高中数学人教版选修21 1123四种命题及其相互关系 教案系列三Word文件下载.docx
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让学生知道数学重生在运用,从而检验知识的应用情况,找出未掌握的内容及其差距并及时加以补救.
通过本节的学习,了解命题的四种形式及其关系,利用原命题与逆否命题,逆命题与否命题之间的等价性解决有关问题,渗透由特殊到一般的化归数学思想.
●教学流程
⇒
三、自主导学
课标解读
1.了解四种命题的概念,会写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题.(重点)
2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的关系.(难点)
3.利用命题真假的等价性解决简单问题.(难点,易错点)
四种命题的概念
【问题导思】
给出以下四个命题:
(1)对顶角相等;
(2)相等的两个角是对顶角;
(3)不是对顶角的两个角不相等;
(4)不相等的两个角不是对顶角;
1.你能说出命题
(1)与
(2)的条件与结论有什么关系吗?
【提示】 它们的条件和结论恰好互换了.
2.命题
(1)与(3)的条件与结论有什么关系?
命题
(1)与(4)呢?
【提示】 命题
(1)的条件与结论恰好是命题(3)条件的否定和结论的否定.命题
(1)的条件和结论恰好是命题(4)结论的否定和条件的否定.
一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件,那么把这两个命题叫做互逆命题,如果是另一个命题条件的否定和结论的否定,那么把两个命题叫做互否命题.如果是另一个命题结论的否定和条件的否定,那么把这样的两个命题叫做互为逆否命题.把第一个叫做原命题时,另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题.
四种命题的关系
1.为了书写方便常把p与q的否定分别记作“綈p”和“綈q”,如果原命题是“若p,则q”,那么它的逆命题,否命题,逆否命题该如何表示?
【提示】 逆命题:
若q,则p.
否命题:
若綈p,则綈q.
逆否命题:
若綈q,则綈p.
2.原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系?
原命题的逆命题与其逆否命题之间是什么关系?
原命题的逆命题与其否命题呢?
【提示】 互逆、互否、互为逆否.
四种命题的相互关系
四种命题的真假关系
1.知识1的“问题导思”中四个命题的真假性是怎样的?
【提示】
(1)真命题,
(2)假命题,(3)假命题,(4)真命题.
2.如果原命题是真命题,它的逆命题是真命题吗?
它的逆否命题呢?
【提示】 原命题为真,其逆命题不一定为真,但其逆否命题一定为真.
1.在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中,一定与原命题真假性相同的是逆否命题.
2.两个命题互为逆命题或互为否命题时,它们的真假性没有关系.
四、互动探究
例1 把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题.
(1)全等三角形的对应边相等;
(2)当x=2时,x2-3x+2=0.
【思路探究】
(1)原命题的条件与结论分别是什么?
(2)把原命题的条件与结论作怎样的变化就能写出它的逆命题、否命题和逆否命题?
【自主解答】
(1)原命题:
若两个三角形全等,则这两个三角形三边对应相等.
逆命题:
若两个三角形三边对应相等,则两个三角形全等.
若两个三角形不全等,则两个三角形三边对应不相等.
若两个三角形三边对应不相等,则这两个三角形不全等.
(2)原命题:
若x=2,则x2-3x+2=0,
若x2-3x+2=0,则x=2,
若x≠2,则x2-3x+2≠0,
若x2-3x+2≠0,则x≠2.
(一)规律方法
1.给出一个命题,写出该命题的其他三种命题时,首先考虑弄清所给命题的条件与结论,若给出的命题不是“若p,则q”的形式,应改写成“若p,则q”的形式.
2.把原命题的结论作为条件,条件作为结论就得到逆命题;
否定条件作为条件,否定结论作为结论便得到否命题;
否命题的逆命题就是原命题的逆否命题.
(二)变式训练
分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题.
(1)负数的平方是正数;
(2)若a>b,则ac2>bc2.
【解】
(1)原命题可以改写成:
若一个数是负数,则它的平方是正数;
若一个数的平方是正数,则它是负数;
若一个数不是负数,则它的平方不是正数;
若一个数的平方不是正数,则它不是负数.
(2)逆命题:
若ac2>bc2,则a>b;
若a≤b,则ac2≤bc2;
若ac2≤bc2,则a≤b.
