离散数学屈婉玲版第一章部分习题分解Word文档格式.docx

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离散数学屈婉玲版第一章部分习题分解Word文档格式.docx

3+3=6,则p,q都是真命题.

(1)p→q,真值为1.

(2)p→┐q,真值为0.

(3)┐p→q,真值为1.

(4)┐p→┐q,真值为1.

(5)p↔q,真值为1.

(6)p↔┐q,真值为0.

(7)┐p↔q,真值为0.

(8)┐p↔┐q,真值为1.

1.4将下列命题符号化,并讨论其真值。

(1)如果今天是1号,则明天是2号。

p:

今天是1号。

q:

明天是2号。

符号化为:

p→q

真值为:

(2)如果今天是1号,则明天是3号。

明天是3号。

1.5将下列命题符号化。

(1)2是偶数又是素数。

(2)小王不但聪明而且用功。

(3)虽然天气很冷,老王还是来了。

(4)他一边吃饭,一边看电视。

(5)如果天下雨,他就乘公共汽车上班。

(6)只有天下雨,他才乘公共汽车上班。

(7)除非天下雨,否则他不乘公共汽车上班。

(意思为:

如果他乘公共汽车上班,则天下雨或如果不是天下雨,那么他就不乘公共汽车上班)

(8)不经一事,不长一智。

答案:

(1)设p:

2是偶数,q:

2是素数。

符号化为:

p∧q

(2)设p:

小王聪明,q:

小王用功。

(3)设p:

天气很冷,q:

老王来了。

(4)设p:

他吃饭,q:

他看电视。

(5)设p:

天下雨,q:

他乘公共汽车。

(6)设p:

他乘公共汽上班。

q→p

(7)设p:

他乘公共汽车上班。

q→p或⌝q→⌝p

(8)设p:

经一事,q:

长一智。

⌝p→⌝q

1.6设p,q的真值为0;

r,s的真值为1,求下列各命题公式的真值。

(1)p∨(q∧r)

(2)(p↔r)∧(¬

p∨s)

(3)(p∧(q∨r))→(p∨q)∧(r∧s)

(4)¬

(p∨(q→(r∧¬

p))→(r∨¬

s)

解:

p

q

r

q∧r

p∨(q∧r)

0

p∨s)

s

p↔r

¬

p∨s

(p↔r)∧(¬

(3)(p∧(q∨r))→(p∨q)∧(r∧s)

q∨r

p∧(q∨r)

p∨q

r∧s

(p∨q)∧(r∧s)

(p∧(q∨r))→(p∨q)∧(r∧s)

(4)¬

s)

r∧¬

q→(r∧¬

p)

p))

(r∨¬

1.7判断下列命题公式的类型。

(1)p→(p∨q∨r)

解:

p∨q∨r

p→(p∨q∨r)

由真值表可知,该命题公式为重言式。

(2)(p→┑p)→┑p

p

┑p

p→┑p

(p→┑p)→┑p

由真值知命题公式的类型是:

重言式

(3)┐(q→p)∧p

┐(q→p)

┐(q→p)∧p

此命题公式是矛盾式。

(4)(p→q)→(﹁q→﹁p)

解:

其真值表为:

﹁p

﹁q

﹁q→﹁p

(p→q)→(﹁q→﹁p)

由真值表观察,此命题为重言式.

(5)(﹁p→q)→(q→﹁p)

﹁p→q

q→﹁p

(﹁p→q)→(q→﹁p)

由真值表观察,此命题为非重言式的可满足式.

(7)(p∨

p)→((q∧

q)∧

r)

p∨

q∧

(q∧

(p∨

结论:

此命题为矛盾式

1.7(8)

(p↔q)→﹁(p∨q).

pq

(p↔q)

(p∨q)

﹁(p∨q)

(p↔q)→﹁(p∨q)

00

01

10

11

由此可以知道,上式为非重言式的可满足式.

(9)((p→q)∧(q→r))→(p→r)

p→q

q→r

(p→q)∧(q→r)

p→r

A

该命题为永真式

(10)((p∨q)→r)

(p∨q)→r

(p∨q)→r)

结论:

此命题为非重言式可满足式

1.8用等值演算法证明下列等值式

(1)(p∧q)∨(p∧﹁q)

证明:

(p∧q)∨(p∧﹁q)(分配律)

p∧(q∨﹁q)(排中律)

p∧1(同一律)

p

(3)⌝(p↔q)⇔((p∨q)∧⌝(p∧q))

⌝(p↔q)

⇔⌝((p→q)∧(q→p))

⇔⌝((⌝p∨q)∧(⌝q∨p))

⇔⌝(⌝p∨q)∨⌝(⌝q∨p)

⇔(p∧⌝q)∨(q∧⌝p)

⇔((p∧⌝q)∨q)∧((p∧⌝q)∨⌝p)

⇔((p∨q)∧(⌝q∨q))∧((p∨⌝p)∧(⌝q∨⌝p))

⇔((p∨q)∧1)∧(1∧(⌝q∨⌝p))

⇔(p∨q)∧(⌝q∨⌝p)

⇔(p∨q)∧⌝(p∧q)

1.9用等值演算法判断下列公式的类型。

(1)⌝((p∧q)→p).

