小学奥数教程之体育比赛问题 教师版 167 全国通用含答案.docx

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小学奥数教程之体育比赛问题教师版167全国通用含答案

知识点拨

体育比赛中的数学

对于体育比赛形式的逻辑推理题，注意“一队的胜、负、平”必然对应着“另一队的负、胜、平”。

有时综合性的逻辑推理题需要将比赛情况用点以及连接这些点的线来表示，从整体考虑，通过数量比较、整数分解等方式寻找解题的突破口。

例题精讲

【例1】三年级四个班进行足球比赛，每两个班之间都要赛一场，那么每个班要赛几场？

一共要进行多少场比赛？

（如果参赛队每两队之间都要赛一场，这种比赛称为单循环赛）

【考点】体育比赛【难度】1星【题型】解答

【解析】（法一）题意要求每两个点之间都连一条线段．先考虑点（如图），它与、、三点能且只能连接三条线段、、；同样，从点也可以连出三条线段、、；从点可以连出三条线段、、；从点可以连出三条线段、，．因此，从一个点可以连三条线段．从每个点都连出三条线段，共有四个点．（条）

注意到线段既是由点连出的，也是由点连出的，并且每一条线段都是这样（如图），所以，线段的总数应为：

（条）．

（法二）从点引出三条线．、、，为避免重复计数，从点引出的线段只计、两条，由点引出的只有一条．因此，线段的总数为（条）．

通过例题的讲解，对于这个问题，我们就可以很轻松地解决了．一共有四个队，每个队都要比赛场，一共有比赛场．

【点拨】我们可以将上面的问题如下表述：

下面的四个点，每两个点之间都连一条线段，那么，从一个点可以连出几条线段？

一共可以连多少条线段？

【答案】场

【巩固】市里举行足球联赛，有个区参加比赛，每个区出个代表队．每个队都要与其他队赛一场，这些比赛分别在个区的体育场进行，那么平均每个体育场都要举行多少场比赛？

【考点】体育比赛【难度】1星【题型】解答

【解析】一共有（个）队参加比赛，共赛（场），平均每个体育场都要举行（场）比赛．

【答案】场

【巩固】二年级六个班进行拔河单循环赛，每个班要进行几场比赛？

一共要进行几场比赛？

【考点】体育比赛【难度】1星【题型】解答

【解析】每个班要进行场，一共要进行（场）比赛．

【答案】每个班要进行场，一共要进行场比赛

【巩固】名羽毛球运动员参加单打比赛，两两配对进行单单循环赛，那么冠军一共要比赛多少场？

【考点】体育比赛【难度】1星【题型】解答

【解析】假设名羽毛球运动员中的甲是冠军，那么甲与其他名运动员都赛过了，也就是一共赛了场．

【答案】一共赛了场

【例2】只球队进行淘汰赛，为了决出冠军，需要进行多少场比赛？

【考点】体育比赛【难度】2星【题型】解答

【解析】方法一：

进进行了场，进进行场，最后决赛是场，因此共进行了（场）

　　比赛．

方法二：

每进行一场比赛就淘汰一支球队，最后只剩下冠军了，也就是说淘汰了只球队，因此进行了场比赛．

【答案】场比赛

【例3】学校进行乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，一共进行了场比赛，有人参加了选拔赛．

...

【考点】体育比赛【难度】2星【题型】选择

【关键词】2008，第四届，IMC国际数学邀请赛，新加坡，初赛

【解析】三个人比赛，可以比赛场；如果四个人比赛，可以比赛场；如果有五个人比赛，那么可以比赛场；如果有个人比赛，那么可以比赛场，所以答案是．

【答案】答案是

【巩固】朝阳区的几个学校举行篮球比赛，每两个学校都要赛一场，共赛了场，那么有几个学校参加了比赛？

【考点】体育比赛【难度】2星【题型】解答

【解析】假设有个学校参加比赛，那么就有场比赛，现在已知共赛了场，那么，也就是有个学校参加了比赛．

【答案】个学校

【例4】有个选手进行乒乓球单循环赛，结果每人获胜局数各不相同，那么冠军胜了几局？

【考点】体育比赛【难度】2星【题型】解答

【解析】个选手进行乒乓球单循环赛，每个选手都要参加场比赛，而且每人获胜局数各不相同，所以每人获胜的局数分别为局，那么冠军胜了局．

【答案】冠军胜了局

【例5】、、、、五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘．到现在为止，已经赛盘，赛盘，赛盘，赛盘．问：

