云南民族大学附属中学1718学年下学期高一期中考试数学试题附答案.docx
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云南民族大学附属中学1718学年下学期高一期中考试数学试题附答案
云南民族大学附属中学
2018年春季学期期中考试（高一数学）试卷
（考试时间120分钟，满分150分）
命题人：
审题人：
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的考号、姓名、考场、座位号、班级在答题卡上填写清楚。
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试卷上作答无效。
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.设集合，则
A.B.C.D.
2.下列选项中叙述正确的是
A.三角形的内角是第一象限角或第二象限角B.锐角一定是第一象限的角
C.小于的角一定是锐角D.终边相同的角一定相等
3.已知角的终边经过点，则的值等于
A.B.C.D.
4.如图，分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示是异面直线的图形的序号为
A.B.C.D.
5.函数，在区间上任取一点，则的概率为
A.B.C.D.
6.某种产品的广告费支出与销售额单位：
百万元之间有如下对应数据：
2
4
5
6
8
30
40
t
50
70
根据上表提供的数据，求出关于的回归直线方程为，则t的值为
A.40B.50C.60D.70
7.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：
“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？
”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果
A.4B.5
C.2D.3
8.已知直线：
，直线：
，若直线，则直线与直线之间的距离是
A.B.C.D.
9.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增加，那么经过x年可增长到原来的y倍，则函数的图象大致是
A.B.C.D.
10.在平面直角坐标系中，，动点满足,则的最大值为（）
A.B.C.D.
11.如图所示，平面内有三个向量与夹角为与夹角为，且，若，则
A.B.
C.D.
12.定义在R上的函数满足，当，则下列结论中正确的是
A.B.
C.D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知函数，则的值是___________．
14.一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出它的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面图形的面积为___________．
15.若直线被两平行线：
与：
所截得的线段的长为，则的倾斜角可以是其中正确答案的序号是______．写出所有正确答案的序号
16.已知 ，且在区间有且只有一个最值，则的值是______．
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
17.已知向量和．
若，求的值；
若，求与的夹角的大小．
18.某学校就一问题进行内部问卷调查，已知该学校有男学生90人，女学生108人，教师36人用分层抽样的方法从中抽取13人进行问卷调查问卷调查的问题设置为“同意”，“不同意”两种，且每人都做一种选择下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息
同意
不同意
合计
教师
1
女生
4
男生
2
Ⅰ请完成此统计表；
Ⅱ根据此次调查，估计全校对这一问题持“同意”意见的人数；
Ⅲ从被调查的女生中选取2人进行访谈，求选到的两名学生中，恰有一人“同意”一人“不同意”的概率．
19.如图，在中，为直角，沿的中位线，将平面折起，使得，得到四棱锥．
Ⅰ求证：
平面；
Ⅱ求三棱锥的体积；
Ⅲ是棱的中点，过作平面与平面平行，设平面截四棱锥所得截面面积为S，试求S的值.
20.已知函数的最小正周期为，图象过点．
求、的值和的单调增区间；
将函数的图象向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在区间上有且只有两个不同零点，求实数的取值范围．
21.设函数且是定义域为R的奇函数．
求的值；
若，且在上的最小值为，求的值．
22.在平面直角坐标系xOy中，已知圆的圆心为Q，过点且斜率为的直线与圆Q相交于不同的两点．
Ⅰ求的取值范围；
Ⅱ是否存在常数，使得向量与共线？
如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．
云南民族大学附属中学
2018年春季学期期中考试（高一数学）试卷
答案和解析
1.A2.B3.C4.D5.D6.C7.A
8.C9.D10.B11.C12.D
13.
14.
