优化方案高中数学 第三章 概率 322整数值随机数random numbers的产生学案 新人教A版必修3Word格式文档下载.docx

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C

3．一个小组有6位同学，选1位小组长，用随机模拟方法估计甲被选中的概率，给出下列步骤：

①统计甲的编号出现的个数m；

②将6名同学编号1，2，3，4，5，6；

③利用计算机或计算器产生1到6之间的整数随机数，统计个数为n；

④则甲被选中的概率近似为

.

其正确步骤顺序为________（写出序号）．

正确步骤顺序为：

②③①④.

②③①④

4．随机模拟方法的基本思想是什么？

解：

随机模拟方法是通过将一次试验所有可能发生的结果数字化，由计算机或计算器产生的随机数来替代每次试验的结果，其基本思想是：

用产生整数值随机数的频率估计事件发生的概率．

1．利用计算机或计算器做随机模拟试验，可以解决非古典概型的概率求解问题．

2．对于某些试验，如果亲手做大量重复试验的话，花费的时间太多，因此利用计算机或计算器做随机模拟试验可以大大节省时间．

3．随机函数RANDBETWEEN（a，b）产生从整数a到整数b的取整数值的随机数．

　　　　　　　随机数的产生方法

某校高一全年级共25个班1200人，期末考试时，如何把学生分配到40个考场中去？

[解]　要把1200人分到40个考场中去，每个考场30人，首先要把全体学生按一定顺序排成一列，然后从1号到30号去第1考场，31号到60号去第2考场，…，人数太多，如果用随机数表法给每个学生找一个考试号，太费时费力，我们可以用随机函数给每一个学生一个随机号数，然后再按号数用计算机排序即可．

（1）按班级、学号顺序把学生档案输入计算机．

（2）用随机函数RANDBETWEEN（1，1200）按顺序给每个学生一个随机数（每个人的都不同）．

（3）使用计算机排序功能按随机数从小到大排列，即可得到考试号从1到1200人的考试序号（注：

1号应为0001，2号应为0002，用0补足位数．前面再加上有关信息号码即可）．

方法归纳

（1）解决此题的关键是用随机函数给每个学生一个随机数作为序号．

（2）常见产生随机数的方法比较

方法

抽签法

用计算器或计算机产生

优

保证机会均等

操作简单，省时省力

劣

耗费大量人力，物力

由于是伪随机数，不能保证等可能性

1．全班50人，试用随机数把他们排成一列．

给50名同学编号1，2，3，…，50，用计算器的RANDI（1，50）或计算机的RANDBETWEEN（1，50）产生50个不重复的取整数值的随机数，排成一列，即为50名学生的排列顺序（如10，5，21，7，…，表示10号在第一位，5号在第二位，21号在第三位，…）．

　　　　　　　随机模拟法估计概率

种植某种树苗，成活率为0.9，现采用随机模拟的方法估计该树苗种植5棵恰好4棵成活的概率，先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1至9的数字代表成活，0代表不成活，再以每5个随机数为一组代表5次种植的结果．经随机模拟产生30组随机数：

69801　66097　77124　22961　74235　31516

29747　24945　57558　65258　74130　23224

37445　44344　33315　27120　21782　58555

61017　45241　44134　92201　70362　83005

94976　56173　34783　16624　30344　01117

据此估计，该树苗种植5棵恰好4棵成活的概率为________．

（链接教材P132例6）

[解析]　由题意知模拟5次种植的结果，经随机模拟产生了30组随机数，在30组随机数中表示种植5棵恰好4棵成活的有：

69801，66097，74130，27120，61017，92201，70362，30344，01117，共9组随机数，

∴所求概率约为

＝0.30.

[答案]　0.30

[互动探究]　在本例中，若树苗成活的概率是0.8，则5棵树苗至少有4棵成活的概率约是多少？

利用计算器或计算机可以产生0到9之间取整数值的随机数，我们用0和1代表不成活，2到9的数字代表成活，这样可以体现成活率是0.8.因为是种植5棵，所以每5个随机数作为一组．例如，产生20组随机数：

23065　37052　89021　34435　77321　33674

01456　12346　22789　02458　99274　22654

18435　90378　39202　17437　63021　67310

20165　12328

这就相当于做了20次试验，在这些数组中，如果至多有一个是0或1的数组表示至少有4棵成活，共有15组，于是我们得到种植5棵树苗至少有4棵成活的概率近似为15÷

20＝0.75.