此时同学赛了几盘？

【考点】体育比赛【难度】2星【题型】解答

【解析】画个点表示五位同学，两点之间连一条线段表示赛一场，建议教师让学生动手按要求画一画．

根据题意，已经赛盘，说明与、、、各赛一盘，应与、、、点相连．赛盘，是与点相连的．赛盘，是与、、点相连的．赛盘，是与、点相连的．从图上点的连线条数可知，同学赛了盘．

【答案】同学赛了盘

【巩固】八一队、北京队、江苏队、山东队、广东队五队进行象棋友谊赛，每两个队都要赛一场，一个月过后，八一队赛了场，北京队赛了场，江苏队赛了场，山东队赛了场．那么广东队赛了几场？

【考点】体育比赛【难度】2星【题型】解答

【解析】八一队赛了场，说明八一队和其它四队都赛过了．

山东队赛了场，说明只和八一队赛过．

北京队赛了场，说明与八一队、江苏队、广东队赛过．

江苏队赛了场，说明与八一队、北京队赛过．

由此可知，广东队只和八一队、北京队赛过，赛了场．

【答案】赛了场

【巩固】A、B、C、D、E、F六人赛棋，采用单循环制。

现在知道：

A、B、C、D、E五人已经分别赛过5．4、3、2、l盘。

问：

这时F已赛过盘。

【考点】体育比赛【难度】2星【题型】填空

【解析】3盘。

【答案】3盘

【例6】趣味滑冰锦标赛最后进行的是花样滑冰双人滑的表演，规定男女双方都不能和自己的原搭档在一起表演．男士用、、表示，女士用甲、乙、丙表示．已知前面表演过程中和甲一起滑过，和丙一起滑过，和甲一起滑过，和乙一起滑过，的新搭档不可能是丙，那么乙的新搭档是谁？

【考点】体育比赛【难度】2星【题型】解答

【解析】根据题意可列出以下表格，“×”表示二者不可能是新搭档．

由上图可以发现甲的新搭档是，的新搭档不可能是丙，所以丙的新搭档是，乙的新搭档是．

【答案】乙的新搭档是

【例7】东东、西西、南南、北北四人进行乒乓球单循环赛，结果有三人获胜的场数相同．问另一个人胜了几场？

【考点】体育比赛【难度】2星【题型】解答

【解析】东东、西西、南南、北北四人进行单循环赛，则每人都赛场，共赛（场）．如果其中有三人都胜场，则至少进行场比赛，这是不可能的；如果其中有三人都胜场，那么场比赛中的获胜者都在这三个人中，每人胜了场，另一个人胜场；如果其中有三人都胜场，那么场比赛中的场这三人各胜场，另外场的胜者必是第四个人，故另一个人胜场；三个人都胜场也是不可能的．因此，如果有人获胜的场数相同，那么另一个人可能胜场，也可能胜场．

【答案】另一个人可能胜场，也可能胜场

【巩固】东东、西西、北北三人进行乒乓球单循环赛，结果人获胜的场数各不相同．问第一名胜了几场？

【考点】体育比赛【难度】2星【题型】解答

【解析】三人进行单循环赛，即每两人都要赛一场，共进行（场）比赛．每场比赛都有一人获胜，每人都赛场．由题意知三人获胜的场数各不相同，所以三人获胜的场数分别为、、．显然，第一名是胜了场．

【答案】第一名是胜了场

【例8】参加世界杯足球赛的国家共有个（称强），每四个国家编入一个小组，在第一轮单循环赛中，每个国家都必须而且只能分别和本小组的其他各国进行一场比赛，赛出强后，进入淘汰赛，每两个国家用一场比赛定胜负，产生强、强、强，最后决出冠军、亚军、第三名，第四名．至此，本届世界杯的所有比赛结束．

根据以上信息，算一算，世界杯的足球赛全程共有几场？

【考点】体育比赛【难度】2星【题型】解答

【解析】单循环赛中，有（个）组．每组个队．每组四个队中，每个队要与其他队都比赛场，每个队就比场．因为每场比赛要个队．所以组里有（场）．有个组，单循环赛就有（场）．进入淘汰赛，有个队，淘汰赛每比场就淘汰个队，最后决出冠军个队，就比了场，还要决出第三名，第四名，又多了场．淘汰赛就有场．世界杯的足球赛全程共有（场）．

