同余问题文档格式.docx
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2（mod6）：
2，8，14，20，26，……
3（mod6）：
3，9，15，21，27，……
4（mod6）：
4，10，16，22，29，……
5（mod6）：
5，11，17，23，29，……
[经典例题]
例1：
求437×
309×
1993被7除的余数。
思路分析：
如果将437×
1993算出以后，再除以7，从而引得到，即437×
1993=269120769，此数被7除的余数为1。
但是能否寻找更为简变的办法呢？
473≡3（mod7）
309≡1（mod7）
由"
同余的可乘性"
知：
437×
309≡3×
1（mod7）≡3（mod7）
又因为1993≡5（mod7）
所以：
437×
1993≡3×
5（mod7）
≡15（mod7）≡1（mod7）
即：
1993被7除余1。
例2：
70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的三倍恰好等于它两边两个数的和，这一行最左边的几个数是这样的：
0，1，3，8，21，……，问这一行数最右边的一个数被6除的余数是几？
如果将这70个数一一列出，得到第70个数后，再用它去除以6得余数，总是可以的，但计算量太大。
即然这70个数中：
中间的一个数的3倍是它两边的数的和，那么它们被6除以后的余数是否有类似的规律呢？
0，1，3，8，21，55，144，……被6除的余数依次是
0，1，3，2，3，1，0，……
结果余数有类似的规律，继续观察，可以得到：
0，1，3，2，3，1，0，5，3，4，3，5，0，1，3，2，3，……
可以看出余数前12个数一段，将重复出现。
70÷
2=5……10，第六段的第十个数为4，这便是原来数中第70个数被6除的余数。
我们被直接用除法算式，结果如何。
例4、分别求满足下列条件的最小自然数：
（1）用3除余1，用5除余1，用7除余1。
（2）用3除余2，用5除余1，用7除余1。
（3）用3除余1，用5除余2，用7除余2。
（4）用3除余2，用7除余4，用11除余1。
（1）该数减去1以后，是3，5和7的最小公倍数105，所以该数的是105+1=106
（2）该数减去1以后是5和7的公倍数。
因此我们可以以5和7的公倍数中去寻找答案。
下面列举一些同时被5除余1，被7除余1的数，即
1，36，71，106，141，176，211，246，……从以上数中寻找最小的被3除余2的数。
36≡0（mod3），71≡2（mod3），符合条件的最小的数是71。
（3）我们首先列举出被5除余2，被7除余2的数，2，37，72，107，142，177，212，247，……
从以上数中寻找最小的被3除余1的数。
2（mod3），37≡（mod3）、因此符合条件的最小的数是37。
（4）我们从被11除余1的数中寻找答案。
1，12，23，34，45，56，67，78，89，100，133，144，155，166，177，188，199，210，232，243，……
1（mod3）；
1（mod7），不符合
12≡0（mod3），12≡5（mod7）不符合
23≡2（mod3），23≡2（mod7）不符合
34≡1（mod3），34≡6（mod7）不符合
45≡0（mod3），45≡3（mod7）不符合
56≡2（mod3），56≡0（mod7）不符合
67≡1（mod3），67≡4（mod7）不符合
78≡0（mod3），78≡1（mod7）不符合
89≡2（mod3），89≡5（mod7）不符合
100≡1（mod3），100≡2（mod7）不符合
122≡2（mod3），122≡3（mod7）不符合
133≡1（mod3），133≡0（mod7）不符合
144≡1（mod3），144≡4（mod7）不符合
155≡2（mod3），155≡1（mod7）不符合
166≡1（mod3），166≡5（mod7）不符合
177≡0（mod3），177≡2（mod7）不符合
188≡2（mod3），188≡6（mod7）不符合
199≡1（mod3），199≡3（mod7）不符合
210≡0（mod3），210≡0（mod7）不符合
221≡2（mod3），221≡4（mod7）符合
因此符合条件的数是221。
例5判断以下计算是否正确
（1）42784×
3968267=1697598942346
（2）42784×
3968267=1697598981248
若直接将右边算出，就可判断
