∠ACD=90°，AC=4，CD=．

∴AD==．

12、1）AB是⊙O的直径，得∠ADB=90°，从而得出∠BAD=∠DBC，即∠ABC=90°，即可证明BC是⊙O的切线；

（2）可证明△ABC∽△BDC，则=，即可得出BC=；

13、解：

（1）∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角，∴∠ABC=∠D=60°；

（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∴∠BAC=30°，

∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，即BA⊥AE，∴AE是⊙O的切线；

（3）如图，连接OC，∵∠ABC=60°，∴∠AOC=120°，∴劣弧AC的长为．

14、

（1）证明：

∵ED=EC，∴∠EDC=∠C，∵∠EDC=∠B，∴∠B=∠C，∴AB=AC；

（2）解：

连接AE，∵AB为直径，∴AE⊥BC，由

（1）知AB=AC，∴BE=CE=BC=，

∵△CDE∽△CBA，∴，∴CE•CB=CD•CA，AC=AB=4，

∴•2=4CD，∴CD=．

15、

（1）证明：

连结OD、OC，如图，∵D是弧BE的中点，∴OD⊥BE，∴∠D+∠3=90°，

∵∠3=∠2，∴∠D+∠2=90°，∵AF=AC，OD=OC，∴∠1=∠2，∠D=∠4，

∴∠1+∠4=90°，∴OC⊥AC，∴AC是⊙O的切线；

（2）解：

设⊙O的半径为r，则OF=OE﹣EF=r﹣5，

在Rt△ODF中，∵OD2+OF2=DF2，∴r2+（r﹣5）2=（）2，

整理得r2﹣5r﹣6=0，解得r1=6，r2=﹣1，∴，⊙O的半径为6．