四种命题真假的判断
例2 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,然后判断真假.
(1)菱形的对角线互相垂直;
(2)等高的两个三角形是全等三角形;
(3)弦的垂直平分线平分弦所对的弧.
【思路探究】
→
【自主解答】
(1)逆命题:
若一个四边形的对角线互相垂直,则它是菱形,是假命题.
若一个四边形不是菱形,则它的对角线不互相垂直,是假命题.
若一个四边形的对角线不互相垂直,则这个四边形不是菱形,是真命题.
若两个三角形全等,则这两个三角形等高,是真命题.
若两个三角形不等高,则这两个三角形不全等,是真命题.
若两个三角形不全等,则这两个三角形不等高,是假命题.
(3)逆命题:
若一条直线平分弦所对的弧,则这条直线是弦的垂直平分线,是假命题.
若一条直线不是弦的垂直平分线,则这条直线不平分弦所对的弧,是假命题.
若一条直线不平分弦所对的弧,则这条直线不是弦的垂直平分线,是真命题.
1.本例题目中命题的条件和结论不明显,为了不出错误,可以先改写成“若p,则q”的形式,再写另外三种命题,进而判断真假.
2.要判定四种命题的真假,首先,要正确理解四种命题间的相互关系;
其次,正确利用相关知识进行判断推理.若由“p经逻辑推理得出q”,则命题“若p,则q”为真;
确定“若p,则q”为假时,则只需举一个反例说明.
3.互为逆否命题等价.当一个命题的真假不易判断时,可通过判定其逆否命题的真假来判断.
下列命题中正确的是( )
①“若x2+y2≠0,则x,y不全为零”的否命题;
②“正三角形都相似”的逆命题;
③“若m>0,则x2+x-m=0有实根”的逆否命题.
A.①②③ B.①③
C.②③D.①
【解析】 ①原命题的否命题为“若x2+y2=0,则x,y全为零”.真命题.
②原命题的逆命题为“若两个三角形相似,则这两个三角形是正三角形.”假命题.
③原命题的逆否命题为“若x2+x-m=0无实根,则m≤0”.
∵方程x2+x-m=0无实根,
∴判别式Δ=1+4m<0,m<-
.
故m≤0,为真命题.
故正确的命题是①,③选B.
【答案】 B
等价命题的应用
例3 若a2+b2=c2,求证:
a,b,c不可能都是奇数.
【思路探究】
(1)a,b,c不可能都是奇数包含几种情况?
(2)它的反面是什么?
能否考虑证它的逆否命题?
【自主解答】 若a,b,c都是奇数,则a2,b2,c2都是奇数,所以a2+b2为偶数,而c2为奇数,即a2+b2≠c2.即原命题的逆否命题为真命题,故原命题为真,所以若a2+b2=c2,则a、b、c不可能都是奇数.
1.因为“a、b、c不可能都是奇数”这一结论包含多种情况,而其否定只有一种情况,即“a、b、c都是奇数,”故应选择证明它的逆否命题为真命题,以使问题简单化.
2.当判断一个命题的真假比较困难,或者在判断真假时涉及到分类讨论时,通常转化为判断它的逆否命题的真假,因为互为逆否命题的真假是等价的,也就是我们讲的“正难则反”的一种策略.
3.四种命题中,原命题与其逆否命题是等价的,有相同的真假性,原命题的否命题与其逆命题也是互为逆否命题,解题时不要忽视.
“已知a,x为实数,若关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集是空集,则a<2”,判断其逆否命题的真假.
【解】 ∵a,x∈R,且x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集是空集.
∴Δ=(2a+1)2-4(a2+2)<0,
则4a-7<0,解得a<
因此a<2,原命题是真命题.
又互为逆否命题的命题等价,故逆否命题是真命题.
五、易误辨析
因否定错误致误
典例 写出命题“若x2+y2=0,则x,y全为零”的逆命题、否命题,并判断它们的真假.
【错解】 逆命题:
若x,y全为零,则x2+y2=0,是真命题;
若x2+y2≠0,则x,y全不为零,是假命题.
【错因分析】 本题中的错解主要是对原命题中结论的否定错误.对“x,y全为零”的否定,应为“x,y不全为零”,而不是“x,y全不为零”.