估计非古典概型的概率要设计恰当的试验方法，并且使试验次数尽可能多，这样才与实际概率更接近．

2．某人玩射击游戏，每次击中目标的概率都是0.8，他射击4次，求至少击中3次的概率．

利用计算器或计算机产生0到9之间取整数值的随机数，我们用0、1代表没有击中目标，2到9代表击中目标，这样体现击中目标的概率是0.8.因为射击4次，所以每4个随机数作为一组，可产生N组随机数，在这些数组中，至少有3个大于1的数的数组的个数为N1，然后计算fn（A）＝

，即为至少击中目标3次概率的近似值．

易错警示

随机模拟数含义不明致误

天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．可利用计算机产生0到9之间的整数值的随机数，如果我们用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨，顺次产生的随机数如下：

907　966

191　925

271　932

812　458

569　683

631　257

393　027

556　488

730　113

137　989

则这三天中恰有两天下雨的概率约为（　　）

A.

B.

C.

D.

[解析]　由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了20组随机数，在这20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：

191，271，932，812，631，393，137，共7组随机数，∴所求概率为

[答案]　B

[错因与防范]

本题易错点有两处：

一是错误的理解数字的代表意义，将1，2，3，4理解为不下雨，5，6，7，8，9，0理解为下雨；

二是理解随机数的意义出错或数据统计错误．

（1）解决此类题目时正确设计试验，准确理解随机数的意义是解题的基础和关键．

（2）认真统计数据，确保数据准确是解题的保证．

3．

（1）在利用整数随机数进行随机模拟试验中，a到b之间的每个整数出现的可能性是________．

[a，b]中共有b－a＋1个整数，每个整数出现的可能性相等，所以每个整数出现的可能性是

（2）抛掷两颗骰子，计算：

①事件“两颗骰子点数相同”的概率；

②事件“点数之和等于7”的概率；

③事件“点数之和等于或大于11”的概率；

④设计一个用计算器或计算机模拟前三小题试验的方法，估计它们的概率．

分别记①，②，③中的事件为A、B、C，抛掷两颗骰子共有36个不同结果，对应36个基本事件．

①因为事件A含有（1，1）；

（2，2）；

（3，3）；

（4，4）；

（5，5）；

（6，6）共6个基本事件，所以P（A）＝

＝

②因为事件B含有（1，6）；

（2，5）；

（3，4）；

（4，3）；

（5，2）；

（6，1）共6个基本事件，所以P（B）＝

③因为事件C含有（5，6）；

（6，5）；

（6，6）共3个基本事件，所以P（C）＝

④因为抛掷两次相当于一次试验，所以应把用计算器随机函数RANDI（1，6）或计算机随机函数RANDBETWEEN（1，6）产生的1到6之间的随机整数且连续产生两个作为一组．

重复上面试验过程，统计出产生的n组随机数，再统计出这几组中满足事件A、B、C中各自所含的基本事件的组数N1，N2，N3.

计算

，

就分别得到了P（A），P（B），P（C）的近似值．

1．用随机模拟方法估计概率时，其准确程度决定于（　　）

A．产生的随机数的大小

B．产生的随机数的个数

C．随机数对应的结果

D．产生随机数的方法

选B.用随机模拟方法估计概率时，其准确程度决定于产生的随机数的个数．故选B.

2．抛掷一枚骰子两次，用随机模拟方法估计点数和为7的概率，共进行了两次试验，第1次产生了60组随机数，第2次产生了200组随机数，那么两次估计的结果相比较（　　）

A．第1次准确B．第2次准确

C．两次的准确率相同D．无法比较

选B.用随机模拟方法估计概率时，产生的随机数越多，估计的结果越准确．故选B.

3．某班有6个小组，每个小组内有8人，每个小组被分配去做不同的事情，其中第4小组被分配去绿化浇水（共有6个不同任务）的概率是（　　）

选B.有6个小组，被分配去做6件不同的事情，每个小组做某事的概率相同，都是

.故选B.