15. （对1个给2分，错一个得0分）
16.或．（对1个给2分，错一个得0分）
17.解：
由，得
解得：
若，则
，
18.解：
Ⅰ统计表如下：
同意
不同意
合计
教师
1
1
2
女学生
2
4
6
男学生
3
2
5
Ⅱ由表格可以看出教师同意的概率为，女生同意的概率是，男生同意的概率是，
估计全校对这一问题持“同意”意见的人数为人
Ⅲ设“同意”的两名学生编号为，“不同意”的四名学生分别编号为，
选出两人则有，
共15种方法；
其中种满足题意，
则恰有一人“同意”一人“不同意”的概率为
19.Ⅰ证明：
，同时，
又，
平面ACD．
又，
平面ACD；
Ⅱ解：
由Ⅰ可知，平面ACD，又平面ADC，
．
又，
．
又，
平面BCDE．
；
Ⅲ解：
分别取的中点，并连接，
平面平面平面与平面ACD的交线平行于AC，
是中点，平面与平面ACD的交线是的中位线MN，
同理可证，四边形MNPQ是平面截四棱锥的截面，即．
由Ⅰ可知，平面，
又．
四边形MNPQ是直角梯形．
在中，．
．
．
20.解：
函数的最小正周期为，
的图象过点．
令，求得，故的单调增区间为．
将函数的图象向右平移个单位，可得的图象；
再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，得到函数的图象．
在区间上，．
故在区间上的值域为，
若函数在区间上有且只有两个不同零点，
由题意可得，函数的图象和直线有且只有两个不同的交点，并根据，
．
21.解：
由题意，对任意，即，即，因为x为任意实数，所以 解法二：
因为是定义域为R的奇函数，所以，即当时，是奇函数所以k的值为理由，因为，所以，解得故，令，则，由，得，所以当时，在上是增函数，则，解得舍去当时，则，解得，或舍去综上，m的值是文由知，由，得，解得当时，是减函数，也是减函数，所以是减函数由，所以，因为是奇函数，所以因为是R上的减函数，所以即对任意成立，所以，解得所以，t的取值范围是．
22.解：
Ⅰ圆的方程可写成，所以圆心为，过
且斜率为k的直线方程为．
代入圆方程得，
整理得
直线与圆交于两个不同的点等价于，
解得，即k的取值范围为．
Ⅱ设，则，
由方程
又
而．
所以与共线等价于，
将代入上式，解得．
由Ⅰ知，故没有符合题意的常数k．
【解析】
1.解：
集合，
则．
．
故选：
A．
求出A与B的并集，然后求解补集即可．
本题考查集合的交、并、补的运算，考查计算能力．
2.解：
当角为时，三角形的内角不是第一象限角或第二象限角，不正确；
锐角：
是第一象限的角，B正确；
不是锐角，不正确；终边相同的角，角相差的整数倍，不正确．
故选：
B．
通过三角形的角为判断A的正误；反例判断B的正误；角的范围判断C的正误；终边相同的角判断D的正误；
本题考查角的大小，范围终边相同的角的关系，基本知识的考查．
3.解：
角的终边经过点，则，
故选：
C．
利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．
4.解：
异面直线的判定定理：
“经过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线”
根据异面直线的判定定理可知：
在图中，直线GH、MN是异面直线；
在图中，由G、M均为棱的中点可知：
；
在图中，、M均为棱的中点，四边形GMNH为梯形，则GH与MN相交．
故选D．
判定异面直线的方法：
根据它的判定定理：
“经过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线”定义法：
不在同一个平面内的两条直线称为异面直线；反证法：
既不平行又不相交的直线即为异面直线．
本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，考查空间想象能力和思维能力．
5.解：
由得，
即，
则在区间上任取一点，使的概率，
故选：
D．
根据对数不等式的性质求出不等式的解，结合几何概型的概率公式进行求解即可．
本题主要考查几何概型的概率的计算，结合对数的性质求出不等式的解集是解决本题的关键．
6.解：
，
由回归方程知，
解得，
故选C．
先求出这组数据的样本中心点，样本中心点是用含有t的代数式表示的，把样本中心点代入变形的线性回归方程，得到关于t的一次方程，解方程，得到结果．
本题考查回归分析的初步应用，考查样本中心点的性质，考查方程思想的应用，是一个基础题，解题时注意数字计算不要出错．
7.解：
模拟执行程序，可得
不满足条件，执行循环体，
不满足条件，执行循环体，
不满足条件，执行循环体，
满足条件，退出循环，输出n的值为4．
故选：
A．
模拟执行程序，依次写出每次循环得到的的值，当时，满足条件，退出循环，输出n的值为4，从而得解．
本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，模拟执行程序正确写出每次循环得到的的值是解题的关键，属于基础题．
8.解：
由l：
，直线m：
，且，
得，解得：
．
直线l：
化为：
．
又直线m：
，即．
直线l与直线m之间的距离是．
故选：
C．
由两直线平行的条件列式求得a的值，代入直线后化简，然后由两平行线间的距离公式得答案．
本题考查了直线的一般式方程与直线平行的关系，考查了两平行线间的距离公式，是基础题．
9.解：
根据题意，函数解析式为
函数为指数函数，底数，
故选D．
根据题意，写出函数解析式，此函数为指数函数，定义域，由此能够求出结果．
本题考查指数函数的应用及其函数图象解题时要认真审题，仔细解答．
10.易知P、Q是定圆上的两动点，易得答案为8
故选B
11.解：
如图所示，建立直角坐标系．
．
，
，
，解得．
．
故选：
C．
建立直角坐标系，利用向量的坐标运算、向量基本定理即可得出．
本题考查了向量的坐标运算、向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12.解：
设，则，由题意知此时，
这是一个偶函数，图象关于y轴对称，且当时，是减函数，所以当时是增函数，
在上，自变量的绝对值越小，函数值越大，
因为，所以排除A、C；
又因为，所以排除B，
故选D
注意到选择支中函数值对应的自变量取值都在内，所以应该先结合周期性用当时的解析式，求出的解析式，然后借助于其图象解决问题．
关于函数值的大小比较问题，一般是利用奇偶性、周期性、对称性等把不同单调区间上函数值转化到同一单调区间上进行比较，能够利用图象直观判断的就尽量利用图象．
13.解：
，
故答案为：
先求，故代入时的解析式；求出，再求值即可．
本题考查分段函数的求值问题，属基本题求形式的值，要由内而外．
14.解：
还原直观图为原图形如图，
因为，所以，还原回原图形后，
．
所以原图形的面积为．
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