(1)⌝((p∧q)→p)

⇔⌝(⌝(p∧q)∨p)蕴含等值式

⇔⌝(⌝(p∧q))∧⌝p德·

摩根律

⇔p∧q∧⌝p双重否定律

⇔p∧⌝p∧q交换律

⇔0∧q矛盾律

⇔0零律

即原式为矛盾式.

(2)((p→q)∧(q→p))↔(p↔q)

((p→q)∧(q→p))↔(p↔q)

⇔(p↔q)↔(p↔q)

⇔((p↔q)→(p↔q))∧((p↔q)→(p↔q))

⇔(P↔q)→(p↔q)

⇔⌝(p↔q)∨(p↔q))

⇔1

即((p→q)∧(q→p))↔(p↔q)是重言式。

(3)(⌝p→q)→(q→⌝p).

解:

(⌝p→q)→(q→⌝p)

⇔⌝((p∨q))∨(⌝q∨⌝p)

⇔(⌝p∧⌝q)∨(⌝q∨⌝p)

⇔(⌝p∨(⌝p∧⌝q))∧(⌝q∨(⌝q∨⌝p))

⇔((⌝p∨⌝p)∨⌝q)∧((⌝q∨⌝q)∨⌝p]

⇔(⌝p∨⌝q)∧(⌝p∨⌝q)

⇔(⌝p∨⌝q)

或(⌝p→q)→(q→⌝p)

⇔((⌝p∧⌝q)∨⌝q)∨⌝p结合律

⇔⌝p∨⌝q吸收律

该公式为可满足式。

1.12

(1)求下面命题公式的主析取范式、主合取范式、成真赋值、成假赋值。

(p∨(q∧r))→(p∧q∧r)

⇔(p∨(q∧r))∨(p∧q∧r)

⇔(¬

p∧(¬

q∨¬

r))∨(p∧q∧r)

p∧¬

q)∨(¬

r)∨(p∧q∧r)

⇔((¬

q)∧(r∨¬

r))∨((¬

r)∧(q∨¬

q))∨(p∧q∧r)

q∧r)∨(¬

q∧¬

r)∨(¬

r)∨(¬

p∧q∧¬

r)∨(p∧q∧r)

⇔m0∨m1∨m2∨m7

⇔∑(0,1,2,7)

故其主析取范式为

(p∨(q∧r))→(p∧q∧r)⇔∑(0,1,2,7)

由最小项定义可知道原命题的成真赋值为

(0,0,0)(0,1,0)(0,0,1)(1,1,1)

成假赋值为(0,1,1)(1,0,0)(1,0,1)(1,1,0)

由主析取范式和主合取范式的关系即可知道主合取范式为

(p∨(q∧r))→(p∧q∧r)⇔∏(3,4,5,6)

(3)⌝(p→q)∧q∧r

⌝(p→q)∧q∧r

⇔⌝(⌝p∨q)∧q∧r

⇔p∧⌝q∧q∧r

⇔0

既⌝(p→q)∧q∧r是矛盾式。

⌝(p→q)∧q∧r的主合取范式为M0∧M1∧M2∧M3∧M4∧M5∧M6∧M7,成假赋值为:

000,001,010,011,100,101,111.

13.通过求主析取范式判断下列各组命题公式是否等值。

∨∨∧

(1)①p→(q→r);

②q→(p→r).

p→(q→r)⇔﹁p∨(q→r)

⇔﹁p∨(﹁q∨r)

⇔﹁p∨﹁q∨r

⇔(﹁p∧(q∨﹁q)∧(r∨﹁r))∨((p∨﹁p)∧﹁q∧(r∨﹁r))∨((p∨﹁p)∧(q∨﹁q)∧r)

⇔(﹁p∧q∧r)∨(﹁p∧q∧﹁r)∨(﹁p∧﹁q∧r)∨(﹁p∧﹁q∧﹁r)∨(p∧﹁q∧r)∨(p∧﹁q∧﹁r)∨(﹁p∧q∧r)

⇔∑(0,1,2,3,4,5,7)

q→(p→r)⇔﹁q∨(﹁p∨r)

⇔﹁p∨﹁q∨r

所以两式等值。

(2)①p↑q

⇔(p∧q)

⇔(p∧(q∨q))∨(q∧(p∨p))

⇔(p∧q)∨(p∧q)∨(q∧p)∨(p∧q)

⇔(p∧q)∨(p∧q)∨(p∧q)

⇔m1∨m0∨m2

⇔∑(0,1,2)

(p∧q)处原为(q∧p),不是极小项

②令A=p↑q

B=(p∧q)

C=(p∧q)∨(p∧q)∨(p∧q)

D=p↓q

则B*=(p∨q)?

p↓q=D

且A?

