巧构二面角高考数学解题模板.docx

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巧构二面角高考数学解题模板

【高考地位】

立体几何中的二面角是一个非常重要的数学概念，求二面角的大小更是历年高考的热点问题，每年各省、市的高考试题中几乎都会出现此类题型。

其求解的策略主要有三种方法：

其一是定义法，即按照二面角的定义进行求解；其一是射影法，即找其中一个平面的垂线；其一是空间向量法，即建立直角坐标系进行求解.在高考中常常以解答题出现，其试题难度属中高档题.

【方法点评】

方法一定义法

使用情景：

空间中面面角的求法

解题模板：

第一步首先分别在两个平面中找出与交线垂直的直线；

第二步然后运用平移或解三角形的知识求其夹角；

第三步得出结论.

例1.在边长为的正三角形中，于，沿折成二面角后，，这时二面角的大小为．

【变式演练1】【浙江省绍兴市柯桥区2016届高三教学质量调测（二模）数学（理）试题】（本小题满分15分）如图,以为斜边的等腰直角三角形与等边三角形所在平面

互相垂直,且点满足.

（1）求证：

平面平面；

（2）求平面与平面所成的角的正弦值.

方法二射影法

使用情景：

空间中面面角的求法

解题模板：

第一步首先求出其中一个平面的垂线；

第二步然后过垂足作交线的垂线即可得到二面角的平面角；

第三步运用解三角形等相关知识即可求出其大小.

例2.【河北省衡水中学2017届高三上学期第三次调，19】（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱中，平面侧面，且．

（1）求证：

；

（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求锐二面角的大小．

【变式演练2】如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，分别是棱的中点．

（1）证明：

直线平面；

（2）求二面角的余弦值．

【变式演练3】如图，在三棱锥中，平面，，，，分别在线段，上，，，是的中点.

（1）证明：

平面；

（2）若二面角的大小为，求.

方法三空间向量法

使用情景：

空间中面面角的求法

解题模板：

第一步首先建立适当的直角坐标系并写出相应点的空间直角坐标；

第二步然后求出两个平面的法向量；

第三步再利用即可得出结论.

例3.如图，在四棱锥中，底面为等边三角形，，为的中点．

（1）求；

（2）求平面与平面所成二面角的正弦值．

例4、如图,已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面,平面平面,且,且.求二面角的余弦值.

【变式演练4】如图，四棱锥中，，，，，侧面为等边三角形.

（1）证明：

；

（2）求二面角的正弦值.

【变式演练5】如图，在边长为的菱形中，，点分别是边，的中点，，沿将翻折到，连接，得到如图的五棱锥，且.

（1）求证：

平面;

（2）求二面角的余弦值.

【变式演练6】如图所示，在四棱锥中，底面四边形为等腰梯形，为中点，平面，．

（1）证明：

平面平面；

（2）若直线与平面所成的角为30°，求二面角的余弦值．

【高考再现】

1.【2016高考新课标1卷】（本小题满分为12分）如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是．

（）证明：

平面ABEF平面EFDC；

（）求二面角E-BC-A的余弦值．

2.【2016高考新课标2理数】如图，菱形的对角线与交于点，，点分别在上，，交于点．将沿折到位置，．

（Ⅰ）证明：

平面；

（Ⅱ）求二面角的正弦值．

3.【2016高考山东理数】在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线.

（I）已知G,H分别为EC，FB的中点，求证：

GH∥平面ABC；

（II）已知EF=FB=AC=，AB=BC.求二面角的余弦值.

4.【2016高考天津理数】（本小题满分13分）

如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2.

（I）求证：

EG∥平面ADF；

（）求二面角O-EF-C的正弦值；

（）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.

5.【2016高考浙江理数】（本题满分15分）如图,在三棱台中,平面平面

,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.

（）求证：

EF⊥平面ACFD；

（）求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.

6.【2015高考浙江，理8】如图，已知，是的中点，沿直线将折成，所成二面角的平面角为，则（）

A.B.C.D.

7.【2015高考安徽，理19】如图所示，在多面体，四边形，均为正方形，为的中点，过的平面交于F.

（Ⅰ）证明：

；

（Ⅱ）求二面角余弦值.

8.【2015江苏高考，22】（本小题满分10分）

如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯

形，,

（1）求平面与平面所成二面角的余弦值；

（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成角最小时，求线段BQ的长

9.【2015高考重庆，理19】如题（19）图，三棱锥中，平面分别为线段上的点，且

（1）证明：

平面

（2）求二面角的余弦值。

10.【2015高考四川，理18】一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设的中点为，的中点为

（1）请将字母标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）

（2）证明：

直线平面

（3）求二面角的余弦值.

【反馈练习】

1.【2016辽宁大连高三双基测试卷,理19】如图,四棱锥中,底面是边长为的菱形,.面,且.在棱上,且,在棱上.

（Ⅰ）若面,求的值；

（Ⅱ）求二面角的大小.

2．【河南省新乡市2017届高三上学期第一次调研测试数学（理）试题】（本小题满分12分）

如图①所示，四边形为等腰梯形，，且于

点为的中点．将沿着折起至的位置，得到如图②所示的四棱锥.

（1）求证：

平面；

（2）若平面平面，求二面角的余弦值．

3．【四川巴中市2017届“零诊”，19】（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，是的中点.

（1）求证：

平面；

（2）若，，，求平面与平面所成二面角的正弦值.

4．【湖南永州市2017届高三第一次模拟，18】（本小题满分12分）

如图1，在的平行四边形中，垂直平分，且，现将沿折起（如

图2），使．

（Ⅰ）求证：

直线平面；

（Ⅱ）求平面与平面所成的角（锐角）的余弦值．

5．【广西南宁二中、柳州高中、玉林高中2017届高三8月联考，19】（本小题满分12分）如图,三棱柱中,,,平面平面，与相交于点.

（1）求证：

；

（2）求二面角的余弦值.

6．【河北邯郸2017届9月联考，19】（本小题满分12分）

如图，已知等边中，，分别为，边的中点，为的中点，为边上一点，且，将沿折到的位置，使平面平面.

（Ⅰ）求证：

平面平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.