弹性地基梁的计算Word格式.docx

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（3-9）

将上式代入式（3-9）,则得

（3-10）

2.挠度曲线微分方程的齐次解

解的一般形式为：

（3-11）

y=chaxcosax+C2chaxsinax+C3sharcosax+C4shaxsinax在上式中引用了

shax=chax=

2,2

3.2按文克尔假定计算短梁

1.初参数和双曲线三角函数的引用

图示一等截面基础梁，设左端有位移儿，角变九、弯矩和剪力它们的正方向如图中所示。

求式（3-11）的各阶导数，并应用梁左端的边界条件，注意当兀=0时ch^=cosO¥

=l,shar=sin«

x=Oo得到：

%=^（C+C3）

M{）=-2EJa2C4

C（）=2EJa3（-C2+C3）

解以上四式，求出

ci=>

C2=7~^0-

2a4aEJ

C3=丄&

o+

1

2a2EJ

M（）

（3-12）

=_纲

图3-2

这样，将式（3-11）中的四个常数Ci至G用儿、九、M。

和0。

表达。

将式（3-12）代入式（3-11）中，变为

_久丄

$=>

0ch盃cos处+2a（ch盃sin血+sh盃Cos处）

m（）——!

——2<

——!

——

2a^EJsh^sin^v—4aEJ（chsin<

^

一shatcos处）（3-13）

为了计算方便，引用下列记号：

©

二chavcos处

池=ch*sinar+sh血cos处（3-14）

血二sha^sinar

久=chctxsinax-sh*COs处

其中0、©

2、海、孙叫做双曲线三角函数。

这四个函数之间有如下的关系:

_d（p{

a（ox）

（3-15）

=GLdxd（ai）

——-=a—=a（p^

dxd（ax）

仏a如=2吗

dxcl（ax）

将式（3-14）代入式（3-13）并按式（3-7）消去EJ,再按式（3-5）逐次求导数，并注意式（3-15）,则得以下各式：

门12a2八a

y=>

o^i+&

o石©

2--^7-^3-Qo—^4

&

=_儿明+&

（®

_m0电-◎-Co电-血

KK

Kk1

M=儿厂03+%厂久+Mu©

+Q{}—（P2

（3-16）

2a4a2a

Kk

Q=儿兀严2+&

（）无T03-M（s+Qq（P\

2荷载引起的阳加项〜

（1）集中荷载P引起的附加项

将座标原点移到荷载P的作用点。

因为仅考虑P的作用，故在它的作用点处的四个初参数为

儿|==0&

*=（）,MXi=0QXi=-P

用儿,兀、“勺和©

代换式（3-16）中的儿、％、M。

与0则得

八2a，

（3-17）

6，=—^3a（.t-x,）

M=_£

p02如如

Q=-p<

Pia（x-Xl）

式（3-17）即为荷载P引起的附加项。

式中双曲线三角函数件、厲、叭、久均有下标°

（兀-坷），表示这些函数°

（兀-坷）随变化。

当求荷载P左边各截面的位移,既角变，弯矩和剪力时只用式（3-16）即可，不需用式（3-17）,因此，当<

'

1时式（3-17）不存在。

（2）力矩M引起的附加项

当梁只作用着力矩M时，将座标原点移到力矩M的作用点，此点的四个初参数为

儿广0比=0,MXi=MQX1=0

用儿2、乞2、M©

Qx2,代换式（3-16）中的儿、九、M。

、。

。

就得力矩M弓|起的附加项如下：

2小“

y=

K

（3-18）

式中0.02、%、久均有下标ad•-兀2）,表示这些函数随a（x-£

）变化。

当x<

x2时式（3・18）不存在o

（3）分布荷载q引起的附加项

设求座标为a（x-x4）截面的位移、角变、弯矩和剪力。

将分布荷载看成是无限多个集中荷载qdm代入式（3-17）,得

y=v「“心曲K旳

（3-19）

0=半-「叽-“如KW

在式（3-⑼中®

、02、必、久随a（x-u）变化。

如视x为常数，则d（x~u）=-du•考虑这一关系，并注意式（3-15）,得下列各式：

_1d

=Sag、

adu

（3-20）

0ia（.j=

将以上各式代人式（3-19）,再施用部分积分，则得

（3-21）

03心）=

duJJ式（3-21）就是求分布荷载q的附加项的一般公式。

（a）梁上有一段均布荷载的附加项（图3-3）：

dq

这时q=q.du=0,代入式（3-21）得附加项为$=2）一）]

Goa

0=[^4a（x-x4>

—^4a（.r-Xj）.