4．一个小组有6位同学，选1位小组长，用随机模拟方法估计甲被选中的概率，按下面步骤：

①把6位同学编号为1～6；

②利用计算器或计算机产生1到6的整数随机数；

③统计总试验次数N及甲的编号出现的次数N1；

④计算频率fn（A）＝

，即为甲被选中的概率的近似值；

⑤

一定等于

.其中步骤错误的是（　　）

A．②④B．①③④

C．⑤D．①④

选C.概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，频率不一定等于概率，

不一定等于

.故选C.

[A.基础达标]

1．某银行储蓄卡上的密码是一个6位数号码，每位上的数字可以在0～9这10个数字中选取．某人未记住密码的最后一位数字，如果随意按密码的最后一位数字，则正好按对密码的概率是（　　）

选D.只考虑最后一位数字即可，从0到9这10个数字中随机选一个的概率为

2．袋子中有四个小球，分别写有“幸”“福”“快”“乐”四个字，有放回地从中任取一个小球，取到“快”就停止，用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率：

先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数，且用1，2，3，4表示取出小球上分别写有“幸”“福”“快”“乐”四个字，以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：

13　24　12　32　43　14　24　32　31　21

23　13　32　21　24　42　13　32　21　34

据此估计，直到第二次就停止的概率为（　　）

　　　　B.

C.

D.

选B.由随机模拟产生的随机数可知，直到第二次停止的有13，43，23，13，13共5个基本事件，故所求的概率为P＝

3．（2015·

临沂高一检测）从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则b>

a的概率是（　　）

选D.设Ω＝{（a，b）|a∈{1，2，3，4，5}，b∈{1，2，3}}，包含的基本事件总数n＝15，事件“b>

a”为{（1，2），（1，3），（2，3）}，包含的基本事件数为3，其概率P＝

4．已知某射击运动员每次击中目标的概率都是0.8.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至多击中1次的概率：

先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标；

因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：

5727　0293　7140　9857　0347

4373　8636　9647　1417　4698

0371　6233　2616　8045　6011

3661　9597　7424　6710　4281

据此估计，该射击运动员射击4次至多击中1次的概率为（　　）

A．0.95B．0.1

C．0.15D．0.05

选D.该射击运动员射击4次至多击中1次，故看这20组数据中含有0和1的个数多少，含有3个或3个以上的有1组数，故所求概率为

＝0.05.

5．甲、乙两人一起去游某公园，他们约定，各自独立地从1号到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是（　　）

选D.甲、乙最后一小时他们所在的景点共有36种情况，甲、乙最后一小时他们同在一个景点共有6种情况．由古典概型的概率公式知最后一小时他们同在一个景点的概率是P＝

6．从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________．

从四条线段中任取三条有4种取法：

（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5），其中能构成三角形的取法有3种：

（2，3，4），（2，4，5），（3，4，5），故所求的概率为

7．抛掷两枚相同的骰子，用随机模拟方法估计向上面的点数和是6的倍数的概率时，用1，2，3，4，5，6分别表示向上的面的点数，用计算器或计算机分别产生1到6的两组整数随机数各60个，每组第i个数组成一组，共组成60组数，其中有一组是16，这组数表示的结果是否满足向上面的点数和是6的倍数：

________．（填“是”或“否”）

16表示第一枚骰子向上的点数是1，第二枚骰子向上的点数是6，则向上的面的点数和是1＋6＝7，不表示和是6的倍数．

否

8．从集合{a，b，c，d}的子集中任取一个，这个集合是集合{a，b，c}的子集的概率是________．

集合{a，b，c，d}的子集有∅，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{b，c，d}，{a，c，d}，{a，b，c，d}，共16个，{a，b，c}的子集有∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，共8个，故所求概率为

9．甲、乙两支篮球队进行一局比赛，甲获胜的概率为0.6，若采用三局两胜制举行一次比赛，试用随机模拟的方法求乙获胜的概率．

利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数，用0，1，2，3，4，5表示甲获胜；

6，7，8，9表示乙获胜，这样能体现甲获胜的概率为0.6.因为采用三局两胜制，所以每3个随机数作为一组．例如，产生30组随机数（可借助教材103页的随机数表）．

034　743　738　636　964　736　614

698　637　162　332　616　804　560

111　410　959　774　246　762　428

114　572　042　533　237　322　707

360　751

就相当于做了30次试验．如果恰有2个或3个数在6，7，8，9中，就表示乙获胜，它们分别是738，636，964，736，698，637，616，959，774，762，707，共11个．所以采用三局两胜制，乙获胜的概率约为

