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,ZB=ZB'
BC=B'
.这两个三角形全等
例3.在厶ABC和△AB'
C中(自己画图)
AB=AB
⑴⑵
BC=BC
•••.ABC=.:
ABC(SAS)
AC二AC
(3)_=£
__
•.ABC二.ABC()
•ABC三ABC()
练习1:
1•根据题目条件,判断下面的三角形是否全等?
(1)AC=DF,/C=ZF,BC=EF;
(2)BC=BD,/ABC=ZABD
2.如图2,AAOB^D^COD全等吗?
3.如图,在△ABC中,AB=AC,AD平分/BAC求证:
△ABD
ACD
4.如图3,已知AD//BCA»
CB证明:
△ABC^ACDA.
5.如图4,已知AB=AC,AD-AE/1=Z2,证明:
△ABD^ACE.
6.如图,已知AB=ACAE=AD,那么图中哪两个三角形全等?
-
并进行证明.'
."
-.■|
7.已知:
AD/BC,AD-CB(如图).现有条件能证明△-ADWACBA吗?
如
请写出证明过程,若不能,那么还需添加怎样的条件才能证明?
、-二练习2:
|'
果
台匕
冃匕
1.已知:
如图,AC=ADZCAB.DAB:
求证:
△ACB^AADB
2.已知:
AD//BC,AD=CB求证:
△ADC^ACBA
3.已知:
AD//BC,AD=CBAE=CF求证:
△AFD^ACEB
4.已知:
EA=ECED=EB
△AED^ACEB
FD
5.已知:
AC=DBAE=DFEALAD,FD丄AD,
△EAB^AFDC
6.已知:
AB=ACAD=AEZ1=Z2
ZB=ZC
三、三角形的判定定理:
角边角定理
两个三角形的两组对应角相等且它们的夹边也相等,角形全等,简记为”角边角"
符号表示:
ASA"
那么这两个
例1.如图所示,某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是带哪块去?
例2.如图,AD//BC,BE/DF,AE=CF,试说明:
△ADF◎△CBE.
例3.如图,在厶ABC中,AD丄BC于点D,BE丄AC于E.AD与BE交于F,若BF=AC,试说明:
△AD例4.在△ABC中,/BAC=90°
AB=AC,直线m经过点A,BD丄直线m,CE丄
D、E.试说明:
⑴△BDA◎△AEC;
(2)DE=BD+CE.
练习:
1.如图,已知AO=DO,ZAOB与/DOC是对顶角,还需补充条件
说明△AOB^ADOC;
或者补充条件=
DOC
点D在AB上,点E在AC上,BE和CD相交于点O,AB=AC,
ZCo求证:
△ABEBAACD
3.如图,Z1=Z2,Z3=Z4,求证:
AC=AD
4.如图,有一块边长为4的正方形塑料摸板
护]可根据“$AS,
◎△BDF.
三角板的直角顶点落在A点,两条直角边延长线交于点E•则四边形AECF的面
/B=
ABCD,将一块足够大的
直角
D
,就可根据“ASA”
说明△aob
四、三角形的判定定理:
角角
两个三角形的两组对应角相等且其
两个三角形全等,例1.如图:
已知
简记为”角角边”,符号D、E分别在AB、AC上,
C
E
B
分别与CD交于点F,与CB积是多少?
边定理
中一角的对边也相等,那么这
AAS"
AB=AC,/BDC=/CEB,求证:
BE=CD.
例2.如图,在厶
/B=ZD,
AD//BC试证明AD=CB
AFD和厶BEC中,点A、E、
F、C在同一直线上,
例3.如图,D是AB上一点,DF交AC于点E,AE=EC,CF求证:
AD=CF•
例4.如图,在△ABC中,/B=2/C,AD是厶ABC的角平分线,/
/C,
△ABD^AAED.
练习1:
1.如图,AB=AC,CD丄AB于D,BEXAC于E。
AD=AE
2.如图,AC和BD交于点
3.已知BEXAD,CF丄AD,
还是角平分线?
请说明理由
4.如图,AB=ACAD=AE,
E,AB/CD,BE=DE求证:
AB=CD
且BE=CF判断AD是厶ABC的中线
OB=OC
5.如图,AEXAB,ADXAC,AB=AC,/B=ZC,求证:
BD=CE=
6.已知/BAC=ZDAE,/ABD=ZACEBD=CE
求证;
AB=AC,AD=AE;
练习2:
1、如图,△ABC^ABAD点A点B,点C和点D是对应点。
如果BC的长是()
F
AB=6厘米,BD=5厘米,
AD=4厘米,那么
A.4厘米B.5厘米C.6厘米D.无法确定
2、如图,
第2题
ACMAB=ACBN=CMZB=50°
°
C.60°
第
A
120°
B.