41784×
3968267=169778335328，可知以上两结果均是错的；
但是计算量太大。
如果右式和左式相等，则它们除以某一个数余数一定相同。
因为求一个数除以9的余数只需要先求这个数数字之和除以9的余数，便是原数除以9的余数。
我考虑上式除以9的余数，如果余数不相同，则上式一定不成立。
（1）从个位数字可知，右式的个位数字只能是8，而右式个位为6，因此上式不成立。
（2）右式和左式的个位数字相同，因而无法断定上式是否成立，但是
4+2+7+8+4=25，25≡7（mod9）
3+9+6+8+2+6+7=41，41≡5（mod9）
42784≡7（mod9）；
3968267≡5（mod9）
42784×
3968267≡35（mod9）
≡8（mod9）
（1+6+9+7+5+9+8+9+4+2+3+4+8）≡3（mod9）
因此
（2）式不成立
以上是用"
除9取余数"
来验证结果是否正确，常被称为"
弃九法"
。
不过应该注意，用弃九法可发现错误，但用弃九法没找出错误却不能保证原题一定正确。
习题
1、求16×
941×
1611被7除的余数。
3、判断结果是否正确：
（1）5483×
9117=49888511
（2）1226452÷
2683=334
4、乘法算式
3145×
92653=291093995的横线处漏写了一个数字，你能以最快的办法补出吗？
5、13511，13903，14589被自然数m除所得余数相同，问m最大值是多少？
数论之同余与余数问题
1、被除数÷
除数=商………余数，被除数=除数×
商+余数
2、和差积的余数同余余数的和差积。
3、同余：
a÷
x余r,b÷
x余r，则（a-b）是x的倍数，这种技巧常用于求除数的题目。
4、求被除数三大类问题:
余同（最小公倍数的倍数加余数），差同（最小公倍数的倍数减差），都不同（剩余定理）。
5、整除与余数：
除以3或9的余数看数字之和，7、11、13是三位一格，奇位和减偶位和（减不够加7、11、13的若干倍），11也可以一位一格，奇位和减偶位和（减不够加11的若干倍）
6、个位数字：
自然数的m次方的个位数字都可以看成4次方1个周期。
7、有规律的余数问题，常利用“和差积的余数同余余数的和差积”，结合周期简化题目。
【和差积的余数同余余数的和差积】
【1】
【解析】
（9+7+2）×
（9-7）×
（7-2）=18×
2×
5=180，180除以11余4.
【2】
【解】
、
除以3，余数是0，所以只须看表达式
除以3余几．
注意：
如果a除以3余
b除以3余
.，那a×
b除以3所得的余数就是内
×
除以3所得的余数
因为4、7除以3余1，所以
，除以3，余数也是1.
因为5、8除以3余2，所以
除以3，余数与
除以3的余数相同而
=16除以3余1，所以
=
2除以3余2,
除以3余l（=1×
1）
于是
除以3，所得余数与l＋4＋l＋2＋1＋1除以3，所得余数相同，即余数是1.
【3】
【解】有已知，乙，丙，丁三人取走的七盒中，糖的块数是丁所取糖块数的5倍.八盒糖的总块数是
9＋17＋24＋28＋30＋31＋33＋44=216216除以5的余数为1，所以甲取走的一盒除以5余1.因此甲取走的一盒中有31块奶糖.
【4】
【解法1】甲余11人，乙余36－11=25人.甲团人数与乙团人数的积除以36，余数与11×
25除以36的余数相同，即余23.所以最后一卷拍了23张，还可拍36－23=13张.
【解法2】因为除去最后一辆车，其它个车里两团代表人数都是36的倍数，所以剩下胶片是最后一辆车里两团代表拍完照留下的.25×
11÷
36=7……23还可拍36－23=13（张）.
【5】
【分析】任何数乘方的尾数都是4个数一周期．
7是7、9、3、1循环，因为2010÷
4＝502…2，所以
尾数是9.
8是8、4、2、6循环，因为98÷
4余2，所以
尾数是4.
9是9、1、9、9循环，因为2009÷
4余1，所以
尾的数是9.
9+9×
4=45，个位为5.
【6】
【分析】求结果除以l0的余数即求从l到2005这2005个数的个位数字是10个一循环的，而对于一个数的幂方的个位数，我们知道它总是4个一循环的，因此把每个加数的个位数按20个一组，则不同组中对应的数字应该是一样的．
首先计算
的个位数字为M.2005个加数中有100组多5个数，100组的个位数是M×
100的个位数即O,另外5个数为
，它们和的个位数字是1＋4＋7＋6＋5＝23的个位数3.
【7】
【分析】同余的性质的应用．
【解】∵143≡3（mod7）
∴
≡
（mod7）
∵
≡1（mod7）
≡5（mod7）.