10．试用随机数把a，b，c，d，e五位同学排成一列．

要把五位同学排成一列，就要确定这五位同学所在的位置．可以赋给每位同学一个座号，让他们按照座号排成一列即可．

（1）用计算器的随机函数RANDI（1，5）或计算机的随机函数RANDBETWEEN（1，5）产生5个不同的1到5之间的取整数值的随机数，即依次为a，b，c，d，e五名同学的座号．

（2）按照座号由小到大的顺序排成一列即为一种排法．

[B.能力提升]

1．从1，2，3，4，5，6六个数中任取2个数，则取出的两个数不是相邻自然数的概率是（　　）

　B.

选D.从六个数中任取2个，则有15个基本事件，其中取出的两个数是相邻自然数有5种情况，故P＝1－

2．已知某运动员每次投篮命中的概率为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：

先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；

再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：

907　966　191　925　271　932　812　458　569　683

431　257　393　027　556　488　730　113　537　989

据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率约为（　　）

A．0.35B．0.25

C．0.20D．0.15

选B.该随机数中，表示三次投篮，两次命中的有：

191，271，932，812，393，共5组，故所求概率约为

＝0.25.

山东烟台模拟）设集合P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，P⊆Q，x，y∈{1，2，3，…，9}．在直角坐标平面内，从所有满足这些条件的有序实数对（x，y）所表示的点中任取一个，其落在圆x2＋y2＝r2内的概率恰为

，则r2可取的整数是________．

满足条件的点有（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（2，7），（2，8），（2，9），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6），（7，7），（8，8），（9，9），共14个．欲使其点落在x2＋y2＝r2内的概率为

，则这14个点中有4个点在圆内，所以只需29＜r2≤32，故r2＝30或31或32.

30，31，32

4．通过模拟试验产生了20组随机数：

6830　3013　7055　7430　7740　4422　7884　2604　3346　0952　6807　9706　5774　5725　6576　5929　9768　6071　9138　6754

如果恰有三个数在1，2，3，4，5，6中，则表示恰有三次击中目标，问四次射击中恰有三次击中目标的概率约为________．

因为表示三次击中目标分别是3013，2604，5725，6576，6754，共5个数．随机数总共20个，所以所求的概率近似为

＝25%.

0.25

5．一个学生在一次竞赛中要回答的9道题是这样产生的：

从20道物理题中随机抽4道；

从15道化学题中随机抽3道；

从12道生物题中随机抽2道．使用合适的方法确定这个学生所要回答的三门学科的题的序号（物理题的编号为1～20，化学题的编号为21～35，生物题的编号为36～47）．

用计算器的随机函数RANDI（1，20）或计算机的随机函数RANDBETWEEN（1，20）产生4个不同的1到20之间的整数随机数（如果有一个重复，重新产生一个）；

再用计算器的随机函数RANDI（21，35）或计算机的随机函数RANDBETWEEN（21，35）产生3个不同的21到35之间的整数随机数；

用计算器的随机函数RANDI（36，47）或计算机的随机函数RANDBETWEEN（36，47）产生2个不同的36到47之间的整数随机数，就得到9道题的题号．

6．（选做题）某人有5把钥匙，其中2把能打开门，现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门就扔掉，问第三次才打开门的概率是多少？

如果试过的钥匙不扔掉，这个概率又是多少？

设计一个试验，随机模拟估计上述概率．

用计算器或计算机产生1到5之间的整数随机数，1，2表示能打开门，3，4，5表示打不开门．

（1）三个一组（每组数字不重复），统计总组数N及前两个大于2，第三个是1或2的组数N1，则

即为不能打开门，即扔掉，第三次才打开门的概率的近似值．

（2）三个一组（每组数字可重复），统计总组数M及前两个大于2，第三个为1或2的组数M1，则

即为试过的钥匙不扔掉，第三次才打开门的概率的近似值．