【防范措施】 要写出一个命题的否命题,需要既否定条件,又否定结论,否定时一定要注意一些词语,如“都是”的否定是“不都是”,而不是“都不是”等等.
【正解】 逆命题:
若x2+y2≠0,则x,y不全为零,是真命题.
六、课堂小结
1.写出四种命题的方法:
(1)交换原命题的条件和结论,所得的命题是逆命题;
(2)同时否定原命题的条件和结论,所得的命题是否命题;
(3)交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得的命题是逆否命题.
2.四种命题的真假关系:
若原命题为真,它的逆命题、否命题不一定为真,它的逆否命题一定为真;
互为逆否命题的两个命题的真假性相同.因此,若一个命题的真假不易判断时,我们可借助它的逆否命题进行判断.
七、双基达标
1.(2013·
福州高二检测)已知a,b∈R,命题“若a+b=1,则a2+b2≥
”的否命题是( )
A.若a2+b2<
,则a+b≠1
B.若a+b=1,则a2+b2<
C.若a+b≠1,则a2+b2<
D.若a2+b2≥
,则a+b=1
【解析】 “a+b=1”,“a2+b2≥
”的否定分别是“a+b≠1”,“a2+b2<
”,故否命题为:
“若a+b≠1,则a2+b2<
”.
【答案】 C
2.命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的( )
A.逆命题 B.否命题
C.逆否命题D.无关命题
【解析】 从两种命题的形式来看是条件与结论换位,因此为逆命题.
【答案】 A
3.命题“当x=2时,x2+x-6=0”的逆否命题是____.
【解析】 原命题结论的否定作条件,条件的否定作结论,写出逆否命题即可.
【答案】 当x2+x-6≠0时,x≠2.
4.写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断命题的真假.
(1)若mn<0,则方程mx2-x+n=0有实数根;
(2)若ab=0,则a=0或b=0.
【解】
(1)逆命题:
若方程mx2-x+n=0有实数根,则mn<0.假命题;
若mn≥0,则方程mx2-x+n=0没有实数根.假命题;
若方程mx2-x+n=0没有实数根,则mn≥0.真命题.
若a=0或b=0,则ab=0.真命题;
若ab≠0,则a≠0且b≠0.真命题;
若a≠0且b≠0,则ab≠0.真命题.
八、知能检测
一、选择题
1.命题“若綈p,则q”是真命题,则下列命题一定是真命题的是( )
A.若p,则綈q B.若q,则綈p
C.若綈q,则pD.若綈q,则綈p
【解析】 若“綈p,则q”的逆否命题是“若綈q,则p”,又互为逆否命题真假性相同.
∴“若綈q,则p”一定是真命题.
2.若命题p的否命题为q,命题p的逆否命题为r,则q与r的关系是( )
A.互逆命题B.互否命题
C.互为逆否命题D.以上都不正确
【解析】 设p为“若A,则B”,那么q为“若綈A,则綈B”,r为“若綈B,则綈A”,故q与r为互逆命题.
3.(2013·
台州高二检测)已知命题p:
若a>0,则方程ax2+2x=0有解,则其原命题、否命题、逆命题及逆否命题中真命题的个数为( )
A.3 B.2 C.1 D.0
【解析】 易知原命题和逆否命题都是真命题,否命题和逆命题都是假命题.故选B.
4.(2013·
大庆高二检测)下列判断中不正确的是( )
A.命题“若A∩B=B,则A∪B=A”的逆否命题为真命题
B.“矩形的两条对角线相等”的逆否命题为真命题
C.“已知a,b,m∈R,若am2<
bm2,则a<b”的逆命题是真命题
D.“若x∈N*,则(x-1)2>0”是假命题
【解析】 若A∩B=B,则有B⊆A,从而有A∪B=A,
∴A正确;
B中的逆否命题:
“若一个四边形两条对角线不相等,则它不是矩形”为真命题∴B正确.
C中的逆命题为:
“已知a,b,m∈R,若a<b,则am2<bm2为假命题,故C不正确.
D中x=1时,(x-1)2=0显然是假命题.故D正确.