A,
§
.如图示,
第4题
O则ZMAC勺度数
D.50
AC,BD相交于点Q△AOB^ACOD/A=ZC,第」其它对应角分别为
,对应边分别为
4.如图示,点B在AE上,/CBENDBE,要使△ABC^△ABD,还需添加一个条件是适当的一个条件即可)
•(填上你认为
5.如图:
在厶ABC中,点D,E在BC上,且AD=AEBD=CE/ADENAED求证:
AB=AC.
6.如图:
E是/AOB的平分线上一点,EC丄OAED丄OB垂足为C,D。
求证:
(1)OC=OD
(2)DF=CF
五、三角形的判定定理:
边边边公理
SSS'
如图,在厶ABC和厶DCB中,AC和BD相交于点O,AB=DC,AC=BD,求证:
OB=OC如图,E、C两点在线段BF上,BE=CFAB=DEAC=DF求证:
△ABC^^DEF女口图,AB=CD,BE=DF,AF=CE,证:
BE//DF
1:
三边对应相等的两个三角形全等。
简称为“边边边”简写为“
例1.
例2.
例3.
练习
1.如图,已知AB=AD,如果要判定△ABC^AADC,根据(S、S、S)全等的判定方法,还需要添加的条件
第1题
如图,AB=DC,AD=BC,求证:
/A=ZG
第2
BAC=ZDAEI
是.
如图,AB=AC,AD=AE,BD=CE
.求证:
4.△ABC中,AB=AC,求证:
/B=ZC练习2:
1.在厶ABO^AA'
B'
中,AB=AB'
则补充的这个条件是()
A.BC=BC'
B.ZA=ZA'
C
(自己画图)
/B=ZB'
e
定能保证厶ABC^AAB'
补充条件后仍
A=30°
;
.AC=AC'
2.直角三角形两锐角的角平分线所交成的角的度数是(
A.45°
B.135°
C.45°
或135°
D
3.根据下列已知条件,能惟一画出三角形ABC的是(
A.AB=3,BC=4,AC=8;
B.AB=4,
C.ZA=60°
ZB=45°
AB=4;
D.ZC=90°
aB=6"
4.三角形ABC中,ZA是ZB的2倍,ZC比ZA+ZB还大12°
则这个三角形是三角形.
5.以三条线段3、4、x—5为这组成三角形,贝Ux的取值为.
6.杜师傅在做完门框后,为防止门框变形常常需钉两根斜拉的木条,这样做的数学原理是.
7.△ABC中,ZA+ZB=ZC,ZA的平分线交BC于点D,若CD=8cm,则点D到AB的距离为—
&
已知,如图,D是厶ABC的边AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FC//AB,
AD=CF
9.如图,ABC为等边三角形,点M,N分别在BC,AC上,且BM二CN,
求.AQN的度数。
9.阅读下题及证明过程:
已知:
如图,D是厶ABC中BC边上一点,E是AD上一点,
D.ZC=ZC'
.都不对
BC=3,
N交于Q点。
与
EB
M
ABE=/ACE
cm.
/BAE玄CAE
证明:
在厶AEB和△AEC中,
•/EB=EC/ABE=ZACEAE=AE
•••△AEB^AAEC••…第一步
•••/BAE=ZCAE••…第二步
问上面证明过程是否正确?
若正确,请写出每一步推理的依据;
若不正确,请指出错在哪一步,并写出你认为正确的证明过程.
六、勾股定理
1.观察:
【邮票赏析】1955年希腊发行的一枚纪念邮票,邮票上的图案是根据一个着名的数学定理设计的。
观察这枚邮票上的图案和图案中小方格的个数,你有哪些发现?
2.体会:
1.分别以图中的直角三角形三边为边向外作正方形,求这三个正方形的面积?
2.这三个面积之间是否存在什么样的未知关系如果存在,那么它们的关系是什么?
3.是否所有的直角三角形都有这个规律呢?
请写出你发现的规律
3.思考:
勾股定理又称毕达哥拉斯定理,是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,问题的最重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一。
勾股定理约有
是用代数思想解决几何
400种证明方法,是数学定理中证明
方法最多的定理之一。
下面选几个图案,你能从中说出勾股定理的推导过程吗
1.以a、b为直角边,c为斜边做四个形状大小相同的的直角三角形,拼成一个正方形.
