人教版高中数学必修二直线与平面垂直的性质公开课优质教案Word文件下载.docx
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(一)复习
直线与平面垂直的定义:
一条直线和平面内的任何一条直线都垂直,我们说这条直线和这个平面互相
图1
如图1,表示方法为:
a⊥α.
a
由直线与平面垂直的定义不难得出:
b⊥a.
b
(二)导入新课
思路1.(情境导入)
大家都读过茅盾先生的《白杨礼赞》,在广阔的西北平原上,矗立着一排排白杨树,它们像哨兵守卫着祖国疆土.一排排的白杨树,它们都垂直地面,那么它们之间的位置关系如何呢?
思路2.(事例导入)
ABCD,它
如图2,长方体ABCD—A′B′C′中D,′棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直所在的平面
们之间具有什么位置关系?
图2
三)推进新课、新知探究、提出问题
1回忆空间两直线平行的定义
2判断同垂直于一条直线的两条直线的位置关系?
3找出恰当空间模型探究同垂直于一个平面的两条直线的位置关系
4用三种语言描述直线与平面垂直的性质定理.
5如何理解直线与平面垂直的性质定理的地位与作用?
讨论结果:
①如果两条直线没有公共点,我们说这两条直线平行.它的定义是以否定形式给出的,其证
明方法多用反证法
它们之间具有什么位置关系?
④直线和平面垂直的性质定理用文字语言表示为:
垂直于同一个平面的两条直线平行,也可简记为线面垂直、线线平行
直线和平面垂直的性质定理用符号语言表示为:
b∥a.
直线和平面垂直的性质定理用图形语言表示为:
如图5.
⑤直线与平面垂直的性质定理不仅揭示了线面之间的关系,而且揭示了平行与垂直之间的内在联系
四)应用示例
思路1
例1证明垂直于同一个平面的两条直线平行解:
已知a⊥α,b⊥α.
求证:
a∥b.
图6
证明:
(反证法)如图6,假定a与b不平行,且b∩α=O作,直线b′,使O∈b′,∥ab′直线b′与直线b确定平面β,设α∩β=则c,O∈c.
∵a⊥α,b⊥α∴,a⊥c,b⊥c.
∵b′∥a,∴b′⊥c.又∵O∈b,O∈b′,bβ,b′β,
a∥b′显然不可能,因此b∥a.
例2如图7,已知α∩β=l,E⊥Aα于点A,EB⊥β于点B,aα,a⊥AB.
求证:
a∥l.
EA,EBlEA
l⊥平面EAB.
llEB
又∵aα,EA⊥α∴,a⊥EA.
又∵a⊥AB,∴a⊥平面EAB.
∴a∥l.
思路2
例1如图8,已知直线a⊥b,b⊥α,aα.
a∥α.
在直线a上取一点A,过A作b′∥b,则b′必与α相交,设交点为B,过相交直线a、b′作平面
β,设α∩β=a′,
∵b′∥b,a⊥b,∴a⊥b′∵.b⊥α,b′∥b,
∴b′⊥α.
又∵a′α∴,b′⊥a′.
由a,b′,a′都在平面β内,且b′⊥a,b′⊥a′知a∥a′∴.a∥α.
例2如图9,已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M、N分别是AB、PC的中点.
(1)求证:
MN⊥CD;
(2)若∠PDA=45°
,求证:
MN⊥面PCD.
图9
1证明:
(1)取PD中点E,又N为PC中点,连接NE,则NE∥CD,NE=CD.
2
1又∵AM∥CD,AM=CD,
∴AMNE.
∴四边形AMNE为平行四边形.
∴MN∥AE.
PA平面ABCDCDPA
CD平面ADP∵CD平面ABCDCDADCD⊥AE.
AE平面ADP
(2)当∠PDA=45°
时,Rt△PAD为等腰直角三角形,
则AE⊥PD.又MN∥AE,
∴MN⊥PD,PD∩CD=D.
∴MN⊥平面PCD.
变式训练
已知a、b、c是平面α内相交于一点O的三条直线,而直线l和平面α相交,并且和a、b、c三条直线成等角.求证:
l⊥α.
分别在a、b、c上取点A、B、C并使AO=BO=CO.设l经过O,在l上取一点P,在△POA、△POB、△POC中,
∵PO=PO=PO,AO=BO=CO,∠POA=∠POB=∠POC,
∴△POA≌△POB≌△POC.
∴PA=PB=PC.取AB的中点D,
连接OD、PD,则OD⊥AB,PD⊥AB.
∵PD∩OD=D,∴AB⊥平面POD.
∵PO平面POD,∴PO⊥AB.
同理,可证PO⊥BC.
∵ABα,BCα,AB∩BC=B,∴PO⊥α,即l⊥α.
若l不经过点O时,可经过点O作l∥′l.用上述方法证明l′⊥α,
∴l⊥α.
(五)知能训练
如图10,已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a,
(1)求证:
BD1⊥平面B1AC;
(2)求B到平面B1AC的距离.
1)证明:
∵AB⊥B1C,BC1⊥B1C,∴B1C⊥面ABC1D1.
又BD1面ABC1D1,∴B1C⊥BD1.
∵B1B⊥AC,BD⊥AC,
∴AC⊥面BB1D1D.又BD1面BB1D1D,∴AC⊥BD1.
∴BD1⊥平面B1AC.
(2)解:
∵O∈BD,∴连接OB1交BD1于E.
又O∈AC,∴OB1面B1AC.
∴BE⊥OE,且BE即为所求距离.
BEBDBD2a23∵,∴BE=·
OB=aa.
OBBD1BD13a23
(六)拓展提升
已知在梯形ABCD中,AB∥CD,CD在平面α内,AB∶CD=4∶6,AB到α的距离为10cm,求梯形对角线的交点O到α的距离.
解:
如图所示,过B作BE⊥α交α于点E,连接DE,
过O作OF⊥DE交DE于点F,
∵AB∥CD,ABα,CDα,∴AB∥α又.BE⊥α,
∴BE即为AB到α的距离,BE=10cm且∠BED=90°
∵OF⊥DE,∴OF∥BE,得OFOD
BEBD
∵AB∥CD,∴△AOB∽△COD.
CD6OD
,得
10
AB4BD
3
cm)
∴OF=×
10=6
5
∴OF⊥α,即OF即为所求距离为6cm.
(七)课堂小结
知识总结:
利用线面垂直的性质定理将线面垂直问题转化为线线平行,然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等.
思想方法总结:
转化思想,即把面面关系转化为线面关系,把空间问题转化为平面问题.
(八)作业
课本习题2.3B组1、2.