【评析】这类题都是通过找几次方除以7得余数1作为突破，大大简化题目的难度。
【巩固】
【解析】2011÷
8余3，
与
除以8的余数相同，3×
3除以8余1，所以
【同余-用于求除数】同余：
x余r，则（a-b）是x的倍数。
【基础知识练习】
【分析】所求自然数减去63的差可被247与248整除，再考虑这个差被26除的余数．
【解】设所求自然数减去63，差是A，则A被247与248整除，
247=19×
13,248=2×
124
所以A被13与2整除，13与2互质，得A被26整除．原来的自然数是A+63，所以只要考虑63被26除后的余数．
63=26×
2+11
因此这个自然数被26除余11
答：
所求余数是11.
【评析】如果一个整数能被甲、乙两数整除，并不能得出它被甲、乙两数的积整除．在甲、乙两数互质时，才能导出这个数被甲、乙两数的积整除．
【解析】由85-69=16，93-85=8，推出A=8或4或2，97÷
8=12……1.所以丁团分成每组A人的若干组后还剩1人。
【解析】这个数A除55l,745个数去除551,745,1,1133,1327,所得的余数相同,所以有551,745,1133,1327两两做差而得到的数一定是除数A的倍数．
1327-1133=194,1133-745=388,745-551=194,1327-745=582,1327-551=776,1133-551=582．
这些数都是A的倍数,所以A是它们的公约数,而它们的最大公约数（194，388，194，582，776，582）=194．
所以,这个数最大可能为194．
【分析与解】设这个除数为M,设它除63,90,130所得的余数依次为a,b,c,商依次为A,B,C．
63÷
M=A……a90÷
M=B……b130÷
M=C……c
a+b+c=25,则（63+90+130）-（a+b+c）=（A+B+C）×
M,即283-25=258=（A+B+C）×
M．
所以M是258的约数.258=2×
3×
43,显然当除数M为2、3、6时,3个余数的和最大为3×
（2-1）=3，3×
（3-1）=6,3×
（6-1）=15,所以均不满足．
而当除数M为43×
2,43×
3,43×
3时,它除63的余数均是63,所以也不满足．
那么除数M只能是43,它除63,90,130的余数依次为20,4,1,余数的和为25,满足．
显然这3个余数中最大的为20．
【余数三大类问题-用于求被除数】
（1）余同：
最小公倍数的倍数+余数，
（2）差同（差=除数-余数）：
最小公倍数的倍数-差
（3）都不同：
结合中国剩余定理与不定方程两边对某数求余数的方法。
【分析】N加上1，就可以被10、9、8、…、2整除．
【解】由于N十l被10、9、8、…、2整除，而10、9、8、…、2的最小公倍数是
5×
9×
8×
7=2520
因此，N十1被2520整除．
N的最小值是
2520一1=2519
N的最小值是2519.
【解】设这个数为23a＋7，因为它除以19余9，所以，23a＋7一9=19a＋4a一2被19整除，即4a一2被19整除．令a=l,2，…，代入检验，在a=10时，4a－2=38第一次被19整除，所以所求的自然教最小是23×
10＋7=237
【分析与解】设这个圆圈有n个孔,那么有n除以3余1,n除以5余1.n能被7整除．
则将n-1是3、5的倍数,即是15的倍数,所以n=15t+1,又因为凡是7的倍数,即15t+1=7A,将系数与常数对7取模,有t+1≡0（mod7）,所以t取6或6与7的倍数和.
对应孔数为15×
6+l=91或91与105的倍数和，满足题意的孔数只有91．
即这个圆圈上共有91个孔．
【活学活用】
【1】
【解析一：
教材方法】甲、乙两数的差被3整除，即甲、乙两数被3除的余数相同．
一个自然数被3除，余数只有3种情况，即0、1、2.
由分析可知：
甲、乙两数被3除，余数相同，下面分三种情况讨论
（1）如果甲、乙两数被3除都余1，那么，它们的和被3整除，不符合题意．
（2）如果甲、乙两数被3除都余1，那么，它们的和被3除余2,也不符合题意．
（3）如果甲、乙两数被3除都余2，那么，它们的和被3除正好余l.
甲数被3除的余数是2.
【解析二：
致远推荐】A+B=3m+1，A-B=3n，解得2A=3m+3n+1，所以A=[3×
（m+n）+1]÷
2，无论m+n为奇数还是偶数，A除以3余2.
【解析】设a、b、c为连续三项，则
c=3×
b一a
考虑原数列各项除以3所得的余数，组成数列
0,l,0,2,0,l,0,2，…
每4项重复出现
考虑原数列各项除以2所得的余数，组成数列
0，1，1，0，1，1，0，1，1，…，
每3项重复出现.