M=^r[03a（.F）一03a（f）]

=苍'

[^2a<

x-x4）~02a（x-x3）]

（b）梁上有一段三角形分布荷载的附加项（图3-3）：

梁上有一段三角形分布荷载。

在心到入区段内任一点的荷载集度为△g/、

q=（“一勺）

尢一心

dq_\qdux4一x3

将以上关系代入式（3-21）,则得

尸祁缶航一勺％“]

+\^2a（x-.u）-02*7）]}

（3-23）

-右bla（.r-.t4）-0aCf）]}

+£

[®

a（.7）一％（.一』

+*[如7一03a（r）]}

在式（3-22）和式（3-23）中，函数0的下标有的为°

（兀-“），在式（3-23）中第一

个方括号内还有乘数（"

-勺）。

使用此二式时要注意，当X小于或等于入时，圆括号内的“均应换为X,即*-耳）改为ad）,（丸-心）改为（―勺）。

（c）梁的全跨布满均布荷载的附加项（图3-4）：

当均布荷载％布满梁的全跨时，则心=0,并且任一截面的座标距大永小于或

等于“。

这样，将式（3-22）中各函数0的下标®

改为兀,则

az=1,©

2a（7=°

%归）=0,^4«

（x-x）=°

由此，得全跨受均前荷载的附加项为’

K4

7叭

0—欽2

（d）梁的全跨布满三角形荷载的附加项（图3-4）：

当三角形荷载布满梁的全跨时，心=0,任一截面的座标距兀永小于或等于心。

与推导式（3・23）相同，从式（3・23）得

■

y=Ti[x-

=卫[1_©

]K/L鬥」

Q=_誥严

2a1

（3-25）

式（3-25）就是梁的全跨布满三角形荷载时的附加项。

图3-3图3-4

在衬砌结构的计算中，常见的荷载有均布荷载、三角形分布荷载、集中荷载和力矩荷载，根据这儿种荷载，将以上求位移、角变、弯矩和剪力的公式综合写

出如下:

门1」2cr八a

+L~K卩①八“x-X]）"

~|.v;

«

M03a（x-.$）

〜2a2

—一儿a久+一M。

〒笑一0—（P.

la2

Xj~77—尸03a（x-X]）

A

vVo®

+&

（）亍02一M（）——（py一0o—^4y=Laka

牙一——02a

2a3

+晋初+善Z田

（3-26）

M=儿P+%缶久+也+°

£

处一券伟一為久TL-||心盹问.7）

Q_儿石02+%寿®

-“冲+0（®

q0M

■石®

一牯®

-||,_p处（FTL曲

式（3-26）中，h—表示附加项只当时才存在，余类推。

例题3-1图3-5所示基础梁，长度/=4m,宽度b=0.2moEJ=1333kN-m2<

地基的弹性压缩系数K=40000kN/m\梁的两端自山。

求梁截面1和截面2的弯矩。

解：

（1）查出双曲线三角函数

因梁宽b=0.2m,故K值须用

K=0.2X40000=8000kN/m2

4EJ

竺L=l・107丄

4x1333m

a=

从表中查出各。

值，见表3・1图3・11

表3・1

x（m）

ax

2

03

%

1.1

3.2

0.7568

2.0930

1.1904

0.8811

3

3.3

4

4.4

-3.6882

1.0702

3.6036

6.3163

-13.4048

-15.5089

-2.1356

11.2272

-13.5180

-51.2746

-38.7486

-26.2460

（2）确定初参数儿、味、M。

、Q由梁左端的边界条件，知。

M°

=0,Qo=0

其它两个初参数儿和弘可用梁右端的边界条件

M=0与Q=0

由式（3-26）确定。

因梁上作用着一段均布荷载q（）,故须将式（3-22）迭加到式（3-26）中。

尚须注意:

人i=3m,心二。

，x4=2mo

这样，便可写出下列二式

为^7©

+4—©

恥-勺）]一2卩02恥_.“=°

儿召①+%务吋券Pj=0

将Q值，K值和表3-1中相应的0值代入以上二式中，得

8000x38.74868000x26.2460n20

2x1.1072•°

4x1.1073°

2X1.1072

40x2.0930

[3.6036+38.7486]2x1.107二o

8000x51.2746

2x1.107

8000x38.7486

4x1.1072

20

[1.0702+51.27461-40X0.7568=0

解出

?

u=0.00247m,

^0=-0.0001188o

以上将四个初参数儿、久、M。

、Qo都求出来了。

（3）求截面1与截面2的弯矩

将式（3-22）迭加到式（3-26）中。

集中荷载P的附加项对截面1和截面2的弯矩没有影响。

并注意®

=o,由此，则得

M=）J0+4^704+^rb3a（.F-03a（F.