【答案】场

【例9】四个人进行象棋单循环赛，规定胜者得分，负者得分，和棋双方各得分，比赛结束后统计发现，四个人的得分和加起来一定是多少？

【考点】体育比赛【难度】2星【题型】解答

【解析】四个人循环比赛总共比赛（场），每场无论分出胜负还是打平，两人的得分和一定是分，因此最终四个人的得分加起来一定是（分）．

【答案】分

【巩固】五个人进行象棋单循环赛，规定胜者得分，负者得分，和棋双方各得分，比赛结束后统计发现，五个人的得分和加起来一定是多少？

【考点】体育比赛【难度】2星【题型】解答

【解析】四个人循环比赛总共比赛（场），每场无论分出胜负还是打平，两人的得分和一定是分，因此最终四个人的得分加起来一定是（分）．

【答案】分

【例10】五个足球队进行循环比赛，即每两个队之间都要赛一场．每场比赛胜者得分、负者得分、打平两队各得分．比赛结果各队得分互不相同．已知：

⑴第名的队没有平过；⑵第名的队没有负过；⑶第名的队没有胜过．问全部比赛共打平了场．

【考点】体育比赛【难度】2星【题型】填空

【解析】支球队进行循环赛，共需要打场，产生总分分．由⑴、⑵知第名负于第名，那么第名最多得分．由于各队得分互不相同，而且，所以支球队得分依次为分、分、分、分、分．第一名没有平过，又只得到了6分，因此负过一场，而第二名的队没有负过，因此第一名应该负于第二名，胜3，4，5名．第二名得了5分，其中胜第一名得了2分，又没有负过，因此和3，4，5名皆为平局．第四名得了3分，其中输给了第一名，平了第二名，没有胜过，因此和第3，5名都是平局．第三名得了4分，输给了第一名，平了2，4名得2分，因此胜了第5名得2分．第五名显然只和第2，4名平了，其余皆负．综上，所有比赛平了5场，分别是2-3，2-4，2-5，3-4，4-5．

【答案】平了5场

【巩固】一次象棋比赛共有10名选手参加，他们分别来自甲、乙、丙三个队，每个选手都与其余9名选手各赛1盘，每盘棋的胜者得1分，负者得0分，平局双方各得0.5分．结果，甲队选手平均得4.5分，乙队选手平均得3.6分，丙队选手平均得9分．那么，甲、乙、丙三队参加比赛的选手人数各多少？

【考点】体育比赛【难度】2星【题型】解答

【解析】由题意可知，这次比赛共需比（盘）．

因为每盘比赛双方得分的和都是1分或），所以10名选手的总得分为（分）．每个队的得分不是整数，就是“&.5”这样的小数．由于乙队选手平均得3.6分，3.6的整数倍不可能是“0.5”这样的小数．所以，乙队的总得分是18或36．

但，而三个队一共才10名选手（矛盾）．所以乙队的总分是18分，有选手（名）．甲、丙两队共有5名选手．

由于丙队的平均分是9分，这个队总分只可能是9分，18分（不可能是27分）．因为，甲队选手总得分为0分），丙队选手人数相应为1名、2名，甲队选手人数相应为4名，3名，经过试验，甲队4名选手，丙队1名选手．

【答案】甲队4名选手，丙队1名选手，乙队5名选手

【巩固】四名同学参加区里围棋比赛，每两名选手都要比赛一局，规则规定胜一局得分，平一局得分，负一局得分．如果每个人最后得的总分都不相同，且第一名不是全胜，那么最多有几局平局？

【考点】体育比赛【难度】2星【题型】解答

【解析】四人共赛局，总分为（分），因为总分各不相同，分配得：

或．平局最多的应该是、、、的情况．总分是奇数的必有一局平局，当得分是分、分的同学分别与得分是分、分的同学打平后，得分是分、分的同学就还剩下分、分，互相打平就正好．所以平局最多是局．

【答案】平局最多是局

【例11】、、、、五人参加乒乓球比赛，每两个人都要赛一盘，并且只赛一盘，规定胜者得分，负者不得分，已知比赛结果如下：

①与并列第一名②是第三名③和并列第四名。

求得多少分？

【考点】体育比赛【难度】2星