2.用二个形状大小相同的的直角三角形,拼成一个直角梯形形.
3.用二种方法分割边长为a+b的正方形.
勾股定理:
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
符号语言:
在Rt△ABC中,•••/C=9(J,Aa2+b2=c2
四.练习1:
1、判断题
(1)若a、b、c是三角形的三边,则a2b^c2.
(2)直角三角形中,两边的平方和等于第三边的平方
2、求下列直角三角形中未知边的长.
3、下列各图中所示的线段的长度或正方形的面积为多少?
(注:
下列各图中的三角形均为直角三角形)
4.受台风影响
5.如图,
/DBC=
一、选择题
1.直角三角形
棵9米高的树断裂,树的顶部落在离树跟底部四边形\ABCD中,/BAD=90,
AB=4,BC=12,求CD.
1
y
条边长均为
M棵树折断后离地面有多高
).
则其周8
(A)30
(B)28
(36)56
(D)不能确定
2.直角三角形的斜边比一直角边长2cm,
另一直角边长为
6cm,则它的斜边长
(A)4cm
(B)8cm
(C)10cm
(D)12cm
3.已知一个Rt△的两边长分别为3和4,
则第三边长的平方是()
(A)25
(B)14
(C)7
(D)7或25
4.等腰三角形的腰长为
10,底长为12,则其底边上的高为(
)
(A)13
(B)8
(C)25
(D)64
12,
289
直角边长为
5.五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,25,现将他们摆成两个直角三角形,其中正确的是()
(B)锐角三角形(C)直角三角形
1的正方形,则四边形ABCD的面积是()
12.5(C)9(D)8.5
(第8题)
8.如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯米.
222
9.在直角三角形ABC中,斜边AB=2,则AB+AC+BC=
10•如图,四边形ABCD是正方形,AE垂直于BE,且AE=3,BE=4,阴影部分的面积是.
三、解答题
11.如图,已知一等腰三角形的周长是16,底边上的高是4.求这个三角形各边的长.
12.如图,一架2.5米长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AC上,这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米,如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米,那么梯足将向外移多少米?
13.如图,某沿海开放城市A接到台风警报,在该市正南方向100km的B处有一台风中心,沿BC方向以20km/h的速度向D移动,已知城市A到BC的距离AD=60km那么台风中心经过多长时间从B点移到D点?
如果
在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险,正在D点休闲的游人在接到台风警报
后的几小时内撤离才可脱离危险?
-•作图
1.画图:
画出边长分别是下列各组数的三角形。
(单位:
厘米)
A:
3、4、3;
?
?
B:
3、4、5;
C:
3、4、6;
D:
5、12、13;
2•测量:
用你的量角器分别测量一下上述各三角形的最大角的度数,并记录如下
B:
C:
D:
3•判断:
请判断一下上述你所画的三角形的形状。
4•找规律:
根据上述每个三角形所给的各组边长,请你找出最长边的平方与其他两边的平方和之间的关系。
5•猜想:
让我们猜想一下,一个三角形各边长数量应满足怎样的关系式时,这个三角形才可能是直角三角形呢?
你的猜想是。
二•探索
1、操作:
1、以6cm8cm>
10cm三个数为边画一个三角形,再以6cm>
8cm两个数为直角边长,画一个直角三
角形。
2、把你所画的边长为6cm8cm10cm的三角形和6cm8cm为直角边的直角三角形分别剪下来。
3、把你刚才所剪下来的两个图片叠合在一起。
2、观察、猜想:
叠合后的两个三角形存在什么关系?
你还能得出什么结论呢?
3、归纳总结:
如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。
①符号语言:
a+b=c2
•••△ABC为Rt△
这个结论与勾股定理有什么关系?
②像(3,4,5)、(6,8,10)、(5,12,13)等满足a2+b2=c2的一组正整数,通常称为勾股数。
三.实践:
例1.已知:
如图,AD=4,CD=3,ZADC=90°
AB=13,BC=b2.求图形的面积.C
例2.如图,
有一块直角三角形纸片,两直角边
AC=6cm,BC=8cm,先将直角边AC沿
斜边AB上,
四•练习1
1.在厶ABC中,ZA、ZB
且与AE重合,求CD的长.
/C的对边分别是
a、
使它落在
A.a+b=cB.a:
b:
c
=3:
4:
5C.a
b、c,下列条件中,能判断△ABC为直角三角形的是()
=b=2cD.
ZA=
2•三角形三边长分别为
A.直角三角形B.