因此，原数列最右边的（第70个）数，除以3余1（70=4×
17＋2），除以2所余0（70=3×
23＋1）
于是最右一个数被6除余4.
【分析】算出
÷
7所得的余数，便可推得结论．若把2004连乘，用所得的结果除以7，计算太复杂了！
因此先找出与2004除以7同余的最小数，然后根据余数的有关性质解题．
【解】因为2004除以7的余数是2.
所以
7与
7的余数相同．
而
=
=
所以
7与
7=1÷
7的余数相同.
故
7的余数为1.
因为今天是星期一，所以再过
天是星期二．
【评析】若a=pq＋r，则
q与
q余数相同，在遇到一些非常大的数的若干次幂时，可使用幂的相关性质进行分解，使大数化成小数，如：
=
．
【天天练】
【解】甲数是13的倍数加7，乙数是13的倍数加9，所以它们的积是13的倍数加7×
9，而7×
9除以13余11，所以甲、乙的积除以13余11.
【解】甲、乙手中卡片上的数之和必是3的倍数.六张卡片上的数分别除以3，依次余2、1、0、0、1、l，推知只有后五个数之和能被3整除，所以丙手中卡片上的数是1193.
【解析】如下表所示：
号码
101
126
173
193
盘数
2
1
3
5
101，126，173，193被3除的余数分别为2，0，2，1，故他们之间的比赛盘数如上表，由表可以看出，126号运动员打了5盘是最多的。
【解】1477一49=1428是这两位数的倍数
又1428=2×
7×
17
=51×
28
=68×
21
=84×
因此，所求的两位数51或68或84
【解】由1992÷
46=43……14得1992=46×
43＋14，所以a=43,r=14.
【分析】这个整数除300、262得到相同的余数．所以300一262的差，一定被这个整数整除．也就是说，这个整数是300一262的因数．同样，这个整数也是300一205的因数．
【解】300一262=38=2×
19
300一205=95=5×
所以这个整数是19.
这个整数是19.
【评析】同余问题转化为整除问题，是解决这类问题的常用方法．
【解】200一5=195.300一l=299,400一10=390
195,299,390的最大公约数是13于是，这个数是13.
【8】
【解】2008被这样的自然数除余数是10，那么，1998就是这些自然数的倍数，换句话说，我们要求1998的约数有几个，但注意到除数比余数大，所以我们要求的是1998的约数中那些大于10的，枚举显然不可取，我们考虑用约数个数公式：
1998＝2×
37,d（1998）＝（l＋l）×
（3＋l）（1＋l）＝16
其中小于10的约数有l,2,3,6,9，去掉它们还有11个，因此这样的自然数共有11个．
【评析】注意到除数比余数大．
【9】
【分析】同余的性质5的应用．若a≡b（modm）,c≡d（modm），那么ac≡bd（modm）（可乘性）.
【解】
∵418≡2（mod13）,
814≡8（mod13）,1616≡4（mod13）,
∴根据同余的性质5可得
418×
814×
1616≡2×
4≡64≡12（mod13）.
所以，乘积418火81生只1616除以13余数是12.
【评析】若先求乘积，再求余数，计算量太大．利用同余的性质可以使“大数化小”，减少计算量．
【10】
【分析】a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）．当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数．
【解】根据递推关系把这串数除以9的余数列出来如下：
l、3、8、4、6、2、7、O、5、l、3，…
发现恰好每9个一循环，2000被9除余数是2，所以第200个和第2个一样除以9的余数是3.
【11】
【解】去掉3人后，总数被3、5、7整除，因而是105的倍数，原人数在90～110之间，因而是105＋3=108.
【12】
【解】[3,4,5,6]=60,60－1=59（人）答：
上体育课的同学最少有59名.
【13】
【解析】到会人数加上1，正好是9与7的公倍数，因而是63的倍数.这个数除以5余4，在63的小于200的倍数63,126,189中，只有189满足这一条件.因此到会的代表有l88（=189一l）人
【14】
【解析】如果A=35，则它被14除的余数是7.
如果A大于35，则A一35能被1981和1982整除．又
1981=7×
283
能被7整除，且1982能被2整除，所以A一35能被14整除．
由A=（A一35）+35
知A被14除的余数就是35被14除的余数，为7.
A被14除的余数是7.
【15】
解：
由题意（63＋91＋129）一25=258
能被所求的整数整除258=2×
43
因为三个余数的和是25，所以其中一定有一个余数大于8，从而这个整数大于8．另外，这个整数不会超过被除数63.
因此，符合条件的只有43.
所求的整数是43.
同余问题—提高训练
1（例）、1309被一个
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