B?

C

所以D?

A*?

C*

C*=(p∨q)∧(p∨q)∧(p∨q)

?

∏(0,1,2)?

∑(3)

所以①!

1.15某勘探队有3名队员,有一天取得一块矿样,3人判断如下:

甲说:

这不是铁,也不是铜;

乙说:

这不是铁,是锡;

丙说:

这不是锡,是铁;

经实验室鉴定后发现,其中一人两个判断都正确,一个人判对一半,另一个人全错了。

根据以上情况判断矿样的种类。

p:

是铁q:

是铜r:

是锡

由题意可得共有6种情况:

1)甲全对,乙对一半,丙全错:

(﹁p∧﹁q)∧((﹁p∧﹁r)∨(p∧r))∧(r∧﹁p)①

2)甲全对,丙对一半,乙全错:

(﹁p∧﹁q)∧((﹁r∧﹁p)∨(r∧p))∧(p∧﹁r)②

3)乙全对,甲对一半,丙全错:

(﹁p∧r)∧((﹁p∧q)∨(﹁q∧p))∧(r∧﹁p)③

4)乙全对,丙对一半,甲全错:

(﹁p∧r)∧((﹁r∧﹁p)∨(r∧p))∧(p∧q)④

5)丙全对,甲对一半,乙全错:

(﹁r∧p)∧((﹁p∧q)∨(p∧﹁q))∧(p∧﹁r)⑤

6)丙全对,乙对一半,甲全错:

(﹁r∧p)∧((﹁p∧﹁r)∨(p∧r))∧(p∧q)⑥

则①∨②∨③∨④∨⑤∨⑥⇔1

①⇔(﹁p∧﹁q∧﹁p∧﹁r∧r∧﹁p)∨(﹁p∧﹁q∧p∧r∧r∧﹁p)⇔0∨0⇔0

②⇔(﹁p∧﹁q∧﹁r∧﹁p∧p∧﹁r)∨(﹁p∧﹁q∧r∧p∧p∧﹁r)⇔0∨0⇔0

③⇔(﹁p∧r∧﹁p∧q∧r∧﹁p)∨(﹁p∧r∧﹁q∧p∧r∧﹁p)⇔(﹁p∧q∧r)∨0⇔﹁p∧q∧r

④⇔(﹁p∧r∧﹁r∧﹁p∧p∧q)∨(﹁p∧r∧r∧p∧p∧q)⇔0∨0⇔0

⑤⇔(﹁r∧p∧﹁p∧q∧p∧﹁r)∨(﹁r∧p∧p∧﹁q∧p∧﹁r)⇔0∨(p∧﹁q∧﹁r)⇔p∧﹁q∧﹁r

⑥⇔(﹁r∧p∧﹁p∧﹁r∧p∧q)∨(﹁r∧p∧p∧r∧p∧q)⇔0∨0⇔0

所以①∨②∨③∨④∨⑤∨⑥⇔(﹁p∧q∧r)∨(p∧﹁q∧﹁r)

而这块矿石不可能既是铜又是锡,所以只能是

1.16判断下列推理是否正确,先将命题符号化,再写出前提和结论,让后进行判断。

3如果今天是1号,则明天是5号。

今天是1号,所以明天是5号。

p:

今天是1号q:

明天是5号

前提:

p→q,p

推理的形式结构为:

((p→q)∧p)→q

证明:

①  p→q前提引入

       ② p前提引入 

       ③q假言推理

    此命题是正确命题 

1.16

(2)

判断下列推理是否正确,先将命题符号化再写出前提和结论,然后进行判断

如果今天是1号,则明天是5号。

明天是5号,所以今天是1号。

解设p:

今天是1号,q:

明天是5号,则该推理可以写为

((p→q)∧q)→p

前提p→q,q

结论p

判断

证明

((p→q)∧q)→p⇔((p→q)∧q)∨p

⇔(p→q)∨q∨p

⇔(p∨q)∨q∨p

⇔(p∧q)∨q∨p

⇔q∨p

此式子为非重言式的可满足式,故不可以判断其正确性

所以此推理不正确

1.16(3)如果今天是1号,则明天是5号,明天不是5号,所以今天不是1号。

p:

今天1号.

q:

明天是5号.