3.若△ABC的三边a、b、c满足条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,试判断△ABC的形状.
3.已知某校有一块四边形空地ABCD如图现计划在该空地上种草皮,经测量
ZA=90°
AB=3m,BC=12m,CD=13m,DA=4m,若每平方米草皮需100元,问需投入多少元练习2:
一、选择题d
1•下列几组数中,能作为直角三角形三边长度的是().
A.2,3,4B.5,7,9C.8,15,17D.200,
a2+b2、2ab、a2-b2(a、b都是整数,a>
b),则这个.).
锐角三角形C.钝角三角形CD.D不能确定B
2.五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,25,现将他们摆成两个直角三角形,
3•三角形白
24
A.锐角三角形
715
4.下列结论错误的是(
B.
b、c,
300,400
其中正确的是(
爭+b)2=cW^ab,那这个三角形是©
4
C钝角
三角形
D.
A.三个角度之比为
2:
3的三角形是直角三角形;
B.三条边长之比为
3:
4:
5的三角形是直角三角形;
C.三个角度之比为
2的三角形是直角三角形;
D.三条边长之比为
8:
16
17的三角形是直角三角形
)B
5.小丽和小芳二人同时从公园去图书馆,都是每分钟走50
了钱在去图书馆,小芳到家用了6分钟,从家到图书馆用了
锐角B.直角C.钝角D.不能确定
米,小丽走直线用了10分钟,小芳先去家拿8分钟,小芳从公园到图书馆拐了个()角.
A.
下列各组线段中的三个长度
22小22
m-n、2mn、mn
B.4组
①9、12、15;
(m、n为正整数,
C.3组
7、24、
m>
n)
D.2组
25;
③32、42、52;
④3a、4a、5a(a>
0);
其中可以构成直角三角形的有()
5组
、填空题
1.在△ABC中,若AB+BC=AC,则ZA+ZC=度.
2.若一个三角形的三边之比为5:
12:
13,且周长为60cm,则它的面积为.
3.已知两条线段的长为5cm和12cm,当第三条线段的长为?
cm时,这三条线段能组成一个
直角三角形.
4.直角三角形的三边长为连续偶数,则这三个数分别为.
5.正方形网格中的厶ABC,若小方格边长为1,则厶ABC是
1.一个零件的形状如图2所示,按规定这个零件中/A和/DBC都应为直角•工人师傅量得这个零件各边尺寸如图3所示,这个零件符合要求吗?
如图,△ABC中,AB=5cm,BC=3cm,AC=4cm,CD丄AB于D,
求CD的长及△ABC的面积;
2222
2.已知△ABC的三边为m,m-n,2mn
对于m、n为任何正整数时(m>
n),你能说明厶ABC为直角三角形吗?
正方形ABCD中,F是DC的中点,E为BC的上一点,且EC=BC
4
EF丄AF.-
八、平方根
(1)尸P
一•回顾「
1.口答
()=9()2=25
22
()=16()=81
()2
()
=1
2
=121
2=0
2.想一想
(1)如果一个数的平方等于
2,
这个数是几?
(2)—个数的平方等于5呢?
想知道这个数的结果吗二理解:
如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做的a平方根,也称为a的二次方根。
如果x2二a,那么x就叫做a的平方根。
例如:
•/
(2)=4,(-2)=4,_2是4的平方根
(扩
(+_)2=0.25,(―_)
••是1的平方根
9
=0.25,•••是0.25的平方根
观察下面的式子:
11=1,(-1)=1
20.5=0.25,(-0.5)=0.25
(1)请你写出一个与上面式子类似的式子
(2)你发现了什么结论
2•小结:
一个正数的平方根有个,它们互为.
一个正数a的正的平方根,记作“揖”,正数a的负的平方根记作“-Va”,这两个平方根合起来记作“士薦”,读作“正、负根号a”。
_
2的平方根记作—2,4的平方根记作_4
•••
(2)^4,(-2)^4,_2是4的平方根,即:
一-4=.22=2
一般地,
3.问题二:
二a2二a,如_•.25=•.52=5等
4•平方根的性质:
一个正数的平方根有2个,它们互为相反数;
0只有1个平方根,它是0本身;
负数没有平方根。
F列各式无意义的是(
使.-x有意义的x的值是(
A.正数B.负数C.
一、填空题
125的平方根是
(-1)2的平方根是
252-242的平方根是
(一1)2正的平方根是
_,16正的平方根的平方根是
0.04的负的平方根是___
10.若V02+|b-3|=