5.下列命题中,不是真命题的为( )
A.“若b2-4ac≥0,则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根”的逆否命题
B.“四边相等的四边形是正方形”的逆命题
C.“若x2=9,则x=3”的否命题
D.“对顶角相等”的逆命题
【解析】 A中命题为真命题,其逆否命题也为真命题;
B中命题的逆命题为“正方形的四边相等”,为真命题;
C中命题的否命题为“若x2≠9,则x≠3”为真命题;
D中命题的逆命题为“相等的角为对顶角”是假命题.
【答案】 D
二、填空题
6.命题“若A∪B=B,则A⊆B”的否命题是________.
【答案】 若A∪B≠B,则A⃘B.
7.已知命题“若m-1<x<m+1,则1<x<2”的逆命题为真命题,则m的取值范围是________.
【解析】 由已知得,若1<x<2成立,则m-1<x<m+1也成立.
∴
,∴1≤m≤2.
【答案】 [1,2]
8.(2013·
菏泽高二检测)给定下列命题:
①若a>0,则方程ax2+2x=0有解.
②“等腰三角形都相似”的逆命题;
③“若x-
是有理数,则x是无理数”的逆否命题;
④“若a>1且b>1,则a+b>2”的否命题.
其中真命题的序号是________.
【解析】 显然①为真,②为假.对于③中,原命题“若x-
是有理数,则x是无理数”为假命题,∴逆否命题为假命题.
对于④中,“若a>1且b>1,则a+b>2”的否命题是“若a≤1或b≤1,则a+b≤2”为假命题.
【答案】 ①
三、解答题
9.设原命题是“当c>0时,若a>b,则ac>bc”,写出它的逆命题、否命题、逆否命题,并分别判断它们的真假.
【解】 原命题是真命题.
逆命题是“当c>0时,若ac>bc,则a>b”,是真命题.
否命题是“当c>0时,若a≤b,则ac≤bc”,是真命题.
逆否命题是“当c>0时,若ac≤bc,则a≤b”,是真命题.
10.已知命题p:
“若ac≥0,则二次方程ax2+bx+c=0没有实根”.
(1)写出命题p的否命题;
(2)判断命题p的否命题的真假,并证明你的结论.
【解】
(1)命题p的否命题为:
“若ac<0,则二次方程ax2+bx+c=0有实根”.
(2)命题p的否命题是真命题,证明如下:
∵ac<0,
∴-ac>0⇒Δ=b2-4ac>0⇒二次方程ax2+bx+c=0有实根.
∴该命题是真命题.
11.已知奇函数f(x)是定义域为R的增函数,a,b∈R,若f(a)+f(b)≥0,求证:
a+b≥0.
【证明】 假设a+b<0,则a<-b.
∵f(x)在R上是增函数.
∴f(a)<f(-b),又∵f(x)为奇函数.
∴f(-b)=-f(b),∴f(a)<-f(b).
即f(a)+f(b)<0.
∴原命题的逆否命题为真,故原命题为真.
九、备课资源
(一)备选例题
判断命题“若m>0,则方程x2+2x-3m=0有实数根”的逆否命题的真假.
【解】 ∵m>0,∴12m>0,∴12m+4>0.
∴方程x2+2x-3m=0的判别式Δ=22-4×
1×
(-3m)=4+12m>0,∴原命题“若m>0,则方程x2+2x-3m=0有实数根”为真.
又∵原命题与它的逆否命题等价,
∴“若m>0,则方程x2+2x-3m=0有实数根”的逆否命题为真.
(二)备选变式
已知ad-bc=1,求证:
a2+b2+c2+d2+ab+cd≠1.
【证明】 设a2+b2+c2+d2+ab+cd=1,则2a2+2b2+2c2+2d2+2ab+2bc+2cd-2ad-2bc+2ad=2,
即(a+b)2+(b+c)2+(c+d)2+(a-d)2+2ad-2bc=2,
若(a+b)2+(b+c)2+(c+d)2+(a-d)2=0,则a=b=c=d=0,于是ad-bc<1;
若(a+b)2+(b+c)2+(c+d)2+(a-d)2≠0,
则(a+b)2+(b+c)2+(c+d)2+(a-d)2为正数,所以必有ad-bc<1.
综上,命题“若a2+b2+c2+d2+ab+cd=1,则ad-bc≠1”成立,由原命题与它的逆否命题等价,知原命题也成立,从而原命题得证.