将Q值，K值、儿、九和表3-1中相应的0值代人上式，算出截面1与截面2的弯矩如下：

@）截面1的弯矩截面1距座标原点x=lm,在均布荷载范围以内，故心应等于％,因此，叫7为零。

截面1的弯矩

8000xl.l904x0.002478000xO.8811x0.0001188

M二一2x1.1072"

4x1.107'

+—[1」904]

2x1.107-=-0.270kN-m

面2的弯矩

8000x2.1356x0.002478000xll.2272x0.0001188

（b）截面2的弯矩截面2在均布荷载范圉以外，故x4=2m,x=3m。

可得截

M

2x1.1072

4x1.107

[1.1904+2.1356]

2x1.1072=

7.957kN-m

3.3按文克尔假定计算长梁

1无限长梁

梁的挠度曲线方程（3-11）乂可写为：

y=ea\A}cosax+A2sinax）+e~ax

x（儿cosax+A4sinax）

当％趋近于00时，梁的y值应趋近于零。

根据这一关系，上式变为

y=（生cosat+A4sinax）（3-28）

再确定常数A3与A4。

依据式（3-5）求y的各阶导数，得

图3-6

0=—=ae~ax[（-A3+A4）cosav-（A3+A4）sinax]dx

j2

M=_EJ—=-EJa2e^ax[2A3sinax-2A4cosax]

（3-29）

Q=-EJ—=-EJa[（九+A4）cosax+2（-A3+比）sinax]dx

在荷载作用点0。

应有

=0

p_

[e]

代人式（3-29）,得

—+A4=0

—2EJa3（令4-A4）———

注意式（3-7）,解出

l.v-0

将As及A4代入式（3-28）和式（3-29）中，得以下各式:

Pa齐,・、

y=e（cosar+sinav）

2K

aPa'

5・

0=esinax

M=（cosav-sinax）

2a

p

Q=-石严cosav

（3-30）

引用符号0,令

（p、=e^ax（cosax一sinar）

—/XV

（3-31）

（pb=ecosax

4=严'

（cosax+sinax）

—at•08=fsinav

因此，式（3-30）变为

Pay=——©

aPa2

（3-32）

"

L

初p

M=——（p.

2a5、P皆-严

式（3-32）就是计算无限长梁的方程。

其中函数久〜久可以从表中查出，它们之间存在下列关系：

dddod

—（Ps=-2a$〒久=一°

®

=一2°

佟〒%=叫

ax,dx,dxax

用式（3-32）计算图3-6所示的无限长梁，求出地基反力・和&

、M及。

的曲线如图中所示，距离荷载P越远则旷、0、M和。

越小。

计算证明，与荷载P的作用点距离为处=兀处，荷载的影响很小。

因此，给出如下的规定：

当集中荷载P与梁端的距离X满足

ax2兀

时，则可按无限长梁计算。

有的文献中规定，当处豪2・75时即可按无限长梁计算。

例题3-2图3-7所示基础梁,E=2X108kN/nr,J=2500X108m4,梁的宽度b=20cmo地基的弹性压缩系数K=15X104kN/m3,求点B的挠度及弯矩.

（1）判定梁的类别

因梁的宽度b=20cm,故K值须用

K=0.2X15XI04=30000kN/m2根据式（3-7）求出梁的弹性标值Q为

=4=4I彳0000

_\'

4£

7_\I4x2x108x2500x10-8

=0.011—=l.l—

cmm

靠近梁端的荷载至梁端的距离为3.6m,则

^=1.1X3.6=3.86>

2.75

故可按无限长梁计算。

图3-7

（2）查出双曲线三角函数0

将座标原点分别放置于A、B,C、D各点，从表中查岀各©

值见表3・2。

表3-2

荷载至点B的距离

X

lm

2m

ax

1.1

<

Ps

1.0000

-0.1457

-0.1548

07

1.0000

0.4476

0.0244

（3）计算点B的挠度和弯矩

由式（3-32）求出点B的挠度和弯矩为

y=—y（pn（1+2x0.4476+0.0244）

2K厶"

=2x30000=O.OO355m

“PP100

=4x1.1（1-2X0.1457-0」548）=12.59kN.m

M=——y侏4a厶5

2半无限长梁左端的边界条件为（参照图3-8）

[ML_o=M（J,=Qq

代人式（3-29）中则得

2EJa2A4=M°

-2£

Ja3（A3+A4）=（2（）

解岀

14M（）

2EJa,2EJa

将A3和九代人式（3-28）与式（3-29）中，得

y=——!

_e^ax[-cosax_M0a（cosav_sinax）]

2EJa'

（3-33）

0=——!

―[（20（coso¥

+sinax）+2M（）acos空|

2EJor

M=丄e~m[-Q（）sinax-M{}a{cosax+sinca）]

Q=一严'

[一a（cosax-sinax）+2M（）asinax]

在上式中引用式（3-31）中的各函数0,并注意

a

则变为

（3-34）

M=°

0仇_M%]

=-[-0（心+J

图3-8所示的梁当它的长度I满足

皿"

（或>

2.75）

时，即可按半无限长梁进行计算。

按文克尔假定计算基础梁，区分为三类：

1刚性梁

当梁的长度/符合

al<

—

4（或Wl）

时，地基反力可按直线分布计算。

2长梁

当荷载与梁两端的距离X符合

g"

（或22.75）

时，叫做无限长梁，用式（3-32）计算。

当梁端上作用着集中力和力矩，而梁的长度1符合

田"

时，叫做半无限长梁,用式（3-34）计算。

3短梁

凡不属于刚性梁和长梁类型的就叫做短梁，用式（3-26）计算。