((p→q)∧¬

q)→¬

前提:

p→q,¬

q.

结论:

¬

p.

证明:

①p→q前提引入

②¬

q前提引入

③¬

p①②拒取式

推理正确

1.17

(1)前提:

﹁(p∧﹁q),﹁q∨r,﹁r

﹁p.

①﹁q∨r前提引入

②﹁r前提引入

③﹁q①②析取三段论

④﹁(p∧﹁q)前提引入

⑤﹁p∨q④置换

⑥﹁p③⑤析取三段论

即推理正确。

(2)前提:

p→(q→s),q,p∨﹁r

r→s.

①p∨﹁r前提引入

②r附加前提引入

③p析取三段论

④p→(q→s)前提引入

⑤q→s假言推理

⑥q前提引入

⑦s假言推理

由附加前提证明法可知,结论正确。

(3):

前提:

p→q.

结论:

p→(p∧q).

证明:

①p→q.前提引入

②p附加前提引入

③q①②假言推理

④p∧q②③合取引入规则

(4)前提:

q→p,q↔s,s↔t,t∧r.

p∧q∧s∧r.

1)t∧r;

前提引入

2)t;

1)的化简

3)s↔t;

4)(s→t)∧(t→s);

3)的置换

5)t→s4)的化简

6)s;

2),5)的假言推理

7)q↔s;

8)(q→s)∧(s→q);

7)置换

9)s→q8)的化简

10)q;

6),9)的假言推理

11)q→p;

12)p;

10),11)的假言推理

13)r1)的化简

14)p∧q∧s∧r6),10),12),13)的合取

所以推理正确。

1.18如果他是理科学生,他必学好数学。

如果他不是文科学生,他必是理科学生。

他没学好数学。

所以它是文科学生。

判断上面推理是否正确,并证明你的结论。

他是理科学生q:

他学好数学r:

他是文科学生

p→q,┐r→p,┐q

①┐p前提引入

②p→q前提引入

③┐p①②拒取式

④┐r→p前提引入

⑤r③④拒取式

1.19给定命题公式如下:

p∨(q∧⌝r)。

求命题公式的主析取范式、主合取范式、成真赋值、成假赋值。

p∨(q∧⌝r)

⇔((p∧(q∨⌝q))∧(r∨⌝r))∨((q∧⌝r)∧(p∨⌝p))

⇔(p∧q∧r)∨(p∧q∧⌝r)∨(p∧⌝q∧r)∨(p∧⌝q∧⌝r)∨(p∧q∧⌝r)∨(⌝p∧q∧⌝r)

⇔m7∨m6∨m5vm4∨m6∨m2

⇔m7∨m6∨m5vm4∨m2

⇔∑(2、4、5、6、7)

∴p∨(q∧⌝r)⇔∏(0、1、3)

既010、100、101、110、111是成真赋值,

000、001、011是成假赋值

1.20给定命题公式如下:

⌝(p∧q)→r。

⌝(p∧q)→r

⇔(p∧q)∨r

⇔((p∧q)∧(r∨⌝r))∨((p∨⌝p)∧(q∨⌝q)∧r)

⇔(p∧q∧r)∨(p∧q∧⌝r)∨(p∧q∧r)∨(p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧q∧r)∨(⌝p∧⌝q∧r)

⇔m7∨m6∨m7∨m5∨m3∨m1

⇔m7∨m6∨m5∨m3∨m1

⇔∑(1、3、5、6、7)

∴⌝(p∧q)→r⇔∏(0、2、4)

既001、011、101、110、111是成真赋值,

000、010、100是成假赋值。

例题

例1.25给定命题公式如下,用等值演算判断公式类型

(1)(p∧q)→(p∨q)

⇔﹁(p∧q)∨(p∨q)

⇔﹁p∨﹁q∨p∨q

⇔(﹁p∨p)∨(﹁q∨q)

⇔1∨1

所以为重言式

(2)(p↔q)↔((p→q)∧(q→p))

(p↔q)↔((p→q)∧(q→p))

⇔(p↔q)↔(↔q)

⇔((p↔q)→(p↔q))∧((p↔q)→(p↔q))

⇔(p↔q)→(p↔q)

⇔¬

(p↔q)∨(p↔q)

((p→q)∧(q→p))∨((p→q)∧(q→p))

⇔((¬

(p→q)∨¬

(q→p))∨(p→q))∧(¬

(q→p))∨(q→p))

⇔(1∨¬

(q→p))∧(1∨(q→p))

